In der Gruppentheorie werden Tietze-Transformationen verwendet, um eine bestimmte Darstellung einer Gruppe in eine andere, oft einfachere Darstellung derselben Gruppe umzuwandeln. Diese Transformationen sind nach Heinrich Franz Friedrich Tietze benannt, der sie 1908 in einer Arbeit vorstellte.
Eine Präsentation bezieht sich auf Generatoren und Beziehungen ; Formal ist die Präsentation ein Paar aus einer Reihe benannter Generatoren und einer Reihe von Wörtern in der freien Gruppe über die Generatoren, die als Beziehungen angesehen werden. Tietze-Transformationen bestehen aus elementaren Schritten, von denen jeder die Präsentation ziemlich offensichtlich zu einer Präsentation einer isomorphen Gruppe führt. Diese elementaren Schritte können auf Generatoren oder Beziehungen wirken und sind von vier Arten.
Wenn eine Beziehung aus den vorhandenen Beziehungen abgeleitet werden kann, kann sie der Präsentation hinzugefügt werden, ohne die Gruppe zu ändern. Sei G = 〈x | x 3 = 1〉 ist eine endliche Darstellung für die zyklische Gruppe der Ordnung 3. Multipliziert man x 3 = 1 auf beiden Seiten mit x 3, so erhält man x 6 = x 3 = 1, so dass x 6 = 1 von x 3 = 1 ableitbar ist. Daher ist G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 ist eine weitere Präsentation für dieselbe Gruppe.
Wenn eine Beziehung in einer Präsentation von den anderen Beziehungen abgeleitet werden kann, kann sie aus der Präsentation entfernt werden, ohne die Gruppe zu beeinflussen. In G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 Die Beziehung x 6 = 1 kann aus x 3 = 1 abgeleitet werden, damit sie sicher entfernt werden kann. Beachten Sie jedoch, dass die Gruppe G = 〈x | ist, wenn x 3 = 1 aus der Präsentation entfernt wird x 6 = 1〉 definiert die zyklische Gruppe der Ordnung 6 und definiert nicht dieselbe Gruppe. Es muss darauf geachtet werden, dass alle Beziehungen, die entfernt werden, Konsequenzen der anderen Beziehungen sind.
Bei einer Präsentation ist es möglich, einen neuen Generator hinzuzufügen, der in den ursprünglichen Generatoren als Wort ausgedrückt wird. Beginnend mit G = 〈x | x 3 = 1〉 und y = x 2 die neue Darstellung G = 〈x, y | x 3 = 1, y = x 2〉 definiert dieselbe Gruppe.
Wenn eine Beziehung gebildet werden kann, in der einer der Generatoren ein Wort in den anderen Generatoren ist, kann dieser Generator entfernt werden. Dazu ist es notwendig, alle Vorkommen des entfernten Generators durch das entsprechende Wort zu ersetzen. Die Darstellung für die elementare abelsche Gruppe der Ordnung 4, G = 〈x, y, z | x = yz, y 2 = 1, z 2 = 1, x = x - 1〉 kann durch G = 〈y, z | ersetzt werden y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz) = ( yz) −1〉 durch Entfernen von x.
Sei G = 〈x, y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy) 2 = 1〉 ist eine Darstellung für die symmetrische Gruppe des dritten Grades. Der Generator x entspricht der Permutation (1,2,3) und y bis (2,3). Durch Tietze-Transformationen kann diese Darstellung in G = 〈y, z | konvertiert werden ( zy) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉, wobei z (1,2) entspricht.
| G = 〈x, y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy) 2 = 1〉 | (Start) |
| G = 〈x, y, z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy) 2 = 1, z = xy〉 | Regel 3 - Generator hinzufügen z |
| G = 〈x, y, z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy) 2 = 1, x = zy〉 | Regeln 1 und 2 - Addiere x = z y −1 = zy und entferne z = xy |
| G = 〈y, z | ( zy) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Regel 4 - Entfernen Sie den Generator x |
