Satz von Rouché-Capelli

Existenz von Lösungen für ein System linearer Gleichungen in Form von Matrix-RängenNicht zu verwechseln mit Rouchés Theorem.

In der linearen Algebra bestimmt der Rouché-Capelli-Satz die Anzahl der Lösungen für ein lineares Gleichungssystem anhanddes Ranges seiner erweiterten Matrix und Koeffizientenmatrix. Der Satz ist verschiedentlich bekannt als:

• Rouché-Capelli-Theorem in englischsprachigen Ländern, Italien und Brasilien ;
• Kronecker-Capelli-Theorem in Österreich, Polen, Rumänien und Russland ;
• Satz von Rouché-Fontené in Frankreich ;
• Rouché-Frobenius-Theorem in Spanien und vielen Ländern Lateinamerikas ;
• Frobenius-Theorem in der Tschechischen Republik und in der Slowakei.

Inhalt

• 1 Formale Erklärung
• 2 Beispiel
• 3 Siehe auch
• 4 Referenzen
• 5 Externe Links

Formelle Stellungnahme

Ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen hat genau dann eine Lösung, wenn der Rang seiner Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang seiner erweiterten Matrix [ A | ist b ].Wenn es Lösungen gibt, sie eine Form affinen Unterraumes vonder Dimension n Ranges (- A).Bestimmtes:$$

R. n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

• Wenn n = Rang ( A) ist, ist die Lösung eindeutig.
• Ansonsten gibt es unendlich viele Lösungen.

Beispiel

Betrachten Sie das Gleichungssystem

x + y + 2 z = 3,

x + y + z = 1,

2 x + 2 y + 2 z = 2.

Die Koeffizientenmatrix ist

$$ EIN = [ 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ]], {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 1 amp; 2 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \\ 2 amp; 2 amp; 2 \\\ end {bmatrix}},}

und die erweiterte Matrix ist

$$ (( EIN | B.) = [ 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 ]]. {\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 amp; 1 amp; 2 amp; 3 \\ 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ 2 amp; 2 amp; 2 amp; 2 \ end {array}} \ right].}

Da beide den gleichen Rang haben, nämlich 2, gibt es mindestens eine Lösung;und da ihr Rang geringer ist als die Anzahl der Unbekannten, wobei letztere 3 ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

Betrachten Sie im Gegensatz dazu das System

x + y + 2 z = 3,

x + y + z = 1,

2 x + 2 y + 2 z = 5.

Die Koeffizientenmatrix ist

$$ EIN = [ 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ]], {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 1 amp; 2 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \\ 2 amp; 2 amp; 2 \\\ end {bmatrix}},}

und die erweiterte Matrix ist

$$ (( EIN | B.) = [ 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 5 ]]. {\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 amp; 1 amp; 2 amp; 3 \\ 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ 2 amp; 2 amp; 2 amp; 5 \ end {array}} \ right].}

In diesem Beispiel hat die Koeffizientenmatrix Rang 2, während die erweiterte Matrix Rang 3 hat.Dieses Gleichungssystem hat also keine Lösung.In der Tat hat eine Zunahme der Anzahl linear unabhängiger Spalten das Gleichungssystem inkonsistent gemacht.

Siehe auch

• Cramers Regel
• Gaußsche Eliminierung

Verweise

• A. Carpinteri (1997). Strukturmechanik. Taylor und Francis.p.74. ISBN 0-419-19160-7.

Externe Links

• Kronecker-Capelli-Theorem bei Wikibooks
• Satz von Kronecker-Capelli - Youtube-Video mit einem Beweis
• Kronecker-Capelli-Theorem in der Encyclopaedia of Mathematics