Wellenvektor

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Vektor, der eine Welle beschreibt;oft seine Ausbreitungsrichtung

In der Physik ist ein Wellenvektor (auch Dinkelwellenvektor) ein Vektor, der zur Beschreibung einer Welle beiträgt.Wie jeder Vektor hat er eine Größe und Richtung, die beide wichtig sind.Seine Größe ist entweder die Wellenzahl oder die Winkelwellenzahl der Welle (umgekehrt proportional zur Wellenlänge ), und seine Richtung ist normalerweise die Richtung der Wellenausbreitung (aber nicht immer, siehe unten).

Im Kontext der speziellen Relativitätstheorie kann der Wellenvektor auch als Viervektor definiert werden.

Inhalt

1 Definitionen
- 1.1 Physikdefinition
- 1.2 Kristallographiedefinition
2 Richtung des Wellenvektors
3 In der Festkörperphysik
4 In spezieller Relativitätstheorie
- 4.1 Lorentz-Transformation
  - 4.1.1 Quelle bewegt sich weg (Rotverschiebung)
  - 4.1.2 Quelle bewegt sich in Richtung (Blueshift)
  - 4.1.3 Quelle, die sich tangential bewegt (transversaler Doppler-Effekt)
5 Siehe auch
6 Referenzen
7 Weiterführende Literatur

Definitionen

Siehe auch: Wanderwelle

Wellenlänge einer Sinuswelle, λ, kann zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Punkten mit derselben gemessen werden Phase, wie beispielsweise zwischen benachbarten Kuppen oder Mulden oder benachbarte Nulldurchgänge mit der gleichen Durchgangsrichtung, wie dargestellt.

Es gibt zwei gebräuchliche Definitionen von Wellenvektoren, die sich in ihren Größen um den Faktor 2π unterscheiden.Eine Definition wird in der Physik und verwandten Bereichenbevorzugt, während die andere Definition in der Kristallographie und verwandten Bereichenbevorzugt wird.In diesem Artikel werden sie als "Physikdefinition" bzw. "Kristallographiedefinition" bezeichnet.

In beiden Definitionen unten wird die Größe des Wellenvektors dargestellt durch;Die Richtung des Wellenvektors wird im folgenden Abschnitt erläutert.

{\ displaystyle k}

k

Physik Definition

Eine perfekte eindimensionale Wanderwelle folgt der Gleichung:

\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi)

ψ (( x, t) = EIN cos ⁡ (( k x - - ω t + φ)

{\ displaystyle \ psi (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t + \ varphi)}

\ psi (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t + \ varphi)

wo:

x ist Position,
Es ist Zeit,
$\psi$ ψ
{\ displaystyle \ psi} $\ psi$ (eine Funktion von x und t) ist die Störung der Wellen beschreibt (beispielsweise für eine Meereswelle,wäre die Überhöhe des Wassers, oder für eine Schallwelle,würde der überschüssige Luftdruck ). $\psi$ ψ
{\ displaystyle \ psi} $\ psi$ $\psi$ ψ
{\ displaystyle \ psi} $\ psi$
A ist die Amplitude der Welle (die Spitzengröße der Schwingung),
$\varphi$ φ
{\ displaystyle \ varphi} $\ varphi$ ist ein Phasenversatz, der beschreibt, wie zwei Wellen nicht synchron zueinander sein können.
$\omega$ ω
{\ displaystyle \ omega} $\Omega$ ist die zeitliche Winkelfrequenz der Welle, die beschreibt, wie viele Schwingungen sie pro Zeiteinheit vollendet, und diedurch die Gleichungauf die Periode bezogen ist. T.
{\ displaystyle T} $T.$ $\omega =2\pi /T$ ω = 2 π /. T.
{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T} $\ omega = 2 \ pi / T.$
k
{\ displaystyle k} $k$ ist die räumliche Winkelfrequenz ( Wellenzahl ) der Welle, die beschreibt, wie viele Schwingungen sie pro Raumeinheit ausführt, und diedurch die Gleichungmit der Wellenlänge in Beziehung steht. $k=2\pi /\lambda$ k = 2 π /. λ
{\ displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda} $k = 2 \ pi / \ lambda$

{\ displaystyle k}

k

ist die Größe des Wellenvektors.In diesem eindimensionalen Beispiel ist die Richtung des Wellenvektors trivial: Diese Welle bewegt sich mit der Geschwindigkeit (genauer gesagt der Phasengeschwindigkeit )in der + x-Richtung.In einem mehrdimensionalen System würdeder Skalardurch das Vektorpunktprodukt ersetzt, das den Wellenvektor bzw. den Positionsvektor darstellt.

\omega /k

ω /. k

{\ displaystyle \ omega / k}

\ omega / k

k x

{\ displaystyle kx}

kx

{\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }

k ⋅ r

{\ displaystyle {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}

Kristallographie Definition

In der Kristallographie werden dieselben Wellen mit leicht unterschiedlichen Gleichungen beschrieben.In einer bzw. drei Dimensionen:

{\begin{aligned}\psi (x,t)amp;=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi)\\\psi \left({\mathbf {r} },t\right)amp;=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)\end{aligned}}

ψ (( x, t) = EIN cos ⁡ (( 2 π (( k x - - ν t) + φ) ψ (( r, t) = EIN cos ⁡ (( 2 π (( k ⋅ r - - ν t) + φ)

{\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (x, t) amp; = A \ cos (2 \ pi (kx- \ nu t) + \ varphi) \\\ psi \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) amp; = A \ cos \ left (2 \ pi ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ nu t) + \ varphi \ right) \ end {align}} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ psi (x, t) amp; = A \ cos (2 \ pi (kx- \ nu t) + \ varphi) \\\ psi \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) amp; = A \ cos \ left (2 \ pi ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ nu t) + \ varphi \ right) \ end {align}} }}

Die Unterschiede zwischen den beiden oben genannten Definitionen sind:

Die Winkelfrequenzwird in der physikalischen Definition verwendet, während die Frequenzin der Kristallographiedefinition verwendet wird.Sie sind verwandt mit.Diese Substitution ist für diesen Artikel nicht wichtig, spiegelt jedoch die in der Kristallographie übliche Praxis wider. $\omega$ ω
{\ displaystyle \ omega} $\Omega$ $\nu$ ν
{\ displaystyle \ nu} $\ nu$ $2\pi \nu =\omega$ 2 π ν = ω
{\ displaystyle 2 \ pi \ nu = \ omega} $2 \ pi \ nu = \ omega$
Die Wellenzahlund der Wellenvektor k sind unterschiedlich definiert: in der obigen physikalischen Definition, während in der folgenden Kristallographiedefinition,. k
{\ displaystyle k} $k$ $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ k = | k | = 2 π /. λ
{\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 2 \ pi / \ lambda} ${\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 2 \ pi / \ lambda}$ $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$ k = | k | = 1 /. λ
{\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 1 / \ lambda} $k = | {{\ mathbf k}} | = 1 / \ lambda$

Die Richtung von k wird im nächsten Abschnitt besprochen.

Richtung des Wellenvektors

Hauptartikel: Gruppengeschwindigkeit

Die Richtung, in die der Wellenvektor zeigt, muss von der "Richtung der Wellenausbreitung " unterschieden werden.Die "Richtung der Wellenausbreitung" ist die Richtung des Energieflusses einer Welle und die Richtung, in die sich ein kleines Wellenpaket bewegt, dh die Richtung der Gruppengeschwindigkeit. Bei Lichtwellen ist dies auch die Richtung des Poynting-Vektors. Andererseits zeigt der Wellenvektor in Richtung der Phasengeschwindigkeit. Mit anderen Worten zeigt der Wellenvektor in normaler Richtung auf die Oberflächen konstanter Phase, auch Wellenfronten genannt.

In einem verlustfreien isotropen Medium wie Luft, einem beliebigen Gas, einer beliebigen Flüssigkeit, amorphen Feststoffen (wie Glas ) und kubischen Kristallen entspricht die Richtung des Wellenvektors genau der Richtung der Wellenausbreitung.Wenn das Medium anisotrop ist, zeigt der Wellenvektor im Allgemeinen in andere Richtungen als die der Wellenausbreitung.Die Bedingung, dass der Wellenvektor in dieselbe Richtung zeigt, in die sich die Welle ausbreitet, ist, dass die Welle homogen sein muss, was nicht unbedingt erfüllt ist, wenn das Medium anisotrop ist.In einer homogenen Welle sind die Oberflächen konstanter Phase auch Oberflächen konstanter Amplitude.Bei heterogenen Wellen unterscheiden sich diese beiden Arten von Oberflächen in ihrer Ausrichtung.Der Wellenvektor ist immer senkrecht zu Oberflächen konstanter Phase.

Wenn sich beispielsweise eine Welle durch ein anisotropes Medium bewegt, beispielsweise Lichtwellen durch einen asymmetrischen Kristall oder Schallwellen durch ein Sedimentgestein, zeigt der Wellenvektor möglicherweise nicht genau in die Richtung der Wellenausbreitung.

In der Festkörperphysik

Hauptartikel: Blochs Theorem

In der Festkörperphysik ist der "Wellenvektor" (auch k-Vektor genannt) eines Elektrons oder Lochs in einem Kristall der Wellenvektor seiner quantenmechanischen Wellenfunktion. Diese Elektronenwellen sind keine gewöhnlichen Sinuswellen, aber sie haben eine Art Hüllkurvenfunktion, die sinusförmig ist, und der Wellenvektor wird über diese Hüllkurvenwelle definiert, üblicherweise unter Verwendung der "physikalischen Definition".Siehe Blochs Theorem für weitere Details.

In besonderer Relativitätstheorie

Eine sich bewegende Wellenoberfläche in spezieller Relativitätstheorie kann als Hyperfläche (ein 3D-Unterraum) in der Raumzeit betrachtet werden, die durch alle Ereignisse gebildet wird, die von der Wellenoberfläche durchlaufen werden.Ein Wellenzug (bezeichnet mit einer Variablen X) kann als eine Ein-Parameter-Familie solcher Hyperflächen in der Raumzeit angesehen werden.Diese Variable X ist eine Skalarfunktion der Position in der Raumzeit.Die Ableitung dieses Skalars ist ein Vektor, der die Welle, den Vierwellenvektor, charakterisiert.

Der Vier-Wellenvektor ist eine Welle Vierervektor, derdefiniert ist, in Minkowski -Koordinaten, wie:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

K. μ = (( ω c, k →) = (( ω c, ω v p n ^) = (( 2 π c T., 2 π n ^ λ)

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} {\ hat {n}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {cT}}, {\ frac {2 \ pi { \ hat {n}}} {\ lambda}} \ right) \,}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} {\ hat {n}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {cT}}, {\ frac {2 \ pi { \ hat {n}}} {\ lambda}} \ right) \,}

wobei die Winkelfrequenzdie zeitliche Komponente ist und der Wellenzahlvektordie räumliche Komponente ist. ${\frac {\omega }{c}}$

ω c

{\ displaystyle {\ frac {\ omega} {c}}}

\ frac {\ omega} {c}

{\vec {k}}

k →

{\ displaystyle {\ vec {k}}}

{\ vec {k}}

Alternativ kann die Wellenzahlals Winkelfrequenzgeteilt durch die Phasengeschwindigkeit oder als inverse Periodeund inverse Wellenlänge geschrieben werden.

{\ displaystyle k}

k

\omega

{\ displaystyle \ omega}

\Omega

v_{p}

v p

{\ displaystyle v_ {p}}

v_p

{\ displaystyle T}

T.

\lambda

{\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

Wenn explizit ausgeschrieben, sind seine kontravarianten und kovarianten Formen:

{\begin{aligned}K^{\mu }amp;=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\K_{\mu }amp;=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

K. μ = (( ω c, k x, k y, k z) K. μ = (( ω c, - - k x, - - k y, - - k z)

{\ displaystyle {\ begin {align} K ^ {\ mu} amp; = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, k_ {x}, k_ {y}, k_ {z} \ right) \, \\ K _ {\ mu} amp; = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, - k_ {x}, - k_ {y}, - k_ {z} \ right) \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} K ^ {\ mu} amp; = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, k_ {x}, k_ {y}, k_ {z} \ right) \, \\ K _ {\ mu} amp; = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, - k_ {x}, - k_ {y}, - k_ {z} \ right) \ end {align} }}

Im Allgemeinen ist die Lorentz-Skalargröße des Wellen-Vier-Vektors:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

K. μ K. μ = (( ω c) 2 - - k x 2 - - k y 2 - - k z 2 = (( ω Ö c) 2 = (( m Ö c ℏ) 2

{\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {m_ {o } c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {m_ {o } c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}

Der Vierwellenvektor ist null für masselose (photonische) Teilchen, wobei die Restmasse $m_{o}=0$

m Ö = 0

{\ displaystyle m_ {o} = 0}

m_o = 0

Ein Beispiel für einen Null-Vierwellenvektor wäre ein kohärenter monochromatischer Lichtstrahl mit Phasengeschwindigkeit $v_{p}=c$

v p = c

{\ displaystyle v_ {p} = c}

v_p = c

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

K. μ = (( ω c, k →) = (( ω c, ω c n ^) = ω c (( 1, n ^)

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {c}} {\ hat {n}} \ right) = {\ frac {\ omega} {c}} \ left (1, {\ hat {n}} \ right) \,}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ frac {\ omega} {c}} {\ hat {n}} \ right) = {\ frac {\ omega} {c}} \ left (1, {\ hat {n}} \ right) \,}

{für lichtähnlich / null}

die die folgende Beziehung zwischen der Frequenz und der Größe des räumlichen Teils des Vierwellenvektors haben würde:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

K. μ K. μ = (( ω c) 2 - - k x 2 - - k y 2 - - k z 2 = 0

{\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = 0}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = 0}

{für lichtähnlich / null}

Der Vier-Wellenvektor ist mit dem imZusammenhang Viererimpuls wie folgt:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

P. μ = (( E. c, p →) = ℏ K. μ = ℏ (( ω c, k →)

{\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar K ^ {\ mu} = \ hbar \ left ({ \ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right)}

P ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar K ^ {\ mu} = \ hbar \ left ({\ frac { \ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right)

Der Vierwellenvektor ist mit der imZusammenhang mit vier Frequenz wie folgt:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu,\nu {\vec {n}}\right)

K. μ = (( ω c, k →) = (( 2 π c) N. μ = (( 2 π c) (( ν, ν n →)

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {c}) } \ rechts) N ^ {\ mu} = \ links ({\ frac {2 \ pi} {c}} \ rechts) \ links (\ nu, \ nu {\ vec {n}} \ rechts)}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {c}) } \ rechts) N ^ {\ mu} = \ links ({\ frac {2 \ pi} {c}} \ rechts) \ links (\ nu, \ nu {\ vec {n}} \ rechts)}

Der Vier-Wellenvektor ist mit der imZusammenhang mit vier Geschwindigkeit wie folgt:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

K. μ = (( ω c, k →) = (( ω Ö c 2) U. μ = (( ω Ö c 2) γ (( c, u →)

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) U ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) \ gamma \ left (c, {\ vec {u}} \ right)}

{\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) U ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) \ gamma \ left (c, {\ vec {u}} \ right)}

Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation des Vierwellenvektors ist eine Möglichkeit, den relativistischen Doppler-Effekt abzuleiten.Die Lorentz-Matrix ist definiert als

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma amp;-\beta \gamma amp;0amp;0\\-\beta \gamma amp;\gamma amp;0amp;0\\0amp;0amp;1amp;0\\0amp;0amp;0amp;1\end{pmatrix}}

Λ = ((

γ - - β γ 0 0 - - β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1)

{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ gamma amp; - \ beta \ gamma amp; 0 amp; 0 \\ - \ beta \ gamma amp; \ gamma amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ gamma amp; - \ beta \ gamma amp; 0 amp; 0 \\ - \ beta \ gamma amp; \ gamma amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}}}

In der Situation, in der Licht von einer sich schnell bewegenden Quelle emittiert wird und man die Frequenz des in einem Erdrahmen (Labor) erfassten Lichts wissen möchte, würden wir die Lorentz-Transformation wie folgt anwenden.Es ist zu beachten, dass sich die Quelle in einem Rahmen S^{s befindet}und sich die Erde im Beobachtungsrahmen S^{obs befindet}.Anwenden der Lorentz-Transformation auf den Wellenvektor

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

k s μ = Λ ν μ k Ö b s ν

{\ displaystyle k_ {s} ^ {\ mu} = \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ mu} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {\ nu}}

{\ displaystyle k_ {s} ^ {\ mu} = \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ mu} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {\ nu}}

und wenn Sie sich nur dieKomponentenergebnisseansehen, erhalten Sie $\mu =0$

μ = 0

{\ displaystyle \ mu = 0}

\ mu = 0

{\begin{aligned}k_{s}^{0}amp;=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}amp;=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\amp;=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta.\end{aligned}}

k s 0 = Λ 0 0 k Ö b s 0 + Λ 1 0 k Ö b s 1 + Λ 2 0 k Ö b s 2 + Λ 3 0 k Ö b s 3 ω s c = γ ω Ö b s c - - β γ k Ö b s 1 = γ ω Ö b s c - - β γ ω Ö b s c cos ⁡ θ.

{\ displaystyle {\ begin {align} k_ {s} ^ {0} amp; = \ Lambda _ {0} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {0} + \ Lambda _ {1} ^ { 0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} + \ Lambda _ {2} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {2} + \ Lambda _ {3} ^ {0} k_ { \ mathrm {obs}} ^ {3} \\ [3pt] {\ frac {\ omega _ {s}} {c}} amp; = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} { c}} - \ beta \ gamma k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} \\ amp; = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} - \ beta \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} \ cos \ theta. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} k_ {s} ^ {0} amp; = \ Lambda _ {0} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {0} + \ Lambda _ {1} ^ { 0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} + \ Lambda _ {2} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {2} + \ Lambda _ {3} ^ {0} k_ { \ mathrm {obs}} ^ {3} \\ [3pt] {\ frac {\ omega _ {s}} {c}} amp; = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} { c}} - \ beta \ gamma k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} \\ amp; = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} - \ beta \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} \ cos \ theta. \ end {align}}}

woist die Richtung Kosinus inBezug auf $\cos \theta$

cos ⁡ θ

{\ displaystyle \ cos \ theta}

\ cos \ theta

k^{1}

k 1

{\ displaystyle k ^ {1}}

k ^ {1}

k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta.

k 0, k 1 = k 0 cos ⁡ θ.

{\ displaystyle k ^ {0}, k ^ {1} = k ^ {0} \ cos \ theta.}

{\ displaystyle k ^ {0}, k ^ {1} = k ^ {0} \ cos \ theta.}

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta)}}

ω Ö b s ω s = 1 γ (( 1 - - β cos ⁡ θ)

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta \ cos \ theta)}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta \ cos \ theta)}}}

Quelle entfernt sich (Rotverschiebung)

Um dies beispielsweise auf eine Situation anzuwenden, in der sich die Quelle direkt vom Beobachter entfernt (), wird Folgendes: $\theta =\pi$

θ = π

{\ displaystyle \ theta = \ pi}

\ theta = \ pi

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta)}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

ω Ö b s ω s = 1 γ (( 1 + β) = 1 - - β 2 1 + β = (( 1 + β) (( 1 - - β) 1 + β = 1 - - β 1 + β

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1+ \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1+ \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}

Quelle bewegt sich in Richtung (Blueshift)

Um dies auf eine Situation anzuwenden, in der sich die Quelle direkt auf den Beobachter zubewegt (),lautetdies: $\theta =0$

θ = 0

{\ displaystyle \ theta = 0}

\ theta = 0

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta)}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta)(1-\beta)}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

ω Ö b s ω s = 1 γ (( 1 - - β) = 1 - - β 2 1 - - β = (( 1 + β) (( 1 - - β) 1 - - β = 1 + β 1 - - β

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1+ \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1+ \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}}

Quelle bewegt sich tangential (transversaler Doppler-Effekt)

Um dies auf eine Situation anzuwenden, in der sich die Quelle in Bezug auf den Beobachter ()quer bewegt, wird dies wie folgt: $\theta =\pi /2$

θ = π /. 2

{\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}

\ theta = \ pi / 2

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

ω Ö b s ω s = 1 γ (( 1 - - 0) = 1 γ

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1-0)}} = {\ frac {1 } {\ gamma}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1-0)}} = {\ frac {1 } {\ gamma}}}

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Brau, Charles A. (2004). Moderne Probleme in der klassischen Elektrodynamik. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.