Ein rotierender Referenzrahmen ist ein Sonderfall eines nicht trägen Referenzrahmens, der sichrelativ zu einem trägen Referenzrahmen dreht. Ein alltägliches Beispiel eines rotierenden Referenzrahmen ist die Oberfläche der Erde. (In diesem Artikel werden nur Frames berücksichtigt, die sich um eine feste Achse drehen. Weitere allgemeine Drehungen finden Sie unter Euler-Winkel. )
Im Trägheitsreferenzrahmen (oberer Teil des Bildes) bewegt sich die schwarze Kugel in einer geraden Linie.Der Beobachter (roter Punkt), der im rotierenden / nicht trägen Referenzrahmen (unterer Teil des Bildes) steht, sieht das Objekt jedoch aufgrund der in diesem Rahmen vorhandenen Coriolis- und Zentrifugalkräfte einem gekrümmten Pfad folgend.
Inhalt
1 Fiktive Kräfte
2 Verknüpfen von rotierenden Frames mit stationären Frames
2.1 Beziehung zwischen Positionen in den beiden Frames
2.2 Zeitableitungen in den beiden Frames
2.3 Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten in den beiden Rahmen
2.4 Beziehung zwischen Beschleunigungen in den beiden Frames
Wissenschaftler in einer rotierenden Box können die Geschwindigkeit und Richtung ihrer Rotation messen, indem sie diese fiktiven Kräfte messen.Zum Beispiel konnte Léon Foucault mithilfe des Foucault-Pendels die Coriolis-Kraft zeigen, die sich aus der Erdrotation ergibt.Wenn sich die Erde um ein Vielfaches schneller drehen würde, könnten diese fiktiven Kräfte von Menschen wie auf einem sich drehenden Karussell gefühlt werden.
Verwandeln rotierender Frames in stationäre Frames
Das Folgende ist eine Ableitung der Formeln für Beschleunigungen sowie fiktive Kräfte in einem rotierenden Rahmen.Es beginnt mit der Beziehung zwischen den Koordinaten eines Partikels in einem rotierenden Rahmen und seinen Koordinaten in einem trägen (stationären) Rahmen.Dann werden durch Zeitableitungen Formeln abgeleitet, die die Geschwindigkeit des Teilchens, wie sie in den beiden Rahmen zu sehen ist, und die Beschleunigung relativ zu jedem Rahmen in Beziehung setzen.Unter Verwendung dieser Beschleunigungen werden die fiktiven Kräfte identifiziert, indem das zweite Newtonsche Gesetz verglichen wird, wie es in den zwei verschiedenen Rahmen formuliert ist.
Beziehung zwischen Positionen in den beiden Frames
Um diese fiktiven Kräfte abzuleiten, ist es hilfreich, zwischen den Koordinatendes rotierenden Referenzrahmens und den Koordinateneines Trägheitsreferenzrahmens mit demselben Ursprungkonvertieren zu können.Wenn die Drehung um dieAchse mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit erfolgt oderdie beiden Referenzrahmen zeitlich zusammenfallen, kann die Transformation von rotierenden Koordinaten zu Trägheitskoordinaten geschrieben werden
Führen Sie die Einheitsvektoren,die Standardeinheitsbasisvektoren darstellen, in den rotierenden Rahmen ein.Die Zeitableitungen dieser Einheitsvektoren werden als nächstes gefunden.Angenommen, die Rahmen sind bei t = 0 ausgerichtet und die z- Achse ist die Drehachse.Dann für eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel Ωt:
wobei die ( x, y) -Komponenten im stationären Rahmen ausgedrückt werden.Gleichfalls,
Somit ist die zeitliche Ableitung dieser Vektoren, die sich drehen, ohne die Größe zu ändern,
wo.Dieses Ergebnis ist das gleiche wie bei Verwendung eines Vektorkreuzprodukts, wobei der Rotationsvektorentlang der z-Rotationsachse zeigt, nämlich
woist entwederoder.
Zeitableitungen in den beiden Frames
Führen Sie die Einheitsvektoren,die Standardeinheitsbasisvektoren darstellen, in den rotierenden Rahmen ein.Während sie sich drehen, bleiben sie normalisiert.Wenn wir sie mit einer Geschwindigkeit vonungefähr einer Achsedrehen lassen, folgtjeder Einheitsvektordes rotierenden Koordinatensystems der folgenden Gleichung:
Wenn wir dann eine Vektorfunktion haben,
und wir wollen seine erste Ableitung untersuchen, die wir haben (unter Verwendung der Produktregel der Differenzierung):