Systolische Geometrie

Eine leichter zugängliche und weniger technische Einführung in dieses Thema finden Sie unter Einführung in die systolische Geometrie. Eine Geodäte auf einem Fußball, die den Beweis von Gromovs Füllflächenvermutung im hyperelliptischen Fall illustriert (siehe Erklärung unten).

In der Mathematik ist die systolische Geometrie das Studium systolischer Invarianten von Mannigfaltigkeiten und Polyedern, wie sie ursprünglich von Charles Loewner konzipiert und von Mikhail Gromov, Michael Freedman, Peter Sarnak, Mikhail Katz, Larry Guth und anderen in ihrer Arithmetik, Ergodik und anderen entwickelt wurde topologische Manifestationen. Siehe auch eine langsamere Einführung in die systolische Geometrie.

Inhalt

• 1 Der Begriff der Systole
• 2 Eigenschaft eines zentralsymmetrischen Polyeders im 3-Raum
• 3 Konzepte
• 4 Gromovs systolische Ungleichung
• 5 Gromovs stabile Ungleichung
• 6 Untergrenzen für 2-Systolen
• 7 Schottky-Problem
• 8 Kategorie Lusternik–Schnirelmann
• 9 Systolische hyperbolische Geometrie
• 10 Beziehung zu Abel-Jacobi-Karten
• 11 Verwandte Felder, Volumenentropie
• 12 Vermutung der Füllfläche
• 13 Umfragen
• 14 Siehe auch
• 15 Hinweise
• 16 Referenzen
• 17 Externe Links

Der Begriff der Systole

Kürzeste Schleife auf einem Torus

Die Systole eines kompakten metrischen Raums X ist eine metrische Invariante von X, definiert als die kleinste Länge einer nicht kontrahierbaren Schleife in X (dh einer Schleife, die nicht auf einen Punkt im Umgebungsraum X kontrahiert werden kann ). In technischerer Sprache minimieren wir die Länge über freie Schleifen, die nichttriviale Konjugationsklassen in der Fundamentalgruppe von X darstellen. Wenn X ein Graph ist, wird die Invariante normalerweise als Umfang bezeichnet, seit dem Artikel von 1947 über den Umfang von WT Tutte. Möglicherweise inspiriert durch Tuttes Artikel, begann Loewner Ende der 1940er Jahre über systolische Fragen auf Oberflächen nachzudenken, was 1950 zu einer Dissertation seines Studenten Pao Ming Pu führte. Der eigentliche Begriff "Systole" selbst wurde erst ein Vierteljahrhundert später von Marcel Berger geprägt.

Diese Forschungsrichtung wurde offensichtlich durch eine Bemerkung von René Thom in einem Gespräch mit Berger in der Bibliothek der Universität Straßburg im akademischen Jahr 1961-62, kurz nach der Veröffentlichung der Arbeiten von R. Accola und C. Blatter. In Bezug auf diese systolischen Ungleichheiten soll Thom ausgerufen haben: Mais c'est fondamental! [Diese Ergebnisse sind von grundlegender Bedeutung!]

Anschließend machte Berger das Thema in einer Reihe von Artikeln und Büchern populär, zuletzt in der März-Ausgabe 2008 der Notices of the American Mathematical Society (siehe Referenz unten). Eine Bibliographie auf der Website für systolische Geometrie und Topologie enthält derzeit über 160 Artikel. Die systolische Geometrie ist ein sich schnell entwickelndes Gebiet mit einer Reihe neuerer Veröffentlichungen in führenden Zeitschriften. Kürzlich (siehe Artikel von Katz und Rudyak aus dem Jahr 2006 unten) ist die Verbindung mit der Kategorie Lusternik-Schnirelmann aufgetaucht. Die Existenz einer solchen Verknüpfung kann man sich als Theorem in der systolischen Topologie vorstellen.

Eigenschaft eines zentralsymmetrischen Polyeders im 3-Raum

Jedes konvexe zentralsymmetrische Polyeder P in R ^{3 besitzt} ein Paar entgegengesetzter (antipodischer) Punkte und einen diese verbindenden Weg der Länge L, der auf dem Rand ∂ P von P liegt, erfüllt

$$ L 2≤ π 4 ein R e ein(∂P). {\displaystyle L^{2}\leq {\frac {\pi}{4}}\mathrm {Fläche} (\partial P).}

Eine alternative Formulierung ist wie folgt. Jeder zentralsymmetrische konvexe Körper der Oberfläche A kann durch eine Schlinge der Länge gequetscht werden, wobei der engste Sitz durch eine Kugel erreicht wird. Diese Eigenschaft entspricht einem Spezialfall der Pu-Ungleichung (siehe unten), einer der frühesten systolischen Ungleichungen. $$

π EIN {\displaystyle {\sqrt {\pi A}}}

Konzepte

Um eine erste Vorstellung vom Geschmack des Feldes zu bekommen, könnte man die folgenden Beobachtungen machen. Die Hauptrichtung von Thoms oben zitierter Bemerkung an Berger scheint die folgende zu sein. Immer wenn man auf eine Ungleichung bezüglich geometrischer Invarianten stößt, ist ein solches Phänomen an sich interessant; umso mehr, wenn die Ungleichung scharf (dh optimal) ist. Die klassische isoperimetrische Ungleichung ist ein gutes Beispiel.

Ein Torus

In systolischen Fragen zu Oberflächen spielen integral-geometrische Identitäten eine besonders wichtige Rolle. Grob gesagt gibt es zum einen einen integralen identitätsbezogenen Bereich und zum anderen einen Durchschnitt der Energien einer geeigneten Schleifenschar. Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist die Energie eine obere Schranke für die Quadratlänge; daher erhält man eine Ungleichung zwischen Fläche und Quadrat der Systole. Ein solcher Ansatz funktioniert sowohl für die Loewner-Ungleichung

$$ S ja S 2≤ 2 3⋅ ein R e ein {\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\cdot \mathrm {Fläche} }

für den Torus, wo der Gleichheitsfall durch den flachen Torus erreicht wird, dessen Decktransformationen das Gitter der Eisenstein - ganzen Zahlen bilden,

Eine Animation der römischen Oberfläche, die P ² ( R ) in R ^{3 darstellt}

und für Pus Ungleichung für die reelle projektive Ebene P ² ( R ):

$$ S ja S 2≤ π 2⋅ ein R e ein {\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi}{2}}\cdot \mathrm {Fläche}},

mit Gleichheit, die eine Metrik konstanter Gaußscher Krümmung kennzeichnet.

Eine Anwendung der Berechnungsformel für die Varianz ergibt tatsächlich die folgende Version der Loewnerschen Torusungleichung mit isosystolischem Defekt:

$$ ein R e ein− 3 2 S ja S 2≥ v ein R(F), {\displaystyle \mathrm {Fläche} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} ^{2}\geq \mathrm {var} (f),}

wobei f der konforme Faktor der Metrik in Bezug auf eine flache flächeneinheitliche Metrik in ihrer konformen Klasse ist. Diese Ungleichung kann man sich analog zur Bonnesenschen Ungleichung mit isoperimetrischem Defekt vorstellen, einer Verstärkung der isoperimetrischen Ungleichung.

Kürzlich wurden eine Reihe neuer Ungleichungen dieser Art entdeckt, einschließlich universeller Volumenuntergrenzen. Weitere Details erscheinen bei Systolen von Oberflächen.

Gromovs systolische Ungleichung

Das tiefste Ergebnis im Feld ist die Gromovsche Ungleichung für die Homotopie-1-Systole einer essentiellen n- Mannigfaltigkeit M:

$$ S ja S π 1⁡ n≤ C nvol⁡(m), {\displaystyle \operatorname {sys\pi} _{1}{}^{n}\leq C_{n}\operatorname {vol} (M),}

wobei C n eine universelle Konstante ist, die nur von der Dimension von M abhängt. Hier ist die Homotopie systole sysπ 1 per Definition die kleinste Länge einer nicht kontrahierbaren Schleife in M. Eine Mannigfaltigkeit heißt essentiell, wenn ihre Fundamentalklasse [M] eine nichttriviale Klasse in der Homologie ihrer Fundamentalgruppe darstellt. Der Beweis beinhaltet eine neue Invariante namens Füllradius, eingeführt von Gromov, definiert wie folgt.

Bezeichne mit A den Koeffizientenring Z oder Z 2, je nachdem, ob M orientierbar ist oder nicht. Dann ist die mit [M] bezeichnete Fundamentalklasse einer kompakten n- dimensionalen Mannigfaltigkeit M ein Generator von. Gegeben eine Einbettung von M in den euklidischen Raum E, setzen wir $$

h n(m;EIN)=EIN {\displaystyle H_{n}(M;A)=A}

$$ F ich l l R ein D(m⊂E)=inf { ε gt; 0 | ι ε ( [ m ] ) = 0 ∈ h n ( U ε m ) }, {\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf\left\{\epsilon gt;0\left|\;\iota_{\epsilon}([M])=0\in H_{n} (U_{\epsilon}M)\right.\right\},}

wobei ι ε der Inklusionshomomorphismus ist, der durch die Inklusion von M in seine ε-Nachbarschaft U ε M in E induziert wird.

Um einen absoluten Füllradius in einer Situation zu definieren, in der M mit einer Riemannschen Metrik g ausgestattet ist, geht Gromov wie folgt vor. Man nutzt eine Einbettung durch C. Kuratowski aus. Man bettet M in den Banachraum L ^∞ ( M ) beschränkter Borelfunktionen auf M ein, ausgestattet mit der sup - Norm. Wir bilden nämlich einen Punkt x ∈ M auf die Funktion f x ∈ L ^∞ ( M ) ab, die durch die Formel f x (y) = d(x,y) für alle y ∈ M definiert ist, wobei d die durch definierte Distanzfunktion ist die Metrik. Durch die Dreiecksungleichung haben wir und daher ist die Einbettung stark isometrisch, in dem genauen Sinne, dass interner Abstand und Umgebungsabstand zusammenfallen. Eine solch stark isometrische Einbettung ist unmöglich, wenn der Umgebungsraum ein Hilbertraum ist, selbst wenn M der Riemannsche Kreis ist (der Abstand zwischen gegenüberliegenden Punkten muss π sein, nicht 2!). Wir setzen dann E = L ^∞ ( M ) in die obige Formel und definieren $$

IchIch {\displaystyle \|\;\|}$$D(x,ja)=Ich F x− F jaIch, {\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}

$$ F ich l l R ein D(m)= F ich l l R ein D ( m ⊂ L ∞ ( m ) ). {\displaystyle \mathrm {FillRad} (M)=\mathrm {FillRad} \left(M\subset L^{\infty}(M)\right).}

Gromov bewies nämlich eine scharfe Ungleichung in Bezug auf die Systole und den Füllradius,

$$ S ja S π 1≤6 F ich l l R ein D(m), {\displaystyle \mathrm {sys\pi} _{1}\leq 6\;\mathrm {FillRad} (M),}

gültig für alle wesentlichen Mannigfaltigkeiten M ; sowie eine Ungleichung

$$ F ich l l R ein D≤ C n v Ö l n 1 / n(m), {\displaystyle \mathrm {FillRad} \leq C_{n}\mathrm {vol} _{n}{}^{1/n}(M),}

gültig für alle geschlossenen Mannigfaltigkeiten M.

Eine Zusammenfassung eines Beweises, der auf neueren Ergebnissen der geometrischen Maßtheorie von S. Wenger basiert und auf früheren Arbeiten von L. Ambrosio und B. Kirchheim aufbaut, findet sich in Abschnitt 12.2 des unten zitierten Buches "Systolische Geometrie und Topologie". Ein völlig anderer Ansatz zum Beweis der Gromovschen Ungleichung wurde kürzlich von Larry Guth vorgeschlagen.

Gromovs stabile Ungleichung

Ein signifikanter Unterschied zwischen 1-systolischen Invarianten (definiert in Form von Schleifenlängen) und den höheren k -systolischen Invarianten (definiert in Bezug auf Zyklenflächen usw.) sollte beachtet werden. Während inzwischen eine Reihe optimaler systolischer Ungleichungen mit den 1-Systolen erhalten wurden, ist die optimale stabile 2-systolische Ungleichung von Gromov so gut wie die einzige optimale Ungleichung, die ausschließlich die höheren k- Systolen umfasst

$$ S T S ja S 2 n≤n! v Ö l 2 n( C P n) {\displaystyle \mathrm{stsys}_{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol}_{2n}(\mathbb{CP}^{n})}

für den komplexen projektiven Raum, wo die optimale Schranke durch die symmetrische Fubini-Studien-Metrik erreicht wird, was auf die Verbindung zur Quantenmechanik hinweist. Hier ist die stabile 2-Systole einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M definiert durch die Einstellung

$$ S T S ja S 2= λ 1 ( h 2 ( m , Z ) R , Ich Ich ), {\displaystyle \mathrm {stsys}_{2}=\lambda_{1}\left(H_{2}(M,\mathbb{Z})_{\mathbb{R}},\|\;\| \rechts),}

wobei ist die stabile Norm, während λ 1 die kleinste Norm eines von Null verschiedenen Elements des Gitters ist. Wie außergewöhnlich die stabile Ungleichung von Gromov ist, wurde erst kürzlich deutlich. Es wurde nämlich, dass entgegen der Erwartung festgestellt, die symmetrische Metrik auf der quaternionic projektiven Ebene ist nicht sein optimale systolisch metric, im Gegensatz zu dem 2-Systole in dem komplexen Fall. Während die quaternionische projektive Ebene mit ihrer symmetrischen Metrik ein mitteldimensionales stabiles systolisches Verhältnis von 10/3 hat, ergibt das analoge Verhältnis für die symmetrische Metrik des komplexen projektiven 4-Raums den Wert 6, während die beste verfügbare obere Schranke für solche a Verhältnis einer beliebigen Metrik auf beiden dieser Räume ist 14. Diese obere Schranke hängt mit Eigenschaften der Lie-Algebra E7 zusammen. Wenn es eine 8-Mannigfaltigkeit mit außergewöhnlicher Spin(7)-Holonomie und 4. Betti-Zahl 1 gibt, dann ist der Wert 14 tatsächlich optimal. Mannigfaltigkeiten mit Spin(7)-Holonomie wurden von Dominic Joyce intensiv untersucht. $$

IchIch {\displaystyle \|\;\|}

Untere Schranken für 2-Systolen

In ähnlicher Weise resultiert fast die einzige nichttriviale untere Schranke für eine k- Systole mit k = 2 aus neueren Arbeiten in Eichtheorie und J-holomorphen Kurven. Die Untersuchung der unteren Schranken für die konforme 2-Systole von 4-Mannigfaltigkeiten hat zu einem vereinfachten Beweis der Bilddichte der Periodenkarte von Jake Solomon geführt.

Schottky-Problem

Eine der auffälligsten Anwendungen von Systolen ist vielleicht im Kontext des Schottky-Problems von P. Buser und P. Sarnak, die die Jacobi- von Riemann-Oberflächen unter hauptsächlich polarisierten abelschen Varietäten unterschieden und damit den Grundstein für die systolische Arithmetik legten.

Kategorie Lusternik–Schnirelmann

Das Stellen systolischer Fragen stimuliert oft Fragen in verwandten Bereichen. Daher wurde ein Begriff der systolischen Kategorie einer Mannigfaltigkeit definiert und untersucht, der eine Verbindung zur Lusternik-Schnirelmann-Kategorie (LS-Kategorie) aufweist. Beachten Sie, dass die systolische Kategorie (sowie die LS-Kategorie) per Definition eine ganze Zahl ist. Es hat sich gezeigt, dass die beiden Kategorien sowohl für Flächen als auch für 3-Mannigfaltigkeiten übereinstimmen. Darüber hinaus ist für orientierbare 4-Mannigfaltigkeiten die systolische Kategorie eine untere Grenze für die LS-Kategorie. Sobald die Verbindung hergestellt ist, ist die Beeinflussung gegenseitig: Bekannte Ergebnisse zur LS-Kategorie regen zu systolischen Fragen an und umgekehrt.

Die neue Invariante wurde von Katz und Rudyak eingeführt (siehe unten). Da sich herausstellt, dass die Invariante eng mit der Lusternik-Schnirelman-Kategorie (LS-Kategorie) verwandt ist, wurde sie als systolische Kategorie bezeichnet.

Die systolische Kategorie einer Mannigfaltigkeit M wird durch die verschiedenen k- Systolen von M definiert. Grob gesagt ist die Idee wie folgt. Bei einer Mannigfaltigkeit M sucht man nach dem längsten Produkt von Systolen, die eine "krümmungsfreie" untere Schranke für das Gesamtvolumen von M ergeben (mit einer von der Metrik unabhängigen Konstanten). Es ist natürlich, auch systolische Invarianten der Hüllen von M in die Definition einzubeziehen. Die Anzahl der Faktoren in einem solchen „längste Produkt“ ist definitionsgemäß der systolische Kategorie von M.

Gromov zeigte zum Beispiel, dass eine essentielle n- Mannigfaltigkeit eine Volumenuntergrenze in Bezug auf die n-te Potenz der Homotopie-1-Systole zulässt (siehe Abschnitt oben). Daraus folgt, dass die systolische Kategorie einer essentiellen n- Mannigfaltigkeit genau n ist. Tatsächlich wird für geschlossene n- Mannigfaltigkeiten der Maximalwert sowohl der LS-Kategorie als auch der systolischen Kategorie gleichzeitig erreicht.

Ein weiterer Hinweis auf die Existenz einer faszinierenden Beziehung zwischen den beiden Kategorien ist die Beziehung zur Invariante Cuplength. Somit stellt sich heraus, dass die tatsächliche Körbchenlänge für beide Kategorien eine untere Schranke ist.

Die systolische Kategorie stimmt in einer Reihe von Fällen mit der LS-Kategorie überein, einschließlich der Mannigfaltigkeiten der Dimensionen 2 und 3. In Dimension 4 wurde kürzlich gezeigt, dass die systolische Kategorie eine untere Schranke für die LS-Kategorie ist.

Systolische hyperbolische Geometrie

Die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der großen Gattung g der Systole hyperbolischer Oberflächen zeigt einige interessante Konstanten. Somit erfüllen Hurwitz-Flächen Σ g, die durch einen Turm von Hauptkongruenz-Untergruppen der (2,3,7) hyperbolischen Dreiecksgruppe definiert sind, die Schranke

$$ S ja S π 1( Σ g)≥ 4 3Protokoll⁡g, {\displaystyle \mathrm {sys} \pi_{1}(\Sigma_{g})\geq {\frac {4}{3}}\log g,}

und eine ähnliche Schranke gilt für allgemeinere arithmetische Fuchssche Gruppen. Dieses Ergebnis von Katz, Schaps und Vishne aus dem Jahr 2007 verallgemeinert die Ergebnisse von Peter Sarnak und Peter Buser im Fall von über Q definierten arithmetischen Gruppen aus ihrer wegweisenden Arbeit von 1994 (siehe unten).

Eine Bibliographie für Systolen in hyperbolischer Geometrie umfasst derzeit vierzig Artikel. Interessante Beispiele liefern die Bolza-Fläche, Klein-Quartik, Macbeath-Fläche, First Hurwitz-Triplett.

Beziehung zu Abel-Jacobi-Karten

Eine Familie optimaler systolischer Ungleichungen wird als Anwendung der Techniken von Burago und Ivanov erhalten, indem geeignete Abel-Jacobi-Karten verwendet werden, die wie folgt definiert sind.

Sei M eine Mannigfaltigkeit, π = π 1 ( M ), ihre Fundamentalgruppe und f: π → π ^ab ihre Abelianisierungsabbildung. Sei tor die Torsionsuntergruppe von π ^ab. Sei g: π ^ab → π ^ab / tor der Torsionsquotient. Offensichtlich ist π ^ab / tor = Z ^b, wobei b = b 1 ( M ). Sei φ: π → Z ^b der zusammengesetzte Homomorphismus.

Definition: Die Überdeckung der Mannigfaltigkeit M, die der Untergruppe Ker(φ) ⊂ entspricht, heißt universelle (oder maximale) freie abelsche Überdeckung.$$

m ¯ {\displaystyle {\bar {M}}}

Nehmen wir nun an, M hat eine Riemannsche Metrik. Sei E der Raum harmonischer 1-Formen auf M, wobei duales E * kanonisch mit H 1 ( M, R ) identifiziert wird. Durch Integration einer ganzzahligen harmonischen 1-Form entlang von Pfaden von einem Basispunkt x 0 ∈ M erhalten wir eine Abbildung auf den Kreis R / Z = S ¹.

Um eine Abbildung M → H 1 ( M, R )/ H 1 ( M, Z ) R zu definieren, ohne eine Basis für die Kohomologie zu wählen, argumentieren wir ähnlich wie folgt. Sei x ein Punkt in der universellen Hülle von M. Somit wird x durch einen Punkt von M zusammen mit einem Weg c von x 0 zu ihm repräsentiert. Durch Integrieren entlang des Pfades c erhalten wir eine Linearform, auf E. Wir erhalten damit eine Abbildung, die außerdem auf eine Abbildung absteigt $$

m ~ {\displaystyle {\tilde {M}}}$$h→ ∫ Ch {\displaystyle h\to \int _{c}h}$$ m ~→ E *= h 1(m, R) {\displaystyle {\tilde{M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbf{R})}

$$ EIN ¯ m: m ¯→ E *,C↦ ( h ↦ ∫ C h ), {\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h \rechts),}

wo ist die universelle freie abelsche Hülle. $$

m ¯ {\displaystyle {\overline {M}}}

Definition: Die Jacobi-Variante (Jacobi Torus) von M ist der Torus J 1 ( M )= H 1 ( M, R )/ H 1 ( M, Z ) R

Definition: Die Abel-Jacobi-Karte wird aus der obigen Karte durch Übergeben an Quotienten erhalten. Die Abel-Jacobi-Karte ist bis auf die Übersetzungen des Jacobi-Torus einzigartig.$$

EIN m:m→ J 1(m), {\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}

Als Beispiel kann man die folgende Ungleichung nach D. Burago, S. Ivanov und M. Gromov anführen.

Sei M eine n- dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der ersten Betti-Zahl n, so dass die Abbildung von M auf ihren Jacobi-Torus einen Grad ungleich Null hat. Dann erfüllt M die optimale stabile systolische Ungleichung

$$ S T S ja S 1 n≤ γ n v Ö l n(m), {\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}{}^{n}\leq \gamma_{n}\mathrm {vol}_{n}(M),}

wo ist die klassische Hermite-Konstante. $$

γ n {\displaystyle \gamma_{n}}

Verwandte Felder, Volumenentropie

Es wurde gezeigt, dass asymptotische Phänomene für die Systole von Oberflächen großer Gattungen mit interessanten ergodischen Phänomenen und mit Eigenschaften von Kongruenz-Untergruppen von arithmetischen Gruppen in Zusammenhang stehen.

Gromovs Ungleichung von 1983 für die Homotopie-Systole impliziert insbesondere eine einheitliche untere Schranke für die Fläche einer asphärischen Oberfläche in Bezug auf ihre Systole. Eine solche Schranke verallgemeinert die Ungleichungen von Loewner und Pu, wenn auch in nicht optimaler Weise.

Gromovs bahnbrechendes Papier von 1983 enthält auch asymptotische Grenzen, die die Systole und den Bereich in Beziehung setzen, was die einheitliche Grenze (gültig in allen Dimensionen) verbessert.

Vor kurzem wurde entdeckt (siehe Artikel von Katz und Sabourau unten), dass die Volumenentropie h zusammen mit A. Katoks optimaler Ungleichung für h der "richtige" Intermediär in einem transparenten Beweis von M. Gromovs asymptotischer Schranke für das systolische Verhältnis von. ist Oberflächen einer großen Gattung.

Das klassische Ergebnis von A. Katok besagt, dass jede Metrik auf einer geschlossenen Fläche M mit negativer Euler-Charakteristik eine optimale Ungleichung bezüglich Entropie und Fläche erfüllt.

Es stellt sich heraus, dass die minimale Entropie einer geschlossenen Oberfläche mit ihrem optimalen systolischen Verhältnis in Beziehung gesetzt werden kann. Es gibt nämlich eine obere Schranke für die Entropie einer systolisch extremalen Oberfläche in Bezug auf ihre Systole. Durch Kombinieren dieser oberen Schranke mit Katoks optimaler unterer Schranke in Bezug auf das Volumen erhält man einen einfacheren alternativen Beweis für Gromovs asymptotische Schätzung für das optimale systolische Verhältnis von Oberflächen großer Gattungen. Darüber hinaus ergibt ein solcher Ansatz eine verbesserte multiplikative Konstante im Satz von Gromov.

Als Anwendung impliziert diese Methode, dass jede Metrik auf einer Oberfläche der Gattung mindestens 20 der Löwnerschen Torusungleichung genügt. Dies verbessert die beste frühere Schätzung von 50, die aus einer Schätzung von Gromov folgte.

Füllflächenvermutung

Hauptartikel: Füllbereich Vermutung

Gromovs Vermutung der Füllfläche wurde in einer hyperelliptischen Umgebung bewiesen (siehe Referenz von Bangert et al. unten).

Die Füllflächenvermutung besagt, dass unter allen möglichen Füllungen des Riemannschen Kreises der Länge 2π durch eine Fläche mit stark isometrischer Eigenschaft die runde Halbkugel die kleinste Fläche hat. Hier bezieht sich der Riemannsche Kreis auf die eindeutige geschlossene 1-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit des gesamten 1-Volumens 2π und des Riemannschen Durchmessers π.

Um die Vermutung zu erklären, beginnen wir mit der Beobachtung, dass der Äquatorkreis der Einheitskugel S ² ⊂ R ³ ein Riemannscher Kreis S ¹ der Länge 2π und des Durchmessers π ist.

Genauer gesagt ist die Riemannsche Distanzfunktion von S ¹ die Beschränkung der umgebenden Riemannschen Distanz auf die Kugel. Diese Eigenschaft wird durch die Standardeinbettung des Einheitskreises in die euklidische Ebene nicht erfüllt, wo ein Paar gegenüberliegender Punkte den Abstand 2 hat, nicht π.

Wir betrachten alle Füllungen von S ¹ durch eine Fläche, so dass die durch die Aufnahme des Kreises als Rand der Fläche definierte eingeschränkte Metrik die Riemannsche Metrik eines Kreises der Länge 2π ist. Die Aufnahme des Kreises als Rand wird dann als stark isometrische Einbettung des Kreises bezeichnet.

1983 vermutete Gromov, dass die runde Halbkugel die "beste" Möglichkeit sei, den Kreis unter allen Füllflächen zu füllen.

Der Fall einfach zusammenhängender Füllungen entspricht der Ungleichung von Pu. Kürzlich wurde auch der Fall der Füllungen der Gattung -1 positiv entschieden (siehe Referenz von Bangert et al. unten). Es stellt sich nämlich heraus, dass man eine ein halbes Jahrhundert alte Formel von J. Hersch aus der integralen Geometrie verwerten kann. Betrachten Sie nämlich die Familie der Achterschleifen auf einem Fußball mit dem Selbstschnittpunkt am Äquator (siehe Abbildung am Anfang des Artikels). Herschs Formel drückt die Fläche einer Metrik in der konformen Klasse des Fußballs als Durchschnitt der Energien der Achterschleifen aus der Familie aus. Eine Anwendung der Herschschen Formel auf den hyperelliptischen Quotienten der Riemannschen Fläche beweist in diesem Fall die Füllflächenvermutung.

Andere systolische Verzweigungen der Hyperelliptizität wurden in der Gattung 2 identifiziert.

Umfragen

Die Erhebungen in diesem Bereich umfassen die Erhebung von M. Berger (1993), die Erhebung von Gromov (1996), das Buch von Gromov (1999), das Panoramabuch von Berger (2003) sowie das Buch von Katz (2007). Diese Referenzen können einem Anfänger helfen, das Feld zu betreten. Sie enthalten auch offene Probleme, an denen gearbeitet werden kann.

Siehe auch

• Systolen von Oberflächen
• Löwners Torusungleichung
• Pus Ungleichung
• Füllflächenvermutung
• Gromovs Ungleichung für den komplexen projektiven Raum
• Gromovs systolische Ungleichung für essentielle Mannigfaltigkeiten
• Erstes Hurwitz-Triplett
• Liste der Themen zur Differentialgeometrie
• Systolische Freiheit
• Umfang (Funktionsanalyse)

Anmerkungen

Verweise

• Bangert, V. ; Croke, C.; Ivanov, S.; Katz, M.: Füllflächenvermutung und ovallose reale hyperelliptische Flächen. Geometrische und Funktionsanalyse (GAFA) 15 (2005), Nr. 3, 577–597.
• Berger, M.: Systolen und Anwendungen Selon Gromov. (Französisch. Französische Zusammenfassung) [Systolen und ihre Anwendungen nach Gromov] Séminaire Bourbaki, Vol. 2, No. 1992/93. Astérisque Nr. 216 (1993), Erw. Nr. 771, 5, 279-310.
• Berger, M.: Ein Panorama der Riemannschen Geometrie. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
• Berger, M.: Was ist... eine Systole? Bekanntmachungen des AMS 55 (2008), Nr. 3, 374–376.
• Buser, P.; Sarnak, P. : Zur Periodenmatrix einer Riemannschen Fläche großer Gattung. Mit einem Anhang von JH Conway und NJA Sloane. Erfinden. Mathematik. 117 (1994), Nr. 117. 1, 27-56.
• Gromov, M.: Füllen von Riemannschen Mannigfaltigkeiten, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1–147.
• Gromov, M. Systolen und intersystolische Ungleichungen. (Englisch, französische Zusammenfassung) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291—362, Sémin. Kongr., 1, Soz. Mathematik. Frankreich, Paris, 1996.
• Gromov, M. Metrische Strukturen für Riemannsche und Nicht-Riemannsche Räume. Basierend auf dem französischen Original von 1981. Mit Anhängen von Mikhail Katz, Pierre Pansu und Stephen Semmes. Aus dem Französischen übersetzt von Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
• Katz, M.: Der Füllradius zweipunkthomogener Räume. Journal of Differential Geometry 18, Nummer 3 (1983), 505-511.
• Katz, M. Systolische Geometrie und Topologie. Mit einem Anhang von J. Solomon. Mathematische Übersichten und Monographien, Band 137. American Mathematical Society, 2007.
• Katz, M.; Rudyak, Y.: Systolische Kategorie und Lusternik-Schnirelman-Kategorie niederdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Mitteilungen über reine und angewandte Mathematik 59 ('06), 1433–1456.
• Katz, M.; Sabourau, S.: Entropie systolisch extremaler Oberflächen und asymptotischer Grenzen. Ergo. NS. Dynam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U.: Logarithmisches Wachstum der Systole arithmetischer Riemann-Flächen entlang Kongruenzuntergruppen. J. Differentialgeom. 76 (2007), Nr. 3, 399–422. Verfügbar bei arXiv : math/0505007
• Pu, PM: Einige Ungleichungen in bestimmten nichtorientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Pacific J. Math. 2 (1952), 55—71.

Externe Links

• AMS-Webseite für das Buch von Mikhail Katz.
• Website für systolische Geometrie und Topologie