Relative Geschwindigkeit

Geschwindigkeit eines Objekts oder Beobachters B im Restrahmen eines anderen Objekts oder Beobachters A.

Teil einer Serie über
Klassische Mechanik
$$ F. = d d t (( m v) {\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})} Zweites Bewegungsgesetz
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Geäst Angewandt Himmlisch Kontinuum Dynamik Kinematik Kinetik Statik Statistisch
Grundlagen Beschleunigung Drehimpuls Paar D'Alemberts Prinzip Energie kinetisch Potenzial Macht Bezugsrahmen Trägheitsreferenzrahmen Impuls Trägheit / Trägheitsmoment Masse Mechanische Kraft Mechanische Arbeit Moment Schwung Platz Geschwindigkeit Zeit Drehmoment Geschwindigkeit Virtuelle Arbeit
Formulierungen Newtons Bewegungsgesetze Analytische Mechanik Lagrange-Mechanik Hamiltonsche Mechanik Routhian Mechanik Hamilton-Jacobi-Gleichung Appells Bewegungsgleichung Koopman-von-Neumann-Mechanik
Kernthemen Dämpfungsverhältnis Verschiebung Bewegungsgleichungen Eulers Bewegungsgesetze Fiktive Gewalt Reibung Harmonischer Oszillator Trägheits- / Nicht-Trägheitsreferenzrahmen Mechanik der planaren Teilchenbewegung Bewegung ( linear ) Newtons Gesetz der universellen Gravitation Newtons Bewegungsgesetze Relative Geschwindigkeit Starrer Körper Dynamik Eulers Gleichungen Einfache harmonische Bewegung Vibration
Drehung Kreisbewegung Rotierender Referenzrahmen Zentripetalkraft Zentrifugalkraft reaktiv Corioliskraft Pendel Tangentialgeschwindigkeit Drehzahl Winkelbeschleunigung / Verschiebung / Frequenz / Geschwindigkeit
Wissenschaftler Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorien ► Klassische Mechanik
v t e

Die Relativgeschwindigkeit (auchoder) die Geschwindigkeit eines Objekts oder einesBeobachters B im Ruhesystem eines anderen Objekts oder Beobachter A.$$

v → B. ∣ EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A}}$$ v → B. EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {BA}}$$ v → B. rel ⁡ EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ operatorname {rel} A}}

Inhalt

• 1 Klassische Mechanik
  • 1.1 In einer Dimension (nicht relativistisch)
  • 1.2 In zwei Dimensionen (nicht relativistisch)
  • 1.3 Galiläische Transformation (nicht relativistisch)
• 2 Spezielle Relativitätstheorie
  • 2.1 Parallele Geschwindigkeiten
  • 2.2 Senkrechte Geschwindigkeiten
  • 2.3 Allgemeiner Fall
• 3 Siehe auch
• 4 Hinweise zur Relativgeschwindigkeit
• 5 Referenzen
• 6 Weiterführende Literatur
• 7 Externe Links

Klassische Mechanik

In einer Dimension (nicht relativistisch)

Relativer Bewegungsmann im Zug

Wir beginnen mit der Relativbewegung in der klassischen (oder nicht relativistischen oder Newtonschen Näherung ), dass alle Geschwindigkeiten viel geringer sind als die Lichtgeschwindigkeit.Diese Grenze ist mit der galiläischen Transformation verbunden. Die Abbildung zeigt einen Mann auf einem Zug am hinteren Rand.Um 13:00 Uhr beginnt er mit einer Schrittgeschwindigkeit von 10 km / h (Kilometer pro Stunde) vorwärts zu laufen.Der Zug fährt mit 40 km / h.Die Abbildung zeigt den Mann und den Zug zu zwei verschiedenen Zeiten: erst zu Beginn der Reise und eine Stunde später um 14:00 Uhr.Die Abbildung zeigt, dass der Mann 50 km vom Startpunkt entfernt ist, nachdem er eine Stunde lang (zu Fuß und mit dem Zug) gereist ist.Dies ist per Definition 50 km / h, was darauf hindeutet, dass die Vorschrift für die Berechnung der Relativgeschwindigkeit auf diese Weise darin besteht, die beiden Geschwindigkeiten zu addieren.

Die Abbildung zeigt Uhren und Lineale, um den Leser daran zu erinnern, dass die Logik hinter dieser Berechnung zwar fehlerfrei erscheint, jedoch falsche Annahmen darüber macht, wie sich Uhren und Lineale verhalten.(Siehe Das Gedankenexperiment zwischen Zug und Bahnsteig. ) Um zu erkennen, dass dieses klassische Modell der Relativbewegung die spezielle Relativitätstheorie verletzt, verallgemeinern wir das Beispiel in eine Gleichung:

$$ v → M. ∣ E. ⏟ 50 km / h = v → M. ∣ T. ⏟ 10 km / h + v → T. ∣ E. ⏟ 40 km / h, {\ displaystyle \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid E}} _ {\ text {50 km / h}} = \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid T} } _ {\ text {10 km / h}} + \ underbrace {{\ vec {v}} _ {T \ mid E}} _ {\ text {40 km / h}},}

wo:

$$ v → M. ∣ E. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid E}} ist die Geschwindigkeit des M an relativ zu E arth,

$$ v → M. ∣ T. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid T}} ist die Geschwindigkeit des M an relativ zum T- Regen,

$$ v → T. ∣ E. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {T \ mid E}} ist die Geschwindigkeit des T- Regens relativ zu E arth.

Völlig legitime Ausdrücke für "die Geschwindigkeit von A relativ zu B" umfassen "die Geschwindigkeit von A in Bezug auf B" und "die Geschwindigkeit von A in dem Koordinatensystem, in dem B immer in Ruhe ist".Die Verletzung der speziellen Relativitätstheorie tritt auf, weil diese Gleichung für die Relativgeschwindigkeit fälschlicherweise vorhersagt, dass verschiedene Beobachter unterschiedliche Geschwindigkeiten messen, wenn sie die Bewegung des Lichts beobachten.

In zwei Dimensionen (nicht relativistisch)

Relative Geschwindigkeiten zwischen zwei Teilchen in der klassischen Mechanik

Die Abbildung zeigt zwei Objekte A und B, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.Die Bewegungsgleichungen sind:

$$ r → EIN = r → EIN ich + v → EIN t, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {A} = {\ vec {r}} _ {Ai} + {\ vec {v}} _ {A} t,}

$$ r → B. = r → B. ich + v → B. t, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} = {\ vec {r}} _ {Bi} + {\ vec {v}} _ {B} t,}

wobei sich der Index i auf die anfängliche Verschiebung bezieht (zum Zeitpunkt t gleich Null).Die Differenz zwischen den beiden Verschiebungsvektorenrepräsentiert die Position von B von A aus gesehen.$$

r → B. - - r → EIN {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} - {\ vec {r}} _ {A}}

$$ r → B. - - r → EIN = r → B. ich - - r → EIN ich ⏟ anfängliche Trennung + (( v → B. - - v → EIN) t ⏟ relative Geschwindigkeit. {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} - {\ vec {r}} _ {A} = \ underbrace {{\ vec {r}} _ {Bi} - {\ vec {r}} _ {Ai}} _ {\ text {anfängliche Trennung}} + \ underbrace {({\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}) t} _ {\ text {relative Geschwindigkeit}}.}

Daher:

$$ v → B. ∣ EIN = v → B. - - v → EIN. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}.}

Nach den Substitutionenundhaben wir:$$

v → EIN | C. = v → EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {A | C} = {\ vec {v}} _ {A}}$$ v → B. | C. = v → B. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B | C} = {\ vec {v}} _ {B}}

$$ v → B. ∣ EIN = v → B. ∣ C. - - v → EIN ∣ C. ⇒ {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B \ mid C} - {\ vec {v}} _ {A \ mid C} \ Rightarrow} $$ v → B. ∣ C. = v → B. ∣ EIN + v → EIN ∣ C.. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid C} = {\ vec {v}} _ {B \ mid A} + {\ vec {v}} _ {A \ mid C}.}

Galiläische Transformation (nicht relativistisch)

Um eine Theorie der Relativbewegung zu konstruieren, die mit der Theorie der speziellen Relativitätstheorie übereinstimmt, müssen wir eine andere Konvention anwenden.Wennwir weiteran der (nicht relativistischen) Newtonschen Grenze arbeiten, beginnen wir mit einer galiläischen Transformation in einer Dimension:

$$ x ' = x - - v t {\ displaystyle x '= x-vt}

$$ t ' = t {\ displaystyle t '= t}

wobei x 'die Position ist, wie sie von einem Referenzrahmen gesehen wird, der sich mit der Geschwindigkeit v in dem "nicht grundierten" (x) Referenzrahmen bewegt.Wenn wir das Differential der ersten der beiden obigen Gleichungen nehmen, haben wirund was scheint die offensichtliche Aussage zu sein, die wir haben:$$

d x ' = d x - - v d t {\ displaystyle dx '= dx-v \, dt}$$ d t ' = d t {\ displaystyle dt '= dt}

$$ d x ' d t ' = d x d t - - v {\ displaystyle {\ frac {dx '} {dt'}} = {\ frac {dx} {dt}} - v}

Um die vorherigen Ausdrücke für die Relativgeschwindigkeit wiederherzustellen, nehmen wir an, dass Teilchen A dem durch dx / dtin der nicht grundiertenReferenz definierten Pfad folgt (und daher dx '/ dt ' im grundierten Rahmen).Somitund, woundbeziehen sich auf die Bewegung von A, wie sie von einem Beobachter im nicht grundierten bzw. grundierten Rahmen gesehen wird.Denken Sie daran, dass v die Bewegung eines stationären Objekts im grundierten Rahmen ist, vom nicht grundierten Rahmen aus gesehen.So haben wirund:$$

d x /. d t = v EIN ∣ Ö {\ displaystyle dx / dt = v_ {A \ mid O}}$$ d x ' /. d t = v EIN ∣ Ö ' {\ displaystyle dx '/ dt = v_ {A \ mid O'}}$$ Ö {\ displaystyle O}$$ Ö ' {\ displaystyle O '}$$ v = v Ö ' ∣ Ö {\ displaystyle v = v_ {O '\ mid O}}

$$ v EIN ∣ Ö ' = v EIN ∣ Ö - - v Ö ' ∣ Ö ⇒ v EIN ∣ Ö = v EIN ∣ Ö ' + v Ö ' ∣ Ö, {\ displaystyle v_ {A \ mid O '} = v_ {A \ mid O} -v_ {O' \ mid O} \ Rightarrow v_ {A \ mid O} = v_ {A \ mid O '} + v_ {O. '\ mid O},}

wobei die letztere Form die gewünschte (leicht zu erlernende) Symmetrie aufweist.

Spezielle Relativität

Weitere Informationen: Spezielle Relativitätstheorie - Zusammensetzung der Geschwindigkeiten und Geschwindigkeitsadditionsformel

Wie in derklassischen Mechanik, in spezielle Relativität die Relativgeschwindigkeitist die Geschwindigkeit eines Objekts oder einesBeobachters B im Ruhesystem eines anderen Objekts oder Beobachter A.Anders als bei der klassischen Mechanik ist dies bei der Speziellen Relativitätstheorie im Allgemeinen nicht der Fall$$

v → B. | EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}

$$ v → B. | EIN = - - v → EIN | B. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A | B}}}

Dieser eigentümliche Mangel an Symmetrie hängt mit der Thomas-Präzession und der Tatsache zusammen, dass zwei aufeinanderfolgende Lorentz-Transformationen das Koordinatensystem drehen.Diese Drehung hat keinen Einfluss auf die Größe eines Vektors, und daher ist die relative Geschwindigkeit symmetrisch.

$$ ‖ v → B. | EIN ‖ = ‖ v → EIN | B. ‖ = v B. | EIN = v EIN | B. {\ displaystyle \ | {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} \ | = \ | {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A | B}} \ | = v _ {\ mathrm {B | A}} = v _ {\ mathrm {A | B}}}

Parallele Geschwindigkeiten

In dem Fall, in dem sich zwei Objekte in parallelen Richtungen bewegen, ähnelt die relativistische Formel für die Relativgeschwindigkeit in ihrer Form der Formel für die Addition relativistischer Geschwindigkeiten.

$$ v → B. | EIN = v → B. - - v → EIN 1 - - v → EIN v → B. c 2 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {v}} _ { \ mathrm {A}}} {1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2 }}}}}}

Die Relativgeschwindigkeit wird durch die folgendeFormel gegeben:

$$ v B. | EIN = | v B. - - v EIN | 1 - - v EIN v B. c 2 {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {\ left | v _ {\ mathrm {B}} -v _ {\ mathrm {A}} \ right |} {1 - {\ frac {v_ {\ mathrm {A}} v _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}

Senkrechte Geschwindigkeiten

In dem Fall, in dem sich zwei Objekte in senkrechten Richtungen bewegen, ist die relativistische Relativgeschwindigkeitdurch die Formel gegeben:$$

v → B. | EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}

$$ v → B. | EIN = v → B. γ EIN - - v → EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {\ gamma _ {\ mathrm {A. }}}} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}}}

wo

$$ γ EIN = 1 1 - - (( v EIN c) 2 {\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {\ mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}} }}}

Die Relativgeschwindigkeit wird durch die Formel angegeben

$$ v B. | EIN = c 4 - - (( c 2 - - v EIN 2) (( c 2 - - v B. 2) c {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {\ sqrt {c ^ {4} - (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {B}} ^ {2})}} {c}}}

Allgemeiner Fall

Die allgemeine Formel für die Relativgeschwindigkeiteines Objekts oder Beobachters B im Restrahmen eines anderen Objekts oder Beobachters A ergibt sich aus der Formel:$$

v → B. | EIN {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}

$$ v → B. | EIN = 1 γ EIN (( 1 - - v → EIN v → B. c 2) [ v → B. - - v → EIN + v → EIN (( γ EIN - - 1) (( v → EIN ⋅ v → B. v EIN 2 - - 1) ]] {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathrm {A}} \ left (1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}} \ right)}} \ left [{\ vec {v} } _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} + {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} (\ gamma _ {\ mathrm {A. }} -1) \ left ({\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}}} - 1 \ right) \ right]}

wo

$$ γ EIN = 1 1 - - (( v EIN c) 2 {\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {\ mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}} }}}

Die Relativgeschwindigkeit wird durch die Formel angegeben

$$ v B. | EIN = 1 - - (( c 2 - - v EIN 2) (( c 2 - - v B. 2) (( c 2 - - v → EIN ⋅ v → B.) 2 ⋅ c {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ sqrt {1 - {\ frac {(c ^ {2} -v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {B}} ^ {2})} {(c ^ {2} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}) ^ {2}}}} \ cdot c}

Siehe auch

• Doppler-Effekt
• Nichteuklidische Geometrie # Kinematische Geometrien
• Eigenartige Geschwindigkeit
• Richtige Bewegung
• Radialgeschwindigkeit
• Relativistische Geschwindigkeit
• Raumgeschwindigkeit (Astronomie)

Hinweise zur Relativgeschwindigkeit

Verweise

Weiterführende Literatur

• Alonso amp; Finn, Grundlagen der Universitätsphysik ISBN 0-201-56518-8
• Greenwood, Donald T, Prinzipien der Dynamik.
• Goodman und Warner, Dynamik.
• Bier und Johnston, Statik und Dynamik.
• McGraw Hill Wörterbuch für Physik und Mathematik.
• Rindler, W., Essentielle Relativitätstheorie.
• KHURMI RS, Mechanik, Technische Mechanik, Statik, Dynamik

Externe Links

• Relative Bewegung bei HyperPhysics
• Ein Java-Applet zur Darstellung der relativen Geschwindigkeit von Andrew Duffy
• Relatív mozgás (1)... (3) Relative Bewegung von zwei Zügen (1)... (3).Videos auf dem Portal FizKapu. (in Ungarn)
• Sebességek összegzése Relative Ruhe der Forellen im Bach.Video auf dem Portal FizKapu. (in Ungarn)