t = γ ( t ' + v x ' / c 2 ) x = γ ( x ' + v t ' ) ja = ja ' z = z ' .
{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}tamp;=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\xamp;=\gamma (x'+vt')\\yamp;=y'\\zamp;=z '.\end{ausgerichtet}}} Wenn man diese inverse Lorentz-Transformation erzwingt, damit sie mit der Lorentz-Transformation vom gestrichenen in das ungestrichene System zusammenfällt, wird gezeigt, dass sich das ungestrichene System mit der Geschwindigkeit v′ = − v bewegt, gemessen im gestrichenen System.
An der x- Achse ist nichts besonderes. Die Transformation kann für die y- oder z- Achse gelten, oder auch in jede Richtung parallel zur Bewegung (die um den γ- Faktor verzerrt ist) und senkrecht; Details finden Sie im Artikel Lorentz-Transformation .
Eine Mengeninvariante unter Lorentz-Transformationen wird als Lorentz-Skalar bezeichnet .
Schreiben der Lorentz - Transformation und ihre Inverse bezüglich der Koordinatendifferenzen, wobei ein Ereigniskoordinaten hat ( x 1, t 1) und ( x ' 1, t ' 1), weist ein anderes Ereignis Koordinaten ( x 2, t 2) und ( x ′ 2, t ′ 2) und die Differenzen sind definiert als
Gl. 1: {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\.} Gl. 2: {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\.} wir bekommen
Gl. 3: {\displaystyle \Delta x'=\gamma\ (\Delta xv\,\Delta t)\,\ \ } {\displaystyle \Updelta t'=\gamma\\left(\Updelta tv\ \Updelta x/c^{2}\right)\.} Gl. 4: {\displaystyle \Delta x=\gamma\ (\Delta x'+v\,\Delta t')\,\ } {\displaystyle \Updelta t=\gamma\\left(\Updelta t'+v\\Updelta x'/c^{2}\right)\.} Wenn wir Differenzen nehmen, anstatt Differenzen zu nehmen, erhalten wir
Gl. 5: {\displaystyle dx'=\gamma\ (dx-v\,dt)\,\ \ } {\displaystyle dt'=\gamma\\left(dt-v\dx/c^{2}\right)\.} Gl. 6: {\displaystyle dx=\gamma\ (dx'+v\,dt')\,\ } {\displaystyle dt=\gamma\\left(dt'+v\dx'/c^{2}\right)\.} Grafische Darstellung der Lorentz-Transformation Raumzeit-Diagramme ( Minkowski-Diagramme ) sind ein äußerst nützliches Hilfsmittel, um zu visualisieren, wie sich Koordinaten zwischen verschiedenen Referenzsystemen transformieren. Obwohl es nicht so einfach ist, mit ihnen exakte Berechnungen durchzuführen, wie die Lorentz-Transformationen direkt aufzurufen, liegt ihre Hauptleistung in ihrer Fähigkeit, die Ergebnisse eines relativistischen Szenarios intuitiv zu erfassen.
Um ein Raum-Zeit-Diagramm zu zeichnen, betrachten Sie zunächst zwei Galilei-Referenzsysteme S und S' in Standardkonfiguration, wie in Abb. 2-1 gezeigt.
Abb. 3-1a. Zeichnen Sie die und -Achsen von Frame S. DieAchse ist horizontal und die (eigentlich) Achse vertikal, was das Gegenteil der üblichen Konvention in der Kinematik ist. DieAchse wird um den Faktor skaliert,sodass beide Achsen gemeinsame Längeneinheiten haben. Im gezeigten Diagramm sind die Gitterlinien eine Einheitsentfernung voneinander entfernt. Die 45° diagonalen Linien stellen die Weltlinien von zwei Photonen dar, die den Ursprung zur Zeit passieren. Die Steigung dieser Weltlinien ist 1, weil die Photonen pro Zeiteinheit eine Raumeinheit vorwärtsbewegen. Zwei Ereignisse und wurden in diesem Diagramm aufgetragen, so dass ihre Koordinaten in den S- und S-Rahmen verglichen werden können.{\displaystyle x} {\displaystyle t} {\displaystyle x} {\displaystyle t} {\displaystyle ct} {\displaystyle ct} {\displaystyle c} {\displaystyle t=0.} {\displaystyle {\text{A}}} {\displaystyle {\text{B}},}
Abb. 3-1b. Zeichnen Sie die Achsen und des Rahmens S'. Die Achse stellt die Weltlinie des Ursprungs des Koordinatensystems von S dar, wie in Rahmen S gemessen. In dieser Abbildung sind die Achsen und von den nicht gestrichenen Achsen um einen Winkel geneigt, bei dem die gestrichene und die nicht gestrichene Achse einen gemeinsamen Ursprung haben, da die Rahmen S und S' wurden in der Standardkonfiguration eingerichtet, so dass wenn{\displaystyle x'} {\displaystyle ct'} {\displaystyle ct'} {\displaystyle v=c/2.} {\displaystyle ct'} {\displaystyle x'} {\displaystyle \alpha =\tan^{-1}(\beta),} {\displaystyle \beta =v/c.} {\displaystyle t=0} {\displaystyle t'=0.}
Abb. 3-1c. Einheiten in den gestrichenen Achsen haben eine andere Skalierung als Einheiten in den nicht gestrichenen Achsen. Aus den Lorentz-Transformationen beobachten wir, dass sich Koordinaten von im gestrichenen Koordinatensystem in das ungestrichene Koordinatensystem transformieren. Ebenso transformieren sich Koordinaten von im gestrichenen Koordinatensystem in das ungestrichene System. Zeichnen Sie Gitterlinien parallel zur Achse durch Punkte, die im Rahmen ohne Grundierung gemessen wurden, wobei eine ganze Zahl ist. Ziehen Sie ebenso Gitterlinien parallel zur Achse durch, wie im ungrundierten Rahmen gemessen. Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras beobachten wir, dass der Abstand zwischen den Einheiten gleich dem Abstand zwischen den Einheiten ist, gemessen im Rahmen S. Dieses Verhältnis ist immer größer als 1, und schließlich nähert es sich Unendlich als{\displaystyle (x',ct')} {\displaystyle (0,1)} {\displaystyle (\beta\gamma,\gamma)} {\displaystyle (x',ct')} {\displaystyle (1,0)} {\displaystyle (\gamma,\beta\gamma)} {\displaystyle ct'} {\displaystyle (k\gamma,k\beta\gamma)} {\displaystyle k} {\displaystyle x'} {\displaystyle (k\beta\gamma,k\gamma)} {\displaystyle ct'} {\displaystyle {\sqrt {(1+\beta^{2})/(1-\beta^{2})}}} {\displaystyle ct} {\displaystyle \beta \rightarrow 1.}
Abb. 3-1d. Da die Lichtgeschwindigkeit eine Invariante ist, werden die Weltlinien zweier Photonen, die zu diesem Zeitpunkt durch den Ursprung gehen, immer noch als 45° diagonale Linien dargestellt. Die gestrichenen Koordinaten von und stehen in Beziehung zu den ungestrichenen Koordinaten durch die Lorentz-Transformationen und könnten näherungsweise aus dem Graphen gemessen werden (vorausgesetzt, dass er genau genug gezeichnet wurde), aber der wahre Vorteil eines Minkowski-Diagramms besteht darin, dass es uns eine geometrische Ansicht von. gewährt das Szenario. In dieser Abbildung beobachten wir beispielsweise, dass die beiden zeitmäßig getrennten Ereignisse, die im nicht gestrichenen System unterschiedliche x-Koordinaten hatten, jetzt an derselben Position im Raum sind.{\displaystyle t'=0} {\displaystyle {\text{A}}} {\displaystyle {\text{B}}}
Während der nicht gestrichene Rahmen mit rechtwinklig aufeinandertreffenden Raum- und Zeitachsen gezeichnet wird, wird der gestrichene Rahmen mit Achsen gezeichnet, die sich in spitzen oder stumpfen Winkeln treffen. Diese Asymmetrie ist auf unvermeidliche Verzerrungen bei der Abbildung von Raumzeit-Koordinaten auf eine kartesische Ebene zurückzuführen , aber die Frames sind tatsächlich äquivalent.
Konsequenzen aus der Lorentz-Transformation Siehe auch: Zwillingsparadoxon und relativistische Mechanik Die Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie lassen sich aus den Lorentz-Transformationsgleichungen ableiten. Diese Transformationen und damit die spezielle Relativitätstheorie führen bei allen Relativgeschwindigkeiten zu anderen physikalischen Vorhersagen als die der Newtonschen Mechanik und am ausgeprägtesten, wenn die Relativgeschwindigkeiten mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar werden. Die Lichtgeschwindigkeit ist so viel größer als alles, was den meisten Menschen begegnet, dass einige der von der Relativitätstheorie vorhergesagten Effekte zunächst kontraintuitiv sind .
Invariantes Intervall In der galiläischen Relativität sind Länge () und zeitliche Trennung zwischen zwei Ereignissen () unabhängige Invarianten, deren Werte sich bei Beobachtung aus verschiedenen Bezugssystemen nicht ändern.{\displaystyle \Delta r} {\displaystyle \Delta t}
In der speziellen Relativitätstheorie erzeugt die Verflechtung von räumlichen und zeitlichen Koordinaten jedoch das Konzept eines invarianten Intervalls, das als:{\displaystyle \Delta s^{2}}
Δ so 2 = d e f c 2 Δ t 2 − ( Δ x 2 + Δ ja 2 + Δ z 2 )
{\displaystyle \Updelta s^{2}\;{\overset {def}{=}}\;c^{2}\Updelta t^{2}-(\Updelta x^{2}+\Updelta y^ {2}+\Delta z^{2})} Die Verflechtung von Raum und Zeit widerruft die implizit angenommenen Konzepte der absoluten Gleichzeitigkeit und Synchronisation über nicht mitbewegte Frames.
Die Form der Differenz des quadrierten Zeitraffers und der quadrierten räumlichen Distanz zeigt eine fundamentale Diskrepanz zwischen euklidischen und raumzeitlichen Distanzen. Die Invarianz dieses Intervalls ist eine Eigenschaft der allgemeinen Lorentz-Transformation (auch Poincaré-Transformation genannt ), was sie zu einer Isometrie der Raumzeit macht. Die allgemeine Lorentz-Transformation erweitert die Standard-Lorentz-Transformation (die sich mit Translationen ohne Rotation befasst, dh Lorentz-Boosts in x-Richtung) mit allen anderen Translationen , Reflexionen und Rotationen zwischen jedem kartesischen Inertialsystem.{\displaystyle \Delta s^{2},}
Bei der Analyse vereinfachter Szenarien, wie z. B. Raum-Zeit-Diagrammen, wird häufig eine dimensionsreduzierte Form des invarianten Intervalls verwendet:
{\displaystyle \Updelta s^{2}\,=\,c^{2}\Updelta t^{2}-\Updelta x^{2}} Der Nachweis, dass das Intervall invariant ist, ist für den Fall mit reduzierter Dimensionalität und mit Frames in der Standardkonfiguration einfach:
{\displaystyle c^{2}\Updelta t^{2}-\Updelta x^{2}} = c 2 γ 2 ( Δ t ' + ) 2 − γ 2 ( Δ x ' + v Δ t ' ) 2
{\displaystyle =c^{2}\gamma^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\ Gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}} {\displaystyle =\gamma^{2}\left(c^{2}\Updelta t'^{\,2}+2v\Updelta x'\Updelta t'+{\dfrac {v^{2}\Updelta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-} {\displaystyle \gamma^{2}\ (\Updelta x'^{\,2}+2v\Updelta x'\Updelta t'+v^{2}\Updelta t'^{\,2})} = γ 2 c 2 Δ t ' 2 − γ 2 v 2 Δ t ' 2 − γ 2 Δ x ' 2 + γ 2
{\displaystyle =\gamma^{2}c^{2}\Updelta t'^{\,2}-\gamma^{2}v^{2}\Updelta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Updelta x'^{\,2}+\gamma^{2}{\Dfrac{v^{2}\Updelta x'^{\,2}}{c^{2}}}} {\displaystyle =\gamma^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}\right)} {\displaystyle =c^{2}\Updelta t'^{\,2}-\Updelta x'^{\,2}} Der Wert von ist daher unabhängig von dem Rahmen, in dem er gemessen wird.{\displaystyle \Delta s^{2}}
Bei der Betrachtung der physikalischen Bedeutung von sind drei Fälle zu beachten:{\displaystyle \Delta s^{2}}
Δs 2 gt; 0: In diesem Fall sind die beiden Ereignisse durch mehr Zeit als Raum getrennt und werden daher als zeitmäßig getrennt bezeichnet. Dies impliziert, dass und angesichts der Lorentz-Transformation offensichtlich ist, dass es ein Weniger als für die gibt (insbesondere). Mit anderen Worten, bei zwei zeitlich getrennten Ereignissen ist es möglich, einen Rahmen zu finden, in dem die beiden Ereignisse am selben Ort stattfinden. In diesem Rahmen wird die zeitliche Trennung als Eigenzeit bezeichnet.{\displaystyle |\Delta x/\Delta t|lt;c,} {\displaystyle \Updelta x'=\gamma\ (\Updelta xv\,\Updelta t),} {\displaystyle v} {\displaystyle c} {\displaystyle \Delta x'=0} {\displaystyle v=\Delta x/\Delta t} {\displaystyle \Delta s/c,} Δs 2 lt; 0: In diesem Fall sind die beiden Ereignisse durch mehr Raum als Zeit getrennt und werden daher als raumartig getrennt bezeichnet. Dies impliziert, dass bei gegebener Lorentz-Transformation ein Weniger als für die existiert(insbesondere). Mit anderen Worten, bei zwei räumlich getrennten Ereignissen ist es möglich, einen Rahmen zu finden, in dem die beiden Ereignisse gleichzeitig stattfinden. In diesem Rahmen wird die räumliche Trennung als richtiger Abstand oder richtige Länge bezeichnet. Für Werte größer und kleiner als das Vorzeichen der Änderung, dh die zeitliche Reihenfolge raumartig getrennter Ereignisse ändert sich je nach Rahmen, in dem die Ereignisse betrachtet werden. Die zeitliche Reihenfolge zeitartig getrennter Ereignisse ist jedoch absolut, da der einzige Weg, der größer sein könnte, alswäre, wenn{\displaystyle |\Delta x/\Delta t|gt;c,} {\displaystyle \Delta t'=\gamma\ (\Delta tv\Delta x/c^{2}),} {\displaystyle v} {\displaystyle c} {\displaystyle \Delta t'=0} {\displaystyle v=c^{2}\Updelta t/\Updelta x} {\displaystyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}},} {\displaystyle v} {\displaystyle c^{2}\Updelta t/\Updelta x,} {\displaystyle \Delta t'} {\displaystyle v} {\displaystyle c^{2}\Updelta t/\Updelta x} {\displaystyle vgt;c.} Δs 2 = 0: In diesem Fall werden die beiden Ereignisse als lichtartig getrennt bezeichnet. Dies impliziert, dass und diese Beziehung aufgrund der Invarianz von rahmenunabhängig ist. Daraus beobachten wir, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Trägheitsrahmen liegt. Mit anderen Worten, ausgehend von der Annahme der universellen Lorentz-Kovarianz ist die konstante Lichtgeschwindigkeit ein abgeleitetes Ergebnis und kein Postulat wie in der Zwei-Postulate-Formulierung der speziellen Theorie.{\displaystyle |\Updelta x/\Updelta t|=c,} {\displaystyle s^{2}.} {\displaystyle c} Relativität der Gleichzeitigkeit Siehe auch: Relativität der Gleichzeitigkeit und Leiterparadox Betrachten Sie zwei Ereignisse, die an zwei verschiedenen Orten gleichzeitig im Bezugssystem eines Trägheitsbeobachters auftreten. Sie können im Bezugssystem eines anderen Trägheitsbeobachters nicht gleichzeitig auftreten (fehlende absolute Gleichzeitigkeit ).
Aus Gleichung 3 (die Vorwärts-Lorentz-Transformation in Bezug auf Koordinatendifferenzen)
{\displaystyle \Updelta t'=\gamma\left(\Updelta t-{\frac{v\,\Updelta x}{c^{2}}}\right)} Es ist klar, dass die beiden Ereignisse, die in Rahmen gleichzeitig sind S (befriedigend Δ t = 0), sind nicht notwendigerweise in einem anderen gleichzeitigen Inertialsystem S '(befriedigend Δ t ' = 0). Nur wenn diese Ereignisse zusätzlich Co-local in Rahmen sind S (befriedigend Δ x = 0), werden sie in einem anderen Rahmen gleichzeitig sein S '.
Der Sagnac-Effekt kann als Manifestation der Relativität der Gleichzeitigkeit angesehen werden. Da die Relativität der Gleichzeitigkeit ein Effekt erster Ordnung in ist, sind Instrumente, die für ihren Betrieb auf dem Sagnac-Effekt basieren, wie Ringlasergyroskope und faseroptische Gyroskope , in der Lage, extreme Empfindlichkeitsniveaus zu erreichen.{\displaystyle v}
Zeitdilatation Siehe auch: Zeitdilatation Die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen ist von einem Beobachter zum anderen nicht unveränderlich, sondern hängt von den relativen Geschwindigkeiten der Referenzsysteme der Beobachter ab (z. B. das Zwillingsparadoxon, das einen Zwilling betrifft, der in einem Raumschiff mit nahezu Lichtgeschwindigkeit davonfliegt und kehrt zurück, um zu entdecken, dass das nicht reisende Zwillingsgeschwister viel älter geworden ist, wobei das Paradox darin besteht, dass wir bei konstanter Geschwindigkeit nicht erkennen können, welcher Zwilling sich nicht bewegt und welcher Zwilling reist).
Angenommen, eine Uhr ruht im ungestrichenen System S. Die Position der Uhr auf zwei verschiedenen Ticks ist dann durch Δ x = 0 gekennzeichnet. Um die Beziehung zwischen den Zeiten zwischen diesen Ticks, wie in beiden Systemen gemessen, zu finden, kann Gleichung 3 verwendet werden, um Folgendes zu finden:
{\displaystyle \Updelta t'=\gamma\,\Updelta t} {\displaystyle \Delta x=0\.} Dies zeigt, dass die Zeit (Δ t ′) zwischen den beiden Ticks, gesehen im Rahmen, in dem sich die Uhr bewegt ( S), länger ist als die Zeit (Δ t) zwischen diesen Ticks, gemessen im Restrahmen des Uhr ( S). Die Zeitdilatation erklärt eine Reihe von physikalischen Phänomenen; zum Beispiel ist die Lebensdauer von Hochgeschwindigkeits- Myonen, die durch die Kollision von kosmischer Strahlung mit Teilchen in der äußeren Atmosphäre der Erde erzeugt werden und sich zur Erdoberfläche bewegen, länger als die Lebensdauer von sich langsam bewegenden Myonen, die in einem Labor erzeugt und zerfallen.
Längenkontraktion Siehe auch: Lorentz-Kontraktion Die Abmessungen (z. B. Länge) eines Objekts, die von einem Beobachter gemessen werden, können kleiner sein als die Ergebnisse von Messungen desselben Objekts, die von einem anderen Beobachter durchgeführt wurden (z. B. beinhaltet das Leiterparadox eine lange Leiter, die sich nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegt und eingeschlossen ist in einer kleineren Garage).
Nehmen Sie in ähnlicher Weise an, dass ein Messstab ruht und entlang der x- Achse im ungestrichenen System S ausgerichtet ist. In diesem System wird die Länge dieses Stabes als Δ x geschrieben. Um die Länge dieses Stabes im System S zu messen, in dem sich der Stab bewegt, müssen in diesem System S ′ gleichzeitig die Abstände x ′ zu den Endpunkten des Stabes gemessen werden. Mit anderen Worten, die Messung ist gekennzeichnet durch Δ t ′ = 0, die mit Gleichung 4 kombiniert werden kann, um die Beziehung zwischen den Längen Δ x und Δ x ′ zu finden:
{\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma}}} {\displaystyle \Delta t'=0\.} Dies zeigt, dass die Länge (Δ x ′) des Stabes, gemessen in dem Rahmen, in dem er sich bewegt ( S ′), kürzer ist als seine Länge (Δ x) in seinem eigenen Ruherahmen ( S).
Zeitdilatation und Längenkontraktion sind nicht nur Erscheinungen. Die Zeitdilatation bezieht sich explizit auf unsere Art, Zeitintervalle zwischen Ereignissen zu messen, die an derselben Stelle in einem gegebenen Koordinatensystem auftreten (sogenannte "kolokale" Ereignisse). Diese Zeitintervalle (die von relevanten Beobachtern tatsächlich experimentell gemessen werden können und werden) sind in einem anderen Koordinatensystem, das sich in Bezug auf das erste bewegt, unterschiedlich, es sei denn, die Ereignisse sind nicht nur kolokal, sondern auch gleichzeitig. In ähnlicher Weise bezieht sich die Längenkontraktion auf unsere gemessenen Distanzen zwischen getrennten, aber gleichzeitigen Ereignissen in einem gegebenen Koordinatensystem der Wahl. Wenn diese Ereignisse nicht kolokal sind, sondern durch einen Abstand (Raum) getrennt sind, treten sie von einem anderen sich bewegenden Koordinatensystem aus nicht im gleichen räumlichen Abstand voneinander auf.
Lorentz-Transformation von Geschwindigkeiten Siehe auch: Geschwindigkeits-Additionsformel Betrachten Sie zwei Frames S und S′ in der Standardkonfiguration. Ein Teilchen in S bewegt sich in x-Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor Wie groß ist seine Geschwindigkeit im System S′ ?{\displaystyle\mathbf{u}.} {\displaystyle \mathbf {u'} }
Wir können schreiben
Gl. 7: {\displaystyle \mathbf {|u|} =u=dx/dt\.} Gl. 8: {\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\.} Das Einsetzen von Ausdrücken für und aus Gleichung 5 in Gleichung 8, gefolgt von einfachen mathematischen Manipulationen und Rücksubstitution aus Gleichung 7 ergibt die Lorentz-Transformation der Geschwindigkeit zu:{\displaystyle dx'} {\displaystyle dt'} {\displaystyle u} {\displaystyle u'}
Gl. 9: du ' = d x ' d t ' = γ ( d x − v d t ) γ ( d t − v d x c 2 ) =
{\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2 }}}\right)}}=} d x d t − v 1 − ( v c 2 ) ( d x d t ) = du − v 1 − du v / c 2 .
{\displaystyle {\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)\left({\frac { dx}{dt}}\right)}}={\frac {uv}{1-uv/c^{2}}}.} Die inverse Beziehung erhält man durch Vertauschen der gestrichenen und nicht gestrichenen Symbole und Ersetzen durch{\displaystyle v} {\displaystyle -v\.}
Gl. 10: {\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.} Für nicht entlang der x-Achse ausgerichtet schreiben wir:{\displaystyle\mathbf{u}}
Gl. 11: {\displaystyle \mathbf{u} =(u_{1},\u_{2},\u_{3})=} {\displaystyle (dx/dt,\dy/dt,\dz/dt)\.} Gl. 12: {\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\u_{2}',\u_{3}')=} ( d x ' / d t ' , d ja ' / d t ' , d z ' / d t ' ) .
{\displaystyle (dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\.} Die Vorwärts- und Rückwärtstransformationen für diesen Fall sind:
Gl. 13: {\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\,} {\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\,} {\displaystyle u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\.} Gl. 14: {\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\,} {\displaystyle u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\,} {\displaystyle u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\.} Gleichung 10 und Gleichung 14 kann als was dem interpretieren resultierendeder beiden Geschwindigkeitenundund sie die Formel ersetzendie in Galilean Relativität gültig ist. Auf diese Weise interpretiert werden sie allgemein als relativistische Geschwindigkeitsadditionsformeln (oder Zusammensetzungsformeln) bezeichnet, die für die drei Achsen von S und S′ gelten, die miteinander ausgerichtet sind (wenn auch nicht unbedingt in der Standardkonfiguration).{\displaystyle\mathbf{u}} {\displaystyle\mathbf{v}} {\displaystyle \mathbf {u'},} {\displaystyle \mathbf {u=u'+v}}
Wir beachten folgende Punkte:
Wenn sich ein Objekt (z. B. ein Photon ) in einem Bild mit Lichtgeschwindigkeit bewegt (dh u = ± c oder u′ = ± c), dann würde es sich auch in jedem anderen Bild mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Umzug bei | v | lt; c. Die resultierende Geschwindigkeit zweier Geschwindigkeiten mit einem Betrag kleiner als c ist immer eine Geschwindigkeit mit einem Betrag kleiner als c. Wenn beide | du | und | v | (und dann auch | u′ | und | v′ |) klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind (also zB |du/c| ≪ 1), dann werden die intuitiven Galilei-Transformationen aus den Transformationsgleichungen für die spezielle Relativitätstheorie gewonnen Das Anbringen eines Rahmens an einem Photon (das auf einem Lichtstrahl reitet, wie Einstein betrachtet) erfordert eine spezielle Behandlung der Transformationen. An der x- Richtung gibt es in der Standardkonfiguration nichts Besonderes. Der obige Formalismus gilt für jede Richtung; und drei orthogonale Richtungen ermöglichen den Umgang mit allen Raumrichtungen durch Zerlegen der Geschwindigkeitsvektoren in ihre Komponenten in diesen Richtungen. Weitere Informationen finden Sie unter Geschwindigkeits-Additionsformel .
Thomas-Rotation Siehe auch: Thomas-Rotation Die Zusammensetzung von zwei nicht-kollinearen Lorentz-Boosts (dh zwei nicht-kollinearen Lorentz-Transformationen, von denen keine eine Rotation beinhaltet) führt zu einer Lorentz-Transformation, die kein reiner Boost ist, sondern die Zusammensetzung aus einem Boost und einer Rotation.
Die Thomas-Rotation ergibt sich aus der Relativität der Gleichzeitigkeit. In 4-2a erhebt sich ein Stab mit einer Länge in seinem Ruherahmen (dh mit einer richtigen Länge von) vertikal entlang der y-Achse im Grundrahmen.{\displaystyle L} {\displaystyle L}
In Abb. 4-2b wird derselbe Stab vom Rahmen einer sich mit hoher Geschwindigkeit nach rechts bewegenden Rakete beobachtet. Wenn wir uns zwei Uhren am linken und rechten Ende des Stabes vorstellen, die im Rahmen des Stabes synchronisiert sind, bewirkt die Relativität der Gleichzeitigkeit, dass der Beobachter im Raketenrahmen die Uhr am rechten Ende des Stabes beobachtet (nicht sieht). als zeitlich vorgerückt und die Stange wird entsprechend als gekippt beobachtet.{\displaystyle v} {\displaystyle Lv/c^{2},}
Im Gegensatz zu relativistischen Effekten zweiter Ordnung wie Längenkontraktion oder Zeitdilatation wird dieser Effekt sogar bei relativ niedrigen Geschwindigkeiten ziemlich signifikant. Dies kann zum Beispiel beim Spin bewegter Teilchen gesehen werden , wo die Thomas-Präzession eine relativistische Korrektur ist, die auf den Spin eines Elementarteilchens oder die Rotation eines makroskopischen Kreisels angewendet wird und die Winkelgeschwindigkeit des Spins eines Teilchens nach a. in Beziehung setzt krummlinige Bahn zur Winkelgeschwindigkeit der Bahnbewegung.
Thomas-Rotation liefert die Auflösung des bekannten "Meter-Stick- und Loch-Paradoxons".
Kausalität und Verbot der Bewegung schneller als Licht Siehe auch: Kausalität (Physik) und Tachyonisches Antitelephon In Abb. 4-3 ist das Zeitintervall zwischen den Ereignissen A (die „Ursache“) und B (die „Wirkung“) „zeitähnlich“; das heißt, es gibt einen Bezugsrahmen, in dem die Ereignisse A und B an derselben Stelle im Raum auftreten, nur getrennt durch das Auftreten zu unterschiedlichen Zeiten. Wenn A in diesem Frame vor B steht, dann geht A in allen Frames vor B, auf die durch eine Lorentz-Transformation zugegriffen werden kann. Es ist möglich, dass Materie (oder Information) (unter Lichtgeschwindigkeit) vom Ort A, beginnend zum Zeitpunkt A, zum Ort von B, zum Zeitpunkt B ankommt, so dass ein kausaler Zusammenhang bestehen kann ( mit A die Ursache und B die Wirkung).
Das Intervall AC im Diagramm ist 'raumartig'; das heißt, es gibt einen Bezugsrahmen, in dem die Ereignisse A und C gleichzeitig auftreten, nur räumlich getrennt. Es gibt auch Frames, in denen A vor C steht (wie gezeigt) und Frames, in denen C vor A steht. Es gibt jedoch keine Frames, die durch eine Lorentz-Transformation zugänglich sind, in denen die Ereignisse A und C an derselben Stelle auftreten. Wäre es möglich, dass zwischen den Ereignissen A und C eine Ursache-Wirkungs-Beziehung bestehen könnte, würden sich Paradoxien der Kausalität ergeben.
Wenn beispielsweise Signale schneller als Licht gesendet werden könnten, könnten Signale in die Vergangenheit des Senders gesendet werden (Beobachter B in den Diagrammen). Dann könnten verschiedene kausale Paradoxien konstruiert werden.
Betrachten Sie die Raumzeit-Diagramme in Abb. 4-4. A und B stehen neben einem Bahngleis, wenn ein Hochgeschwindigkeitszug vorbeifährt, wobei C im letzten Wagen des Zuges und D im führenden Wagen fährt. Die Weltlinien von A und B sind vertikal ( ct) und kennzeichnen die stationäre Position dieser Beobachter auf dem Boden, während die Weltlinien von C und D nach vorne geneigt sind ( ct′), was die schnelle Bewegung der Beobachter C und D. widerspiegelt stationär in ihrem Zug, vom Boden aus beobachtet.
Abb. 4-4a. Das Ereignis "B gibt eine Nachricht an D weiter", wenn das führende Auto vorbeifährt, ist der Ursprung des Rahmens von D. D sendet die Nachricht entlang des Zuges an C im hinteren Wagen, wobei er einen fiktiven "Sofortkommunikator" verwendet. Die Weltlinie dieser Nachricht ist der fette rote Pfeil entlang der Achse, der eine Gleichzeitigkeitslinie in den grundierten Frames von C und D darstellt. Im (unprimed) Ground-Frame kommt das Signal früher an, als es gesendet wurde.{\displaystyle -x'} Abb. 4-4b. Das Ereignis "C übergibt die Nachricht an A", der an den Bahngleisen steht, ist der Ursprung ihrer Frames. Nun schickt A die Nachricht entlang der Gleise über einen "Sofortkommunikator" an B. Die Weltlinie dieser Nachricht ist der blaue fette Pfeil entlang der Achse, der eine Gleichzeitigkeitslinie für die Frames von A und B darstellt. Wie aus dem Raumzeit-Diagramm ersichtlich, empfängt B die Nachricht, bevor sie sie gesendet hat, eine Verletzung von Kausalität.{\displaystyle +x} Es ist nicht notwendig, dass Signale augenblicklich sind, um die Kausalität zu verletzen. Selbst wenn das Signal von D nach C etwas flacher wäre als die Achse (und das Signal von A nach B etwas steiler als die Achse), wäre es für B immer noch möglich, seine Nachricht zu empfangen, bevor er sie gesendet hat. Durch Erhöhen der Geschwindigkeit des Zuges auf nahezu Lichtgeschwindigkeit können die Achsen und sehr nahe an die gestrichelte Linie gequetscht werden, die die Lichtgeschwindigkeit darstellt. Mit diesem modifizierten Aufbau kann gezeigt werden, dass selbst Signale, die nur geringfügig schneller als die Lichtgeschwindigkeit sind, zu einer Kausalitätsverletzung führen.{\displaystyle x'} {\displaystyle x} {\displaystyle ct'} {\displaystyle x'}
Deshalb, wenn die Kausalität bewahrt werden soll, eine der Folgen der speziellen Relativitätstheorie ist, dass kein Informationssignal oder materielles Objekt bewegen kann schneller als das Licht im Vakuum.
Das soll nicht heißen, dass alle schneller als Lichtgeschwindigkeiten unmöglich sind. Es können verschiedene triviale Situationen beschrieben werden, in denen sich einige "Dinge" (nicht wirkliche Materie oder Energie) schneller als Licht bewegen. Zum Beispiel kann sich der Ort, an dem der Strahl eines Suchscheinwerfers auf den Boden einer Wolke trifft, schneller als das Licht bewegen, wenn der Suchscheinwerfer schnell gedreht wird (obwohl dies weder die Kausalität noch ein anderes relativistisches Phänomen verletzt).
Optische Effekte Zieheffekte Hauptartikel: Fizeau-Experiment Im Jahr 1850 stellten Hippolyte Fizeau und Léon Foucault unabhängig voneinander fest, dass sich Licht in Wasser langsamer ausbreitet als in Luft, wodurch eine Vorhersage von Fresnels Wellentheorie des Lichts validiert und die entsprechende Vorhersage von Newtons Korpuskulartheorie ungültig gemacht wurde. Die Lichtgeschwindigkeit wurde in stillem Wasser gemessen. Wie hoch wäre die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser?
Zur Beantwortung dieser Frage führte Fizeau 1851 ein Experiment durch, dessen vereinfachte Darstellung in Abb. 5-1 dargestellt ist. Ein Lichtstrahl wird durch einen Strahlteiler geteilt, und die geteilten Strahlen werden in entgegengesetzte Richtungen durch eine Röhre mit fließendem Wasser geleitet. Sie werden rekombiniert, um Interferenzstreifen zu bilden, die einen Unterschied in der optischen Weglänge anzeigen, den ein Beobachter sehen kann. Das Experiment zeigte, dass das Ziehen des Lichts durch das fließende Wasser eine Verschiebung der Streifen verursachte, was zeigte, dass die Bewegung des Wassers die Lichtgeschwindigkeit beeinflusst hatte.
Nach den damals vorherrschenden Theorien wäre Licht, das sich durch ein bewegtes Medium bewegt, eine einfache Summe seiner Geschwindigkeit durch das Medium plus der Geschwindigkeit des Mediums. Entgegen den Erwartungen stellte Fizeau fest, dass das Licht zwar vom Wasser mitgerissen wurde, aber das Ausmaß des Ziehens war viel geringer als erwartet. Wenn die Lichtgeschwindigkeit in stillem Wasser ist und die Wassergeschwindigkeit ist und die Wasserlichtgeschwindigkeit im Laborrahmen ist, wobei der Wasserfluss die Lichtgeschwindigkeit erhöht oder davon abnimmt, dann{\displaystyle u'=c/n} {\displaystyle v} {\displaystyle u_{\pm }}
{\displaystyle u_{\pm}={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\.} Fizeaus Ergebnisse waren, obwohl sie mit Fresnels früherer Hypothese des partiellen Ätherschleppens übereinstimmten, für die damaligen Physiker äußerst beunruhigend. Das Vorhandensein eines Brechungsindexterms bedeutete unter anderem, dass der Äther, da er von der Wellenlänge abhängt, in der Lage sein muss, gleichzeitig verschiedene Bewegungen auszuhalten. Es wurden verschiedene theoretische Erklärungen vorgeschlagen, um den Luftwiderstandskoeffizienten von Fresnel zu erklären, die völlig im Widerspruch zueinander standen. Schon vor dem Michelson-Morley-Experiment gehörten Fizeaus experimentelle Ergebnisse zu einer Reihe von Beobachtungen, die eine kritische Situation bei der Erklärung der Optik bewegter Körper schufen.{\displaystyle n}
Aus der Sicht der speziellen Relativitätstheorie ist Fizeaus Ergebnis nichts anderes als eine Annäherung an Gleichung 10, die relativistische Formel für die Zusammensetzung von Geschwindigkeiten.
{\displaystyle u_{\pm}={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=} {\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx } {\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\ungefähr } {\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)} Relativistische Aberration des Lichts Hauptartikel: Aberration des Lichts und Lichtzeitkorrektur Wenn die Relativbewegungen von Quelle und Empfänger eine transversale Komponente enthalten, wird aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit die Richtung, aus der Licht am Empfänger ankommt, von der geometrischen Raumposition der Quelle relativ zum Empfänger verschoben. Die klassische Berechnung der Verschiebung hat zwei Formen und macht unterschiedliche Vorhersagen, je nachdem, ob sich der Empfänger, die Quelle oder beide in Bezug auf das Medium bewegen. (1) Befindet sich der Empfänger in Bewegung, wäre die Verschiebung die Folge der Aberration des Lichts . Der Einfallswinkel des Strahls relativ zum Empfänger wäre aus der Vektorsumme der Bewegungen des Empfängers und der Geschwindigkeit des einfallenden Lichts berechenbar. (2) Befindet sich die Quelle in Bewegung, wäre die Verschiebung die Folge der Lichtzeitkorrektur . Die Verschiebung der scheinbaren Position der Quelle von ihrer geometrischen Position wäre das Ergebnis der Bewegung der Quelle während der Zeit, die ihr Licht braucht, um den Empfänger zu erreichen.
Die klassische Erklärung hat den experimentellen Test nicht bestanden. Da der Aberrationswinkel von der Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Empfängers und der Geschwindigkeit des einfallenden Lichts abhängt, sollte der Durchgang des einfallenden Lichts durch ein brechendes Medium den Aberrationswinkel ändern. 1810 nutzte Arago dieses erwartete Phänomen bei einem gescheiterten Versuch, die Lichtgeschwindigkeit zu messen, und 1870 testete George Airy die Hypothese mit einem wassergefüllten Teleskop und stellte fest, dass die gemessene Aberration wider Erwarten mit der gemessenen Aberration identisch war mit einem luftgefüllten Teleskop. Ein "umständlicher" Versuch, diese Ergebnisse zu erklären, verwendete die Hypothese des partiellen Ätherwiderstands, war jedoch mit den Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments unvereinbar, der anscheinend einen vollständigen Ätherwiderstand verlangte.
Unter der Annahme von Trägheitsrahmen ist der relativistische Ausdruck für die Aberration von Licht sowohl auf den Bewegungsfall des Empfängers als auch auf den Bewegungsfall der Quelle anwendbar. Eine Vielzahl trigonometrisch äquivalenter Formeln wurde veröffentlicht. Ausgedrückt durch die Variablen in Abb. 5-2 sind dies:
cos θ ' = cos θ + v / c 1 + ( v / c ) cos θ
{\displaystyle \cos\theta '={\frac {\cos\theta +v/c}{1+(v/c)\cos\theta}}} Sünde θ ' = Sünde θ γ [ 1 + ( v / c ) cos θ ]
{\displaystyle \sin\theta '={\frac {\sin\theta }{\gamma [1+(v/c)\cos\theta]}}} bräunen θ ' 2 = ( c − v c + v ) 1 / 2 bräunen θ 2
{\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {cv}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}} Relativistischer Doppler-Effekt Hauptartikel: Relativistischer Doppler-Effekt Relativistischer longitudinaler Dopplereffekt Der klassische Doppler-Effekt hängt davon ab, ob Quelle, Empfänger oder beide in Bezug auf das Medium in Bewegung sind. Der relativistische Dopplereffekt ist unabhängig von jedem Medium. Dennoch kann die relativistische Dopplerverschiebung für den Längsfall, bei der sich Quelle und Empfänger direkt aufeinander zu oder voneinander weg bewegen, abgeleitet werden, als ob es das klassische Phänomen wäre, aber modifiziert durch das Hinzufügen eines Zeitdilatationsterms , und das ist die Behandlung hier beschrieben.
Angenommen, der Empfänger und die Quelle bewegen sich mit einer relativen Geschwindigkeit von ihnen wie von einem Beobachter auf dem Empfänger oder die Quelle gemessen (Die Vorzeichenkonvention hier angenommen ist, dass ist negativ, wenn der Empfänger und die Quelle bewegen sich in Richtung zueinander). Nehmen Sie an, dass die Quelle im Medium stationär ist. Dann{\displaystyle v\,} {\displaystyle v\,}
{\displaystyle f_{r}=(1-v/c_{s})f_{s}} wo ist die schallgeschwindigkeit.{\displaystyle c_{s}}
Für Licht und wenn sich der Empfänger mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegt, werden die Uhren auf dem Empfänger relativ zu den Uhren an der Quelle zeitgedehnt. Der Empfänger misst die empfangene Frequenz als
{\displaystyle f_{r}=\gamma (1-\beta)f_{s}} {\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta}}}\,f_{s}.} wo
{\displaystyle \beta =v/c} {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta^{2}}}}}} Lorentz-Faktor .Ein identischer Ausdruck für die relativistische Dopplerverschiebung wird erhalten, wenn die Analyse im Referenzrahmen des Empfängers mit einer bewegten Quelle durchgeführt wird.
Transversaler Doppler-Effekt Der transversale Dopplereffekt ist eine der wichtigsten neuen Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie.
Klassisch könnte man erwarten, dass, wenn sich Quelle und Empfänger ohne Längskomponente ihrer Relativbewegungen quer zueinander bewegen, keine Doppler-Verschiebung in dem am Empfänger ankommenden Licht auftreten sollte.
Die spezielle Relativitätstheorie sagt etwas anderes voraus. Abb. 5-3 zeigt zwei gängige Varianten dieses Szenarios. Beide Varianten können mit einfachen Zeitdilatationsargumenten analysiert werden. In Abb. 5-3a beobachtet der Empfänger Licht von der Quelle als um einen Faktor von blau verschoben. In Abb. 5-3b ist das Licht um den gleichen Faktor rotverschoben.{\displaystyle\gamma}
Messung versus visuelles Erscheinungsbild Zeitdilatation und Längenkontraktion sind keine optischen Täuschungen, sondern echte Effekte. Messungen dieser Effekte sind weder ein Artefakt der Doppler-Verschiebung , noch sind sie das Ergebnis einer Vernachlässigung der Zeit, die Licht benötigt, um von einem Ereignis zu einem Beobachter zu gelangen.
Wissenschaftler unterscheiden grundsätzlich zwischen Messung oder Beobachtung einerseits und der visuellen Erscheinung oder dem, was man sieht. Die gemessene Form eines Objekts ist eine hypothetische Momentaufnahme aller Punkte des Objekts, wie sie zu einem einzigen Zeitpunkt existieren. Das visuelle Erscheinungsbild eines Objekts wird jedoch durch die unterschiedlich lange Zeit beeinflusst, die das Licht benötigt, um von verschiedenen Punkten des Objekts zum Auge zu gelangen.
Seit vielen Jahren war der Unterschied zwischen den beiden nicht allgemein anerkannt worden, und es war allgemein angenommen worden, dass eine Länge zusammengezogen Objekt durch einen Beobachter vorbei wäre in der Tat tatsächlich sein gesehen als längenkontrahiert. Im Jahr 1959 wiesen James Terrell und Roger Penrose unabhängig voneinander darauf hin, dass unterschiedliche Zeitverzögerungseffekte in Signalen, die den Beobachter von den verschiedenen Teilen eines sich bewegenden Objekts erreichen, dazu führen, dass sich das visuelle Erscheinungsbild eines sich schnell bewegenden Objekts stark von seiner gemessenen Form unterscheidet. Zum Beispiel würde ein fliehenden Objekt erscheinen gezogen, würde ein sich näherndes Objekt erscheinen verlängert, und ein vorübergehendes Objekt würde eine Skew Aussehen aufweisen, die zu einer Rotation verglichen worden ist. Eine bewegte Kugel behält das Aussehen einer Kugel bei, obwohl Bilder auf der Kugeloberfläche verzerrt erscheinen.
M87 strömt einen von einem Schwarzen Loch angetriebenen Jet aus Elektronen und anderen subatomaren Teilchen aus, die sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen.Abb. 5-4 zeigt einen Würfel, der aus einer Entfernung von viermal so lang wie seine Seitenlänge betrachtet wird. Bei hohen Geschwindigkeiten erscheinen die Seiten des Würfels, die senkrecht zur Bewegungsrichtung stehen, hyperbolisch. Der Würfel wird tatsächlich nicht gedreht. Vielmehr braucht das Licht von der Rückseite des Würfels länger, um die Augen zu erreichen als das Licht von vorne, während dessen sich der Würfel nach rechts bewegt hat. Diese Illusion ist als Terrell-Rotation oder Terrell-Penrose-Effekt bekannt.
Ein weiteres Beispiel, bei dem die visuelle Erscheinung im Widerspruch zur Messung steht, stammt aus der Beobachtung der scheinbaren Superluminalbewegung in verschiedenen Radiogalaxien , BL Lac-Objekten , Quasaren und anderen astronomischen Objekten, die Materiestrahlen mit relativistischer Geschwindigkeit in engen Winkeln in Bezug auf den Betrachter ausstoßen. Es entsteht eine scheinbare optische Täuschung, die den Anschein erweckt, als würde sie schneller als das Licht reisen. In Abb. 5-5 strömt die Galaxie M87 einen Hochgeschwindigkeits-Jet aus subatomaren Partikeln fast direkt auf uns zu, aber die Penrose-Terrell-Rotation bewirkt, dass sich der Jet in der gleichen Weise seitlich zu bewegen scheint wie der Würfel in Abb.5-4 wurde gestreckt.
Dynamik Der Abschnitt Konsequenzen aus der Lorentz-Transformation befasste sich ausschließlich mit der Kinematik , dem Studium der Bewegung von Punkten, Körpern und Körpersystemen, ohne die Kräfte zu berücksichtigen, die die Bewegung verursachten. Dieser Abschnitt behandelt Massen, Kräfte, Energie usw. und erfordert daher die Berücksichtigung physikalischer Effekte, die über die von der Lorentz-Transformation selbst umfassten hinausgehen.
Äquivalenz von Masse und Energie Hauptartikel: Masse-Energie-Äquivalenz Wenn sich die Geschwindigkeit eines Objekts aus der Sicht eines Beobachters der Lichtgeschwindigkeit nähert, nimmt seine relativistische Masse zu, wodurch es immer schwieriger wird, es aus dem Bezugsrahmen des Beobachters heraus zu beschleunigen.
Der Energieinhalt eines ruhenden Objekts mit der Masse m ist gleich mc 2 . Energieerhaltung bedeutet, dass bei jeder Reaktion eine Abnahme der Summe der Teilchenmassen mit einer Zunahme der kinetischen Energien der Teilchen nach der Reaktion einhergehen muss. Ebenso kann die Masse eines Objekts durch Aufnahme kinetischer Energien erhöht werden.
Zusätzlich zu den oben genannten Veröffentlichungen – die Ableitungen der Lorentz-Transformation geben und die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie beschreiben – schrieb Einstein auch mindestens vier Veröffentlichungen mit heuristischen Argumenten für die Äquivalenz (und Veränderbarkeit) von Masse und Energie für E = mc 2 .
Die Masse-Energie-Äquivalenz ist eine Folge der speziellen Relativitätstheorie. Energie und Impuls, die in der Newtonschen Mechanik getrennt sind, bilden in der Relativitätstheorie einen Vierervektor , der die Zeitkomponente (die Energie) auf eine nicht triviale Weise mit den Raumkomponenten (dem Impuls) in Beziehung setzt. Für ein ruhendes Objekt ist der Energie-Impuls-Vier-Vektor ( E / c, 0, 0, 0): Es hat eine Zeitkomponente, die die Energie ist, und drei Raumkomponenten, die Null sind. Durch das Wechseln der Frames mit einer Lorentz-Transformation in x-Richtung mit einem kleinen Wert der Geschwindigkeit v wird der Energieimpuls-Vier-Vektor ( E / c, Ev / c 2 , 0, 0). Der Impuls ist gleich der Energie multipliziert mit der Geschwindigkeit dividiert durch c 2 . Als solche ist die Newtonsche Masse eines Objekts, die das Verhältnis von Impuls zu Geschwindigkeit bei langsamen Geschwindigkeiten ist, gleich E / c 2 .
Energie und Impuls sind Eigenschaften von Materie und Strahlung, und es ist unmöglich, allein aus den beiden Grundpostulaten der Speziellen Relativitätstheorie abzuleiten, dass sie einen Vierervektor bilden, denn diese sprechen nicht über Materie oder Strahlung, sie sprechen nur über Raum und Zeit. Die Ableitung erfordert daher einige zusätzliche physikalische Überlegungen. In seiner Arbeit von 1905 verwendete Einstein die zusätzlichen Prinzipien, die die Newtonsche Mechanik für langsame Geschwindigkeiten halten sollte, sodass es bei langsamen Geschwindigkeiten einen Energieskalar und einen Drei-Vektor-Impuls gibt und dass der Erhaltungssatz für Energie und Impuls in der Relativitätstheorie genau gilt. Darüber hinaus nahm er an, dass die Energie des Lichts um den gleichen Doppler-Verschiebungsfaktor wie seine Frequenz transformiert wird, was er zuvor anhand der Maxwell-Gleichungen bewiesen hatte. Die erste von Einsteins Veröffentlichungen zu diesem Thema war "Hängt die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt ab?" im Jahr 1905. Obwohl Einsteins Argument in diesem Artikel von Physikern fast allgemein als richtig, sogar selbstverständlich akzeptiert wird, haben viele Autoren im Laufe der Jahre behauptet, dass es falsch ist. Andere Autoren vermuten, dass das Argument lediglich nicht schlüssig war, weil es auf einigen impliziten Annahmen beruhte.
Einstein erkannte die Kontroverse über seine Ableitung in seinem 1907 erschienenen Übersichtspapier zur speziellen Relativitätstheorie an. Dort stellt er fest, dass es problematisch ist, sich für das heuristische Masse-Energie-Argument auf die Maxwell-Gleichungen zu verlassen. Die Argumentation in seiner Arbeit von 1905 kann mit der Emission beliebiger masseloser Teilchen durchgeführt werden, aber die Maxwell-Gleichungen werden implizit verwendet, um zu verdeutlichen, dass insbesondere die Emission von Licht nur durch Arbeit erreicht werden kann. Um elektromagnetische Wellen auszusenden, müssen Sie lediglich ein geladenes Teilchen schütteln, und dies verrichtet eindeutig Arbeit, so dass die Emission von Energie ist.
Wie weit kann man sich von der Erde entfernen? Siehe auch: Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung Da man nicht schneller als das Licht reisen kann, könnte man schlussfolgern, dass ein Mensch sich nie weiter als 40 Lichtjahre von der Erde entfernen kann, wenn der Reisende zwischen 20 und 60 Jahren aktiv ist erreichen mehr als die ganz wenigen Sonnensysteme, die in einer Entfernung von 20–40 Lichtjahren von der Erde existieren. Aber das wäre eine falsche Schlussfolgerung. Aufgrund der Zeitdilatation kann ein hypothetisches Raumschiff während der 40 aktiven Jahre des Piloten Tausende von Lichtjahren zurücklegen. Wenn ein Raumschiff gebaut werden könnte, das konstant mit 1 g beschleunigt, würde es nach etwas weniger als einem Jahr von der Erde aus gesehen fast mit Lichtgeschwindigkeit reisen. Dies wird beschrieben durch:
{\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}} wobei v ( t) die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t ist, a die Beschleunigung von 1 g und t die von Menschen auf der Erde gemessene Zeit ist. Daher wird das Raumschiff nach einem Jahr Beschleunigung mit 9,81 m/s 2 mit v = 0,77 c relativ zur Erde reisen. Die Zeitdilatation wird die Lebensdauer des Reisenden vom Bezugssystem der Erde aus gesehen auf 2,7 Jahre erhöhen, aber seine Lebensdauer, die von einer mit ihm reisenden Uhr gemessen wird, wird sich nicht ändern. Während seiner Reise werden die Menschen auf der Erde mehr Zeit erleben als er. Eine 5-jährige Rundreise für ihn wird 6,5 Erdenjahre dauern und eine Strecke von über 6 Lichtjahren zurücklegen. Eine 20-jährige Rundreise für ihn (5 Jahre Beschleunigung, 5 Jahre Verzögerung, jeweils zweimal) wird ihn nach 335 Erdjahren und einer Entfernung von 331 Lichtjahren wieder auf der Erde landen. Eine volle 40-jährige Reise mit 1 g wird auf der Erde 58.000 Jahre dauern und eine Entfernung von 55.000 Lichtjahren zurücklegen. Eine 40-jährige Reise mit 1,1 g wird 148.000 Erdenjahre dauern und etwa 140.000 Lichtjahre zurücklegen. Eine einfache Fahrt von 28 Jahren (14 Jahre Beschleunigung, 14 Jahre Verzögerung, gemessen mit der Astronautenuhr) bei einer Beschleunigung von 1 g könnte 2.000.000 Lichtjahre zur Andromeda-Galaxie erreichen. Diese gleichzeitige Dilatation ist der Grund, warum ein Myon, das sich in der Nähe von c bewegt, viel weiter als das c- fache seiner Halbwertszeit (im Ruhezustand) wandert.
Relativität und vereinheitlichender Elektromagnetismus Hauptartikel: Klassischer Elektromagnetismus und spezielle Relativitätstheorie und kovariante Formulierung des klassischen Elektromagnetismus Theoretische Untersuchungen im klassischen Elektromagnetismus führten zur Entdeckung der Wellenausbreitung. Gleichungen, die die elektromagnetischen Effekte verallgemeinern, ergaben, dass eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der E- und B- Felder ein bestimmtes Verhalten geladener Teilchen erforderte. Die allgemeine Untersuchung bewegter Ladungen bildet das Liénard-Wiechert-Potential , das einen Schritt in Richtung spezieller Relativitätstheorie darstellt.
Die Lorentz-Transformation des elektrischen Feldes einer sich bewegenden Ladung in das Referenzsystem eines unbewegten Beobachters führt zu einem mathematischen Begriff, der allgemein als Magnetfeld bezeichnet wird . Umgekehrt verschwindet das durch eine bewegte Ladung erzeugte Magnetfeld und wird in einem mitbewegten Bezugssystem zu einem rein elektrostatischen Feld. Die Maxwell-Gleichungen sind somit einfach eine empirische Anpassung an spezielle relativistische Effekte in einem klassischen Modell des Universums. Da elektrische und magnetische Felder bezugssystemabhängig und damit verflochten sind, spricht man von elektromagnetischen Feldern. Die spezielle Relativitätstheorie liefert die Transformationsregeln dafür, wie ein elektromagnetisches Feld in einem Inertialsystem in einem anderen Inertialsystem erscheint.
Die Maxwell-Gleichungen in der 3D-Form stimmen bereits mit dem physikalischen Inhalt der speziellen Relativitätstheorie überein, obwohl sie in einer manifest kovarianten Form, also in der Sprache der Tensorrechnung , leichter zu manipulieren sind.
Relativitätstheorien und Quantenmechanik Spezielle Relativitätstheorie kann mit Quantenmechanik kombiniert werden , um relativistische Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik zu bilden. Wie sich Allgemeine Relativitätstheorie und Quantenmechanik vereinen lassen, ist eines der ungelösten Probleme der Physik ; Quantengravitation und eine " Theorie von allem ", die eine Vereinheitlichung auch einschließlich der allgemeinen Relativitätstheorie erfordern, sind aktive und laufende Gebiete der theoretischen Forschung.
Das frühe Bohr-Sommerfeld-Atommodell erklärte die Feinstruktur von Alkalimetallatomen sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie als auch mit den Vorkenntnissen der Quantenmechanik der Zeit.
1928 konstruierte Paul Dirac eine einflussreiche relativistische Wellengleichung , die ihm zu Ehren heute als Dirac-Gleichung bekannt ist und die sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie als auch mit der nach 1926 existierenden endgültigen Version der Quantentheorie vollständig kompatibel ist. Diese Gleichung beschreibt nicht nur den intrinsischen Winkel Impuls der Elektronen, Spin genannt , führte auch zur Vorhersage des Antiteilchens des Elektrons (des Positrons ), und die Feinstruktur konnte nur mit spezieller Relativitätstheorie vollständig erklärt werden. Es war die erste Grundlage der relativistischen Quantenmechanik .
Andererseits führt die Existenz von Antiteilchen zu der Schlussfolgerung, dass die relativistische Quantenmechanik für eine genauere und vollständigere Theorie der Teilchenwechselwirkungen nicht ausreicht. Stattdessen wird eine Theorie von Teilchen, die als quantisierte Felder interpretiert werden, Quantenfeldtheorie genannt , notwendig; in denen Partikel in Raum und Zeit erzeugt und zerstört werden können.
Status Hauptartikel: Tests der speziellen Relativitätstheorie und Kritik der Relativitätstheorie Die Spezielle Relativitätstheorie in ihrer Minkowski-Raumzeit ist nur dann genau, wenn der Absolutwert des Gravitationspotentials in der interessierenden Region viel kleiner als c 2 ist . In einem starken Gravitationsfeld muss man die Allgemeine Relativitätstheorie verwenden . An der Grenze eines schwachen Feldes wird die Allgemeine Relativität zur speziellen Relativität. Auf sehr kleinen Skalen, wie bei der Planck-Länge und darunter, müssen Quanteneffekte berücksichtigt werden, die zur Quantengravitation führen . Auf makroskopischen Skalen und in Abwesenheit starker Gravitationsfelder wird die spezielle Relativitätstheorie jedoch mit extrem hoher Genauigkeit (10 −20 ) experimentell getestet und daher von der Physikgemeinde akzeptiert. Experimentelle Ergebnisse, die dem zu widersprechen scheinen, sind nicht reproduzierbar und werden daher weithin auf experimentelle Fehler zurückgeführt.
Die spezielle Relativitätstheorie ist mathematisch in sich konsistent und ein organischer Bestandteil aller modernen physikalischen Theorien, insbesondere der Quantenfeldtheorie , der Stringtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie (im Grenzfall vernachlässigbarer Gravitationsfelder).
Die Newtonsche Mechanik folgt mathematisch aus der speziellen Relativität bei kleinen Geschwindigkeiten (im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit) – daher kann die Newtonsche Mechanik als spezielle Relativität langsam bewegter Körper betrachtet werden. Siehe klassische Mechanik für eine ausführlichere Diskussion.
Mehrere Experimente, die Einsteins Arbeit von 1905 vorausgingen, werden heute als Beweis für die Relativität interpretiert. Von diesen ist bekannt, dass Einstein das Fizeau-Experiment vor 1905 kannte, und Historiker sind zu dem Schluss gekommen, dass Einstein das Michelson-Morley-Experiment zumindest bereits 1899 kannte, obwohl er in seinen späteren Jahren behauptete, dass es in seinem keine Rolle gespielt habe Entwicklung der Theorie.
Das Fizeau-Experiment (1851, wiederholt von Michelson und Morley 1886) maß die Lichtgeschwindigkeit in sich bewegenden Medien, mit Ergebnissen, die mit der relativistischen Addition kolinearer Geschwindigkeiten vereinbar sind. Das berühmte Michelson-Morley-Experiment (1881, 1887) unterstützte das Postulat weiter, dass die Bestimmung einer absoluten Referenzgeschwindigkeit nicht erreichbar sei. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass es entgegen vieler alternativer Behauptungen wenig über die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit in Bezug auf die Geschwindigkeit der Quelle und des Beobachters aussagte, da Quelle und Beobachter zu jeder Zeit gemeinsam mit derselben Geschwindigkeit unterwegs waren. Das Trouton-Noble-Experiment (1903) zeigte, dass das Drehmoment an einem Kondensator unabhängig von Position und Trägheitsbezugssystem ist. Die Experimente von Rayleigh und Brace (1902, 1904) zeigten, dass die Längenkontraktion gemäß dem Relativitätsprinzip bei einem mitbewegten Beobachter nicht zur Doppelbrechung führt. Teilchenbeschleuniger beschleunigen und messen routinemäßig die Eigenschaften von Teilchen, die sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegen, wobei ihr Verhalten vollständig mit der Relativitätstheorie und nicht mit der früheren Newtonschen Mechanik übereinstimmt. Diese Maschinen würden einfach nicht funktionieren, wenn sie nicht nach relativistischen Prinzipien konstruiert wären. Darüber hinaus wurde eine beträchtliche Anzahl moderner Experimente durchgeführt, um die spezielle Relativitätstheorie zu testen. Einige Beispiele:
Technische Diskussion der Raumzeit Hauptartikel: Minkowski-Raum Geometrie der Raumzeit Vergleich zwischen flachem Euklidischen Raum und Minkowski-Raum Siehe auch: Linienelement Euklidischer Raum durch Kreiswinkel φ, rechts: in Minkowski-Raumzeit durch hyperbolischen Winkel φ (rote Linien mit c bezeichnen die Weltlinien eines Lichtsignals, ein Vektor ist orthogonal zu sich selbst, wenn er auf diesem liegt Linie).Die Spezielle Relativitätstheorie verwendet einen „flachen“ 4-dimensionalen Minkowski-Raum – ein Beispiel für eine Raumzeit . Die Minkowski-Raumzeit scheint dem standardmäßigen 3-dimensionalen euklidischen Raum sehr ähnlich zu sein, aber es gibt einen entscheidenden Unterschied in Bezug auf die Zeit.
Im 3D - Raum, das Differential des Abstand (Leitungselementes) ds ist definiert durch
d so 2 = d x ⋅ d x = d x 1 2 + d x 2 2 + d x 3 2 ,
{\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},} wobei d x = ( dx 1, dx 2, dx 3) die Differenzen der drei räumlichen Dimensionen sind. In der Minkowski-Geometrie gibt es eine zusätzliche Dimension mit der Koordinate X 0, die aus der Zeit abgeleitet wird, sodass das Distanzdifferential
d so 2 = − d X 0 2 + d X 1 2 + d X 2 2 + d X 3 2 ,
{\displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},} wobei d X = ( dX 0, dX 1, dX 2, dX 3) die Differentiale der vier Raumzeitdimensionen sind. Dies legt eine tiefe theoretische Einsicht nahe: Die spezielle Relativitätstheorie ist einfach eine Rotationssymmetrie unserer Raumzeit, analog zur Rotationssymmetrie des euklidischen Raums (siehe Abb. 10-1). So wie der euklidische Raum eine euklidische Metrik verwendet , so verwendet die Raumzeit eine Minkowski-Metrik . Grundsätzlich kann die spezielle Relativität als die Invarianz eines beliebigen Raumzeitintervalls (d. h. des 4D-Abstands zwischen zwei beliebigen Ereignissen) bei Betrachtung von einem beliebigen Trägheitsbezugssystem angegeben werden. Alle Gleichungen und Effekte der speziellen Relativitätstheorie lassen sich aus dieser Rotationssymmetrie (der Poincaré-Gruppe ) der Minkowski-Raumzeit ableiten.
Die tatsächliche Form von ds oben hängt von der Metrik und von den Auswahlmöglichkeiten für die X 0 -Koordinate ab. Um die Zeitkoordinate wie die Raumkoordinaten aussehen zu lassen, kann sie als imaginär behandelt werden: X 0 = ict (dies wird als Wick-Rotation bezeichnet ). Nach Misner, Thorne und Wheeler (1971, §2.3) wird das tiefere Verständnis sowohl der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie letztendlich aus dem Studium der Minkowski-Metrik (unten beschrieben) und der Annahme von X 0 = ct kommen, anstatt von einem "verkleideten" " Euklidische Metrik mit ict als Zeitkoordinate.
Einige Autoren verwenden X 0 = t, mit Faktoren von c an anderer Stelle, um dies zu kompensieren; zum Beispiel werden Raumkoordinaten durch c dividiert oder Faktoren von c ±2 werden in den metrischen Tensor aufgenommen. Diese zahlreichen Konventionen können durch die Verwendung natürlicher Einheiten mit c = 1 ersetzt werden. Dann haben Raum und Zeit äquivalente Einheiten, und nirgendwo erscheinen Faktoren von c.
3D-Raumzeit Wenn wir die räumlichen Dimensionen auf 2 reduzieren, damit wir die Physik in einem 3D-Raum darstellen können
{\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},} wir sehen, dass die Null- Geodäten entlang eines Doppelkegels liegen (siehe Abb. 10-2), der durch die Gleichung definiert ist;
{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}} oder einfach
{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},} das ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius c dt.
4D-Raumzeit Wenn wir dies auf drei räumliche Dimensionen erweitern, sind die Null-Geodäten der 4-dimensionale Kegel:
d so 2 = 0 = d x 1 2 + d x 2 2 + d x 3 2 − c 2 d t 2
{\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}} so
{\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.} Wie in Abb. 10-3 dargestellt, kann man sich die Null-Geodäten als eine Menge kontinuierlicher konzentrischer Kugeln mit Radien = c dt vorstellen.
Dieser Null-Doppelkegel repräsentiert die "Sichtlinie" eines Punktes im Raum. Das heißt, wenn wir die Sterne betrachten und sagen: "Das Licht von diesem Stern, den ich empfange, ist X Jahre alt", schauen wir in diese Sichtlinie: eine Null-Geodäte. Wir betrachten ein Ereignis in einiger Entfernung und eine Zeit d/c in der Vergangenheit. Aus diesem Grund wird der Null-Doppelkegel auch als „Lichtkegel“ bezeichnet. (Der Punkt links unten in Abb. 10-2 stellt den Stern dar, der Ursprung den Beobachter und die Linie die nullgeodätische "Sichtlinie".){\displaystyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}
Der Kegel im − t- Bereich ist die Information, dass der Punkt 'empfangen', während der Kegel im + t- Abschnitt die Information ist, dass der Punkt 'sendet'.
Die Geometrie des Minkowski-Raums kann mit Minkowski-Diagrammen dargestellt werden , die auch zum Verständnis vieler Gedankenexperimente in der speziellen Relativitätstheorie nützlich sind.
Beachten Sie, dass in der 4d-Raumzeit das Konzept des Massenzentrums komplizierter wird, siehe Massenzentrum (relativistisch) .
Physik in der Raumzeit Transformationen physikalischer Größen zwischen Referenzsystemen Oben zeigt die Lorentz-Transformation für die Zeitkoordinate und drei Raumkoordinaten, dass sie miteinander verflochten sind. Dies gilt allgemeiner: Bestimmte Paare von "zeitartigen" und "raumartigen" Größen kombinieren sich natürlich gleichberechtigt unter derselben Lorentz-Transformation.
Die obige Lorentz-Transformation in Standardkonfiguration, d. h. für einen Boost in x -Richtung, lässt sich wie folgt in Matrixform umformen:
( c t ' x ' ja ' z ' ) = ( γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) ( c t x ja z ) = ( {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma amp;-\beta \gamma amp;0amp;0\\-\beta \gamma amp;\gamma amp;0amp;0\\0amp;0amp;1amp;0\\0amp;0amp;0amp;1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct -\gamma \beta x\\gamma x-\beta \gamma ct\y\\z\end{pmatrix}}.} In der Newtonschen Mechanik werden Größen mit Betrag und Richtung mathematisch als 3D-Vektoren im euklidischen Raum beschrieben und im Allgemeinen durch die Zeit parametrisiert. In der speziellen Relativitätstheorie wird dieser Begriff erweitert, indem die entsprechende zeitartige Größe zu einer raumartigen Vektorgröße addiert wird, und wir haben 4d-Vektoren oder " vier Vektoren " in der Minkowski-Raumzeit. Die Komponenten von Vektoren werden in der Tensor-Index-Notation geschrieben , da dies zahlreiche Vorteile hat. Die Notation macht deutlich, dass die Gleichungen unter der Poincaré-Gruppe offensichtlich kovariant sind, wodurch die langwierigen Berechnungen zur Überprüfung dieser Tatsache umgangen werden. Bei der Konstruktion solcher Gleichungen stellen wir oft fest, dass Gleichungen, die zuvor als nicht verwandt angesehen wurden, tatsächlich eng miteinander verbunden sind, da sie Teil derselben Tensorgleichung sind. Das Erkennen anderer physikalischer Größen als Tensoren vereinfacht deren Transformationsgesetze. Durchgängig sind obere Indizes (hochgestellte Indizes) eher kontravariante Indizes als Exponenten, außer wenn sie ein Quadrat angeben (dies sollte aus dem Kontext klar sein), und untere Indizes (tiefgestellte Indizes) sind kovariante Indizes. Der Einfachheit und Konsistenz mit den früheren Gleichungen halber werden kartesische Koordinaten verwendet.
Das einfachste Beispiel für einen Vierer-Vektor ist die Position eines Ereignisses in der Raumzeit, die aus einer Zeitkomponente ct und einer raumartigen Komponente x = ( x, y, z) besteht, in einem kontravarianten Positions- Vier-Vektor mit Komponenten:
X ν = ( X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ) = ( c t , x , ja , z ) = ( c t , x ) .
{\displaystyle X^{\nu}=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\ mathbf {x}).} wobei wir X 0 = ct definieren, so dass die Zeitkoordinate die gleiche Entfernungsdimension hat wie die anderen Raumdimensionen; damit Raum und Zeit gleich behandelt werden. Nun kann die Transformation der kontravarianten Komponenten des Positions-4-Vektors kompakt geschrieben werden als:
{\displaystyle X^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}X^{\nu}} wo eine implizite Summierung auf 0 bis 3, und ist eine Matrix . {\displaystyle \nu} {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu}}
Allgemeiner gesagt, alle kontravarianten Komponenten einer Vier-Vektor- Transformation von einem Frame zu einem anderen Frame durch eine Lorentz-Transformation :{\displaystyle T^{\nu}}
{\displaystyle T^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}T^{\nu}} Beispiele für andere 4-Vektoren umfassen die 4-Geschwindigkeit, die als die Ableitung des Positions-4-Vektors nach der Eigenzeit definiert ist :{\displaystyle U^{\mu},}
U μ = d X μ d τ = γ ( v ) ( c , v x , v ja , v z ) = γ ( v ) ( c , v ) .
{\displaystyle U^{\mu}={\frac {dX^{\mu}}{d\tau}}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma(v)(c,\mathbf{v}).} wobei der Lorentzfaktor ist:
γ ( v ) = 1 1 − ( v c ) 2 v 2 = v x 2 + v ja 2 + v z 2 .
{\displaystyle \gamma(v)={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\qquad v^{2 }=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.} Die relativistische Energie und der relativistische Impuls eines Objekts sind die zeit- bzw. raumähnlichen Komponenten eines kontravarianten Vektors mit vier Impulsen :{\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}} {\displaystyle\mathbf{p} =\gamma(v)m\mathbf{v}}
P μ = ich U μ = ich γ ( v ) ( c , v x , v ja , v z ) = ( E c , p x , p ja , p z ) = ( E c , p ) .
{\displaystyle P^{\mu}=mU^{\mu}=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E }{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac{E}{c}},\mathbf{p}\right).} wobei m die invariante Masse ist .
Die Viererbeschleunigung ist die Eigenzeitableitung der Vierergeschwindigkeit:
{\displaystyle A^{\mu}={\frac {dU^{\mu}}{d\tau}}.} Die Transformationsregeln für drei - dimensionale Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind sehr umständlich; selbst darüber in der Standardkonfiguration sind die Geschwindigkeitsgleichungen wegen ihrer Nichtlinearität ziemlich kompliziert. Die Transformation von Vierer- Geschwindigkeit und Vierer- Beschleunigung hingegen ist mit der Lorentz-Transformationsmatrix einfacher.
Der Vier-Gradient eines Skalarfeldes φ transformiert sich eher kovariant als kontravariant:
( 1 c ∂ φ ∂ t ' ∂ φ ∂ x ' ∂ φ ∂ ja ' ∂ φ ∂ z ' ) = ( 1 c ∂ φ ∂ t ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ ja ∂ φ ∂ z ) ( {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t'}}}amp;{\frac {\partial \phi }{\partial x' }}amp;{\frac {\partial \phi }{\partial y'}}amp;{\frac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{ \frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}amp;{\frac {\partial \phi }{\partial x}}amp;{\frac {\partial \phi} {\partial y}}amp;{\frac {\partial\phi}{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma amp;+\beta\gamma amp;0amp;0\\+\beta\gamma amp;\gamma amp;0amp;0\\0amp;0amp;1amp;0\\0amp;0amp;0amp;1\end{pmatrix}}.} was ist die Transponierung von:
{\displaystyle (\partial_{\mu'}\phi)=\Lambda_{\mu'}{}^{\nu}(\partial_{\nu}\phi)\qquad \partial_{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu}}}.} nur in kartesischen Koordinaten. Es ist die kovariante Ableitung, die in manifeste Kovarianz transformiert, in kartesischen Koordinaten reduziert sich dies zufällig auf die partiellen Ableitungen, aber nicht in anderen Koordinaten.
Allgemeiner die co- varianten Komponenten einer 4-Vektor-Transformation gemäß der inversen Lorentz-Transformation:
{\displaystyle T_{\mu'}=\Lambda_{\mu'}{}^{\nu}T_{\nu},} wo ist die reziproke Matrix von.{\displaystyle \Lambda_{\mu '}{}^{\nu}} {\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu}}
Die Postulate der speziellen Relativitätstheorie begrenzen die genaue Form der Lorentz-Transformationsmatrizen.
Allgemeiner ausgedrückt lassen sich die meisten physikalischen Größen am besten als (Komponenten von) Tensoren beschreiben . Um also von einem Frame in einen anderen zu transformieren, verwenden wir das bekannte Tensortransformationsgesetz
T θ ' ι ' ⋯ κ ' α ' β ' ⋯ ζ ' = Λ α ' μ Λ β ' ν ⋯ Λ ζ ' ρ Λ θ ' σ Λ ι ' υ ⋯ Λ κ ' φ T σ υ ⋯ φ μ ν ⋯ ρ
{\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu}\Lambda ^ {\beta '}{}_{\nu}\cdots\Lambda^{\zeta'}{}_{\rho}\Lambda_{\theta'}{}^{\sigma}\Lambda_{\iota '}{}^{\upsilon}\cdots\Lambda_{\kappa'}{}^{\phi}T_{\sigma\upsilon\cdots\phi}^{\mu\nu\cdots\rho}} wo ist die reziproke Matrix von. Alle Tensoren transformieren nach dieser Regel.{\displaystyle \Lambda_{\chi '}{}^{\psi}} {\displaystyle \Lambda^{\chi '}{}_{\psi}}
Ein Beispiel für einen vierdimensionalen antisymmetrischen Tensor zweiter Ordnung ist der relativistische Drehimpuls , der sechs Komponenten hat: drei sind der klassische Drehimpuls und die anderen drei beziehen sich auf die Verstärkung des Massenschwerpunkts des Systems. Die Ableitung des relativistischen Drehimpulses nach der Eigenzeit ist das relativistische Drehmoment, auch antisymmetrischer Tensor zweiter Ordnung.
Der elektromagnetische Feldtensor ist ein weiteres antisymmetrisches Tensorfeld zweiter Ordnung mit sechs Komponenten: drei für das elektrische Feld und weitere drei für das magnetische Feld . Es gibt auch den Spannungs-Energie-Tensor für das elektromagnetische Feld, nämlich den elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensor .
Metrisch Der metrische Tensor erlaubt es, das innere Produkt zweier Vektoren zu definieren, was wiederum erlaubt, dem Vektor eine Größe zuzuordnen. Angesichts der vierdimensionalen Natur der Raumzeit hat die Minkowski-Metrik η Komponenten (gültig mit geeignet gewählten Koordinaten), die in einer 4 × 4- Matrix angeordnet werden können:
η α β = ( {\displaystyle \eta _{\alpha \beta}={\begin{pmatrix}-1amp;0amp;0amp;0\\0amp;1amp;0amp;0\\0amp;0amp;1amp;0\\0amp;0amp;0amp;1\end{pmatrix}}} was gleich seinem Kehrwert,, in diesen Rahmen ist. Durchweg verwenden wir die Zeichen wie oben, verschiedene Autoren verwenden unterschiedliche Konventionen – siehe Minkowski metrische alternative Zeichen.{\displaystyle \eta^{\alpha\beta}}
Die Poincaré-Gruppe ist die allgemeinste Gruppe von Transformationen, die die Minkowski-Metrik beibehält:
{\displaystyle \eta_{\alpha\beta}=\eta_{\mu'\nu'}\Lambda^{\mu'}{}_{\alpha}\Lambda^{\nu'}{}_ {\Beta }} und dies ist die physikalische Symmetrie, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt.
Die Metrik kann zum Erhöhen und Senken von Indizes auf Vektoren und Tensoren verwendet werden. Invarianten können mit der Metrik konstruiert werden, das innere Produkt eines 4-Vektors T mit einem anderen 4-Vektor S ist:
T α S α = T α η α β S β = T α η α β S β = invarianter Skalar
{\displaystyle T^{\alpha}S_{\alpha}=T^{\alpha}\eta_{\alpha\beta}S^{\beta}=T_{\alpha}\eta^{\alpha\beta }S_{\beta}={\text{invarianten Skalar}}} Invariant bedeutet, dass es in allen Inertialsystemen den gleichen Wert annimmt, da es ein Skalar (0-Rang-Tensor) ist und daher kein Λ in seiner trivialen Transformation erscheint. Der Betrag des 4-Vektors T ist die positive Quadratwurzel des inneren Produkts mit sich selbst:
{\displaystyle |\mathbf{T} |={\sqrt {T^{\alpha}T_{\alpha}}}}} Man kann diese Idee auf Tensoren höherer Ordnung erweitern, für einen Tensor zweiter Ordnung können wir die Invarianten bilden:
T α α , T α β T β α , T α β T β γ T γ α = invariante Skalare ,
{\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha},T^{\alpha}{}_{\beta}T^{\beta}{}_{\alpha},T^{\alpha} {}_{\beta}T^{\beta }{}_{\gamma}T^{\gamma }{}_{\alpha}={\text{invarianten Skalare}},} ähnlich für Tensoren höherer Ordnung. Invariante Ausdrücke, insbesondere innere Produkte von 4-Vektoren mit sich selbst, liefern Gleichungen, die für Berechnungen nützlich sind, da man keine Lorentz-Transformationen durchführen muss, um die Invarianten zu bestimmen.
Relativistische Kinematik und Invarianz Die Koordinatendifferentiale transformieren sich auch kontravariant:
{\displaystyle dX^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}{}_{\nu}dX^{\nu}} also die quadrierte Länge des Differentials des Positions-Vier-Vektors dX μ konstruiert mit
d X 2 = d X μ d X μ = η μ ν d X μ d X ν = − ( c d t ) 2 + ( d x ) 2 + ( d ja ) 2 + ( d z ) 2
{\displaystyle d\mathbf{X}^{2}=dX^{\mu}\,dX_{\mu}=\eta_{\mu\nu}\,dX^{\mu}\,dX^{ \nu }=-(cdt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}\,} ist eine Invariante. Beachten Sie, dass, wenn das Linienelement d X 2 negativ ist, √ − d X 2 das Differential der Eigenzeit ist , während, wenn d X 2 positiv ist, √ d X 2 das Differential der Eigendistanz ist .
Die 4-Geschwindigkeit U μ hat eine invariante Form:
{\displaystyle {\mathbf {U}}^{2}=\eta_{\nu\mu}U^{\nu}U^{\mu}=-c^{2}\,,} was bedeutet, dass alle Geschwindigkeits-Vier-Vektoren einen Betrag von c haben. Dies ist ein Ausdruck dafür, dass es in der Relativitätstheorie keine Koordinatenruhe gibt: Zumindest bewegt man sich immer vorwärts durch die Zeit. Die Ableitung der obigen Gleichung nach τ ergibt:
{\displaystyle 2\eta_{\mu\nu}A^{\mu}U^{\nu}=0.} In der speziellen Relativitätstheorie sind also der Beschleunigungs-Vier-Vektor und der Geschwindigkeits-Vier-Vektor orthogonal.
Relativistische Dynamik und Invarianz Die invariante Größe des Impuls-4-Vektors erzeugt die Energie-Impuls-Beziehung :
{\displaystyle\mathbf{P}^{2}=\eta^{\mu\nu}P_{\mu}P_{\nu}=-\left({\frac {E}{c}}\right) ^{2}+p^{2}.} Wir können herausfinden, was diese Invariante ist, indem wir zunächst argumentieren, dass es egal ist, in welchem Bezugssystem wir sie berechnen, da es ein Skalar ist, und dann in ein System transformieren, in dem der Gesamtimpuls null ist.
{\displaystyle \mathbf{P}^{2}=-\left({\frac {E_{\mathrm {Rest}}}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.} Wir sehen, dass die Ruheenergie eine unabhängige Invariante ist. Eine Ruheenergie kann sogar für bewegte Teilchen und Systeme berechnet werden, indem man sie in ein System übersetzt, in dem der Impuls null ist.
Die Ruheenergie bezieht sich auf die Masse gemäß der oben diskutierten berühmten Gleichung:
{\displaystyle E_{\mathrm {Rest}}=mc^{2}.} Die Masse der Systeme, die in ihrem Zentrum des Impulssystems (wo der Gesamtimpuls null ist) gemessen wird, ist durch die Gesamtenergie des Systems in diesem System gegeben. Sie darf nicht gleich der Summe der einzelnen Systemmassen sein, die in anderen Rahmen gemessen wurden.
Um das dritte Newtonsche Bewegungsgesetz zu verwenden , müssen beide Kräfte als Impulsänderungsrate in Bezug auf dieselbe Zeitkoordinate definiert werden. Das heißt, es erfordert die oben definierte 3D-Kraft. Leider gibt es in 4D keinen Tensor, der die Komponenten des 3D-Kraftvektors unter seinen Komponenten enthält.
Wenn sich ein Partikel nicht bei c bewegt, kann man die 3D-Kraft aus dem mitbewegten Referenzsystem des Partikels in das Referenzsystem des Beobachters umwandeln. Dies ergibt einen 4-Vektor, der als Viererkraft bezeichnet wird . Es ist die Änderungsrate des obigen Energieimpuls- Vier-Vektors in Bezug auf die Eigenzeit. Die kovariante Version der Viererkraft ist:
{\displaystyle F_{\nu}={\frac {dP_{\nu}}{d\tau}}=mA_{\nu}} Im Ruhesystem des Objekts ist die Zeitkomponente der vier Kräfte null, es sei denn, die „ invariante Masse “ des Objekts ändert sich (dies erfordert ein nicht geschlossenes System, in dem Energie/Masse direkt hinzugefügt oder von dem Objekt entfernt wird) in diesem Fall ist es das Negative dieser Massenänderungsrate mal c. Im Allgemeinen sind die Komponenten der Viererkraft jedoch nicht gleich den Komponenten der Dreierkraft, da die Dreierkraft durch die Impulsänderungsrate in Bezug auf die Koordinatenzeit definiert ist, also dp / dt während die vier Kraft ist durch die Änderungsrate des Impulses in Bezug auf die Eigenzeit definiert, dh dp / d τ.
In einem kontinuierlichen Medium verbindet sich die 3D- Kraftdichte mit der Leistungsdichte zu einem kovarianten 4-Vektor. Der räumliche Teil ist das Ergebnis der Division der Kraft auf eine kleine Zelle (im 3-Raum) durch das Volumen dieser Zelle. Die Zeitkomponente ist –1/ c mal die an diese Zelle übertragene Leistung geteilt durch das Volumen der Zelle. Dies wird weiter unten im Abschnitt über Elektromagnetismus verwendet.
Siehe auch Personen: Hendrik Lorentz | Henri Poincaré | Albert Einstein | Max Planck | Hermann Minkowski | Max von Laue | Arnold Sommerfeld | Max geboren | Gustav Herglotz | Richard C. 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Zeitungsartikel Externe Links Originalwerke Spezielle Relativitätstheorie für ein allgemeines Publikum (keine mathematischen Kenntnisse erforderlich) Einstein Light Eine preisgekrönte , nicht-technische Einführung (Filmclips und Demonstrationen), die von Dutzenden von Seiten mit weiteren Erklärungen und Animationen auf Niveaus mit oder ohne Mathematik unterstützt wird. Einstein Online Einführung in die Relativitätstheorie, vom Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik. Audio: Kain/Gay (2006) – Astronomie-Besetzung . Einsteins spezielle Relativitätstheorie Spezielle Relativitätstheorie erklärt (mit einfacher oder fortgeschrittener Mathematik) Visualisierung Raytracing Special Relativity Software zur Visualisierung verschiedener Szenarien unter dem Einfluss der speziellen Relativitätstheorie. Echtzeit-Relativität Die Australian National University. Relativistische visuelle Effekte, die durch ein interaktives Programm erlebt werden. Raumzeitreisen Eine Vielzahl von Visualisierungen relativistischer Effekte, von relativistischen Bewegungen bis hin zu Schwarzen Löchern. Durch Einsteins Augen Die Australian National University. Relativistische visuelle Effekte mit Filmen und Bildern erklärt. Warp Special Relativity Simulator Ein Computerprogramm, das die Auswirkungen von Reisen nahe der Lichtgeschwindigkeit zeigt. Animationsclip auf YouTube zur Visualisierung der Lorentz-Transformation. Originale interaktive FLASH-Animationen von John de Pillis, die Lorentz- und Galilei-Frames, Zug- und Tunnelparadox, das Zwillingsparadox, Wellenausbreitung, Taktsynchronisation usw. veranschaulichen. lightspeed Ein OpenGL-basiertes Programm, das entwickelt wurde, um die Auswirkungen der speziellen Relativitätstheorie auf das Erscheinungsbild sich bewegender Objekte zu veranschaulichen. Animation, die die Sterne in der Nähe der Erde zeigt, wie sie von einer Raumsonde aus gesehen werden, die sich schnell auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.
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Albert Einstein um 1905, dem Jahr, in dem seine „ Annus Mirabilis papers “ veröffentlicht wurden. Dazu gehörte Zur Elektrodynamik bewegter Körper, das Papier zur Gründung der speziellen Relativitätstheorie.
Abbildung 2–1. Das gestrichene System bewegt sich relativ zum ungestrichenen System mit konstanter Geschwindigkeit v nur entlang der x- Achse aus der Perspektive eines im ungestrichenen System stehenden Beobachters. Nach dem Relativitätsprinzip wird ein Beobachter, der im gestrichenen System stationär ist, eine ähnliche Konstruktion sehen, außer dass die von ihm aufgezeichnete Geschwindigkeit −v ist. Die Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung von unendlich in der nichtrelativistischen Mechanik auf einen endlichen Wert erfordert eine Modifikation der Transformationsgleichungen, die Ereignisse in einem Rahmen auf einen anderen abbilden.