Ich n | ein ein Ich | n Ich = Ich n | ( [ ein , ein Ich ] + ein Ich ein ) | n Ich = Ich n | ( n + 1 ) | n Ich = n + 1 ⇒ ein Ich | n Ich = n + 1 | n + 1 Ich ⇒ | n Ich = ein Ich n | n − 1 Ich = ( ein Ich ) 2 n ( n − 1 ) | n − 2 Ich = ⋯ = ( ein Ich ) n n ! | 0 Ich .
{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\langle n|aa^{\dagger}|n\rangle amp;=\langle n|\left([a,a^{\dagger}]+a^{\dagger}a \right)|n\rangle =\langle n|(N+1)|n\rangle =n+1\\\Rightarrow a^{\dagger}|n\rangle amp;={\sqrt {n+1}} |n+1\rangle \\\Rightarrow |n\rangle amp;={\frac {a^{\dagger}}{\sqrt {n}}}|n-1\rangle ={\frac {(a^{ \dagger})^{2}}{\sqrt {n(n-1)}}}|n-2\rangle =\cdots ={\frac {(a^{\dagger})^{n}}{ \sqrt {n!}}}|0\rangle.\end{ausgerichtet}}} Analytische Fragen Die vorangegangene Analyse ist algebraisch und verwendet nur die Kommutierungsbeziehungen zwischen den Erhöhungs- und Absenkungsoperatoren. Sobald die algebraische Analyse abgeschlossen ist, sollte man sich analytischen Fragen zuwenden. Zuerst sollte man den Grundzustand finden, also die Lösung der Gleichung. In der Ortsdarstellung ist dies die Differentialgleichung erster Ordnung {\displaystyle a\psi_{0}=0}
( x + ℏ m ω D D x ) ψ 0 = 0
{\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar}{m\omega}}{\frac{d}{dx}}\right)\psi_{0}=0} deren Lösung leicht als Gaußsches
ψ 0 ( x ) = C e − m ω x 2 2 ℏ
{\displaystyle \psi_{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar}}}} Konzeptionell ist es wichtig, dass es nur eine Lösung dieser Gleichung gibt; Gäbe es beispielsweise zwei linear unabhängige Grundzustände, würden wir zwei unabhängige Ketten von Eigenvektoren für den harmonischen Oszillator erhalten. Sobald der Grundzustand berechnet ist, kann man induktiv zeigen, dass die angeregten Zustände Hermite-Polynome mal dem Gaußschen Grundzustand sind, indem man die explizite Form des Erhöhungsoperators in der Positionsdarstellung verwendet. Man kann auch beweisen, dass, wie von der Eindeutigkeit des Grundzustands erwartet, die Energieeigenzustände der Hermite-Funktionen, die nach der Ladder-Methode konstruiert wurden, einen vollständigen orthonormalen Satz von Funktionen bilden. {\displaystyle \psi_{n}}
In expliziter Verbindung mit dem vorherigen Abschnitt wird der Grundzustand |0⟩ in der Ortsdarstellung bestimmt durch, {\displaystyle a|0\rangle =0}
Ich x | ein | 0 Ich = 0 ⇒ ( x + ℏ m ω D D x ) Ich x | 0 Ich = 0 ⇒
{\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx} }\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow } Ich x | 0 Ich = ( m ω π ℏ ) 1 4 exp ( − m ω 2 ℏ x 2 ) = ψ 0 ,
{\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi\hbar}}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac{m\omega }{2\hbar}}x^{2}\right)=\psi_{0}~,} somit
Ich x | ein Ich | 0 Ich = ψ 1 ( x ) ,
{\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger}\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,} damit und so weiter. ψ 1 ( x , T ) = Ich x | e − 3 ich ω T / 2 ein Ich | 0 Ich
{\displaystyle \psi_{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger}\mid 0\rangle}
Natürliche Längen- und Energieskalen Der harmonische Quantenoszillator besitzt natürliche Längen- und Energieskalen, die zur Vereinfachung des Problems verwendet werden können. Diese können durch Nichtdimensionalisierung gefunden werden.
Das Ergebnis ist, dass, wenn die Energie in Einheiten von ħω und der Abstand in Einheiten von √ ħ /( mω ) gemessen wird, der Hamilton-Operator vereinfacht zu
h = − 1 2 D 2 D x 2 + 1 2 x 2 ,
{\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},} während sich die Energieeigenfunktionen und -eigenwerte zu Hermite-Funktionen und ganzen Zahlen vereinfachen, die um die Hälfte versetzt sind,
ψ n ( x ) = Ich x | n Ich = 1 2 n n ! π − 1 / 4 exp ( − x 2 / 2 ) h n ( x ) ,
{\displaystyle \psi_{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{- 1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),} {\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,} wobei H n ( x ) die Hermite-Polynome sind .
Um Verwechslungen zu vermeiden, werden diese "natürlichen Einheiten" in diesem Artikel meist nicht übernommen. Sie sind jedoch häufig bei der Durchführung von Berechnungen nützlich, indem sie Unordnung umgehen.
Zum Beispiel läuft die Fundamentallösung ( Propagator ) von H−i∂ t, dem zeitabhängigen Schrödinger-Operator für diesen Oszillator, einfach auf den Mehler-Kernel hinaus ,
Ich x | exp ( − ich T h ) | ja Ich ≡ K ( x , ja ; T ) = 1 2 π ich Sünde T exp ( ich 2 Sünde T ( ( x 2 + ja 2 ) cos T − 2 x ja ) ) ,
{\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}} \exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,} wobei K ( x, y ;0) = δ ( x − y ). Die allgemeinste Lösung für eine gegebene Anfangskonfiguration ψ ( x,0) ist dann einfach
ψ ( x , T ) = ∫ D ja K ( x , ja ; T ) ψ ( ja , 0 ) .
{\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)~.} Pfadintegralformulierung § Einfacher harmonischer Oszillator Kohärente Staaten Hauptartikel: Kohärenter Zustand Die kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators sind spezielle nichtdispersiven Wellenpakete mit minimaler Unsicherheit σ x σ p = ℏ / 2, dessen Observablen ' Erwartungswerte entwickeln sie wie ein klassisches System. Sie sind Eigenvektoren des Annihilationsoperators, nicht des Hamilton-Operators, und bilden eine übervollständige Basis, der folglich die Orthogonalität fehlt.
Die kohärenten Zustände werden durch α ∈ ℂ indiziert und ausgedrückt in | n ⟩ Basis as
| α Ich = Σ n = 0 ∞ | n Ich Ich n | α Ich = e − 1 2 | α | 2 Σ n = 0 ∞ α n n ! | n Ich = e − 1 2 | α | 2 e α ein Ich e − α * ein | 0 Ich
{\displaystyle |\alpha\rangle =\sum_{n=0}^{\infty}|n\rangle\langle n|\alpha\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}| \alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{- {\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger}}e^{-{\alpha^{*}a}}|0\rangle} Wegen und über die Kermack-McCrae-Identität entspricht die letzte Form einem unitären Verschiebungsoperator, der auf den Grundzustand einwirkt:. Die Ortsraumwellenfunktionen sind {\displaystyle a\left|0\right\rangle =0} | α Ich = e α ein ^ Ich − α * ein ^ | 0 Ich = D ( α ) | 0 Ich
{\displaystyle |\alpha\rangle =e^{\alpha {\hat{a}}^{\dagger}-\alpha^{*}{\hat{a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle}
ψ α ( x Ich ) = ( m ω π ℏ ) 1 4 e ich ℏ Ich P ^ Ich α x Ich − m ω 2 ℏ ( x Ich − Ich x ^ Ich α ) 2
{\displaystyle \psi_{\alpha}(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi\hbar}}\right)^{\frac {1}{4}}e^{ {\frac {i}{\hbar}}\langle {\hat{p}}\rangle _{\alpha}x'-{\frac {m\omega }{2\hbar}}(x'-\langle {\hat{x}}\rangle_{\alpha})^{2}}} Da kohärente Zustände keine Energieeigenzustände sind, ist ihre Zeitentwicklung keine einfache Verschiebung der Wellenfunktionsphase. Die zeitevolvierten Zustände sind jedoch auch kohärente Zustände, aber stattdessen mit dem Phasenverschiebungsparameter α:. α ( T ) = α ( 0 ) exp ( − ich ω T )
{\displaystyle \alpha(t)=\alpha (0)\exp(-i\omega t)}
Hocherregte Zustände Wenn n groß ist, werden die Eigenzustände im klassischen erlaubten Bereich lokalisiert, dh in dem Bereich, in dem sich ein klassisches Teilchen mit der Energie E n bewegen kann. Die Eigenzustände haben ihren Höhepunkt in der Nähe der Wendepunkte: die Punkte an den Enden des klassisch zulässigen Bereichs, in denen das klassische Teilchen seine Richtung ändert. Dieses Phänomen kann durch die Asymptotik der Hermite-Polynome und auch durch die WKB-Approximation verifiziert werden.
Die Schwingungsfrequenz bei x ist proportional zum Impuls p ( x ) eines klassischen Teilchens der Energie E n und des Ortes x. Darüber hinaus ist das Amplitudenquadrat (das die Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt) umgekehrt proportional zu p ( x ), was die Zeitdauer widerspiegelt, die das klassische Teilchen in der Nähe von x verbringt. Das Systemverhalten in einer kleinen Nachbarschaft des Wendepunktes hat keine einfache klassische Erklärung, sondern kann mit einer Airy-Funktion modelliert werden. Unter Verwendung der Eigenschaften der Airy-Funktion kann man die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen außerhalb des klassisch zulässigen Bereichs zu finden, auf ungefähr abschätzen
2 n 1 / 3 3 2 / 3 Γ 2 ( ) = 1 n 1 / 3 ⋅ 7.46408092658...
{\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1 }{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}} Dies ist auch asymptotisch durch das Integral
1 2 π ∫ 0 ∞ e ( 2 n + 1 ) ( x − sinh ( 2 x ) ) D x .
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi}}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\ sinh(2x)\right)}dx~.} Phasenraumlösungen In der Phasenraumformulierung der Quantenmechanik können Eigenzustände des harmonischen Quantenoszillators in mehreren verschiedenen Darstellungen der Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung in geschlossener Form geschrieben werden. Die am weitesten verbreitete davon ist für die Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung .
Die Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung für den Energieeigenzustand | n ⟩ ist in den oben beschriebenen natürlichen Einheiten
F n ( x , P ) = ( − 1 ) n π ℏ L n ( 2 ( x 2 + P 2 ) ) e − ( x 2 + P 2 ) ,
{\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar}}L_{n}\left(2(x^{2}+p^ {2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}~,} wobei L n die Laguerre-Polynome sind . Dieses Beispiel veranschaulicht, wie die Hermite- und Laguerre-Polynome durch die Wigner-Karte verknüpft sind.
Inzwischen hat die Husimi-Q-Funktion der harmonischen Oszillator-Eigenzustände eine noch einfachere Form. Wenn wir in den oben beschriebenen natürlichen Einheiten arbeiten, haben wir
Q n ( x , P ) = ( x 2 + P 2 ) n n ! e − ( x 2 + P 2 ) π
{\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x ^{2}+p^{2})}}{\pi }}} Diese Behauptung kann mit der Segal-Bargmann-Transformation verifiziert werden. Da der Erhöhungsoperator in der Segal-Bargmann-Darstellung einfach eine Multiplikation mit ist und der Grundzustand die konstante Funktion 1 ist, sind die normalisierten harmonischen Oszillatorzustände in dieser Darstellung einfach. An dieser Stelle können wir auf die Formel für die Husimi-Q-Funktion im Sinne der Segal-Bargmann-Transformation zurückgreifen. {\displaystyle z=x+ip} {\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}
N -dimensionaler isotroper harmonischer Oszillator Der eindimensionale harmonische Oszillator lässt sich leicht auf N Dimensionen verallgemeinern, wobei N = 1, 2, 3,.... In einer Dimension wurde die Position des Teilchens durch eine einzelne spezifizierten Koordinate , x. In N Dimensionen wird dies durch N Positionskoordinaten ersetzt, die wir mit x 1,..., x N bezeichnen. Jeder Positionskoordinate entspricht ein Impuls; wir bezeichnen diese als p 1,..., p N. Die kanonischen Kommutierungsbeziehungen zwischen diesen Operatoren sind
[ x ich , P J ] = ich ℏ δ ich , J [ x ich , x J ] = 0 [ P ich , P J ] = 0
{\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}amp;=i\hbar \delta_{i,j}\\{[}x_{i},x_{j }{]}amp;=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}amp;=0\end{ausgerichtet}}} Der Hamilton-Operator für dieses System ist
h = Σ ich = 1 n ( P ich 2 2 m + 1 2 m ω 2 x ich 2 ) .
{\displaystyle H=\sum_{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i }^{2}\right).} Wie die Form dieses Hamilton-Operators deutlich macht, ist der N- dimensionale harmonische Oszillator genau analog zu N unabhängigen eindimensionalen harmonischen Oszillatoren mit gleicher Masse und Federkonstante. In diesem Fall würden sich die Größen x 1,..., x N auf die Positionen jedes der N Teilchen beziehen. Dies ist eine bequeme Eigenschaft des r 2 -Potentials, die es ermöglicht, die potentielle Energie in Abhängigkeit von jeweils einer Koordinate in Terme zu unterteilen.
Diese Beobachtung macht die Lösung einfach. Für einen bestimmten Satz von Quantenzahlen werden die Energieeigenfunktionen für den N- dimensionalen Oszillator durch die 1-dimensionalen Eigenfunktionen ausgedrückt als: { n } ≡ { n 1 , n 2 , … , n n }
{\displaystyle \{n\}\equiv\{n_{1},n_{2},\dots,n_{N}\}}
Ich x | ψ { n } Ich = Π ich = 1 n Ich x ich | ψ n ich Ich
{\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi_{\{n\}}\rangle =\prod_{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi_{n_{ ich}}\rangle} In der Ladder-Operator-Methode definieren wir N Sätze von Ladder-Operatoren,
ein ich = m ω 2 ℏ ( x ich + ich m ω P ich ) , ein ich Ich = m ω 2 ℏ ( x ich − ich m ω P ich ) .
{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}a_{i}amp;={\sqrt {m\omega \over 2\hbar}}\left(x_{i}+{i \over m\omega}p_{i}\ rechts),\\a_{i}^{\dagger}amp;={\sqrt {m\omega \über 2\hbar}}\left(x_{i}-{i \über m\omega}p_{i} \right).\end{ausgerichtet}}} Durch ein analoges Verfahren zum eindimensionalen Fall können wir dann zeigen, dass jeder der Operatoren a i und a † i die Energie um ℏω senkt bzw. erhöht. Der Hamilton-Operator ist
h = ℏ ω Σ ich = 1 n ( ein ich Ich ein ich + 1 2 ) .
{\displaystyle H=\hbar\omega\,\sum_{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger}\,a_{i}+{\frac {1}{2 }}\rechts).} Dieser Hamiltonoperator ist invariant unter der dynamischen Symmetriegruppe U ( N ) (der unitären Gruppe in N Dimensionen), definiert durch
U ein ich Ich U Ich = Σ J = 1 n ein J Ich U J ich für alle U ∈ U ( n ) ,
{\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger}\,U^{\dagger}=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger}\,U_{ji }\quad {\text{für alle}}\quad U\in U(N),} wobei ein Element in der definierenden Matrixdarstellung von U ( N ) ist. {\displaystyle U_{ji}}
Die Energieniveaus des Systems sind
E = ℏ ω [ ( n 1 + ⋯ + n n ) + n 2 ] .
{\displaystyle E=\hbar\omega \left[(n_{1}+\cdots+n_{N})+{N\over 2}\right].} n ich = 0 , 1 , 2 , … ( das Energieniveau in Dimension ich ) .
{\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots\quad ({\text{das Energieniveau in der Dimension}}i).} Wie im eindimensionalen Fall wird die Energie quantisiert. Die Grundzustandsenergie ist N mal die eindimensionale Grundenergie, wie wir es in Analogie zu N unabhängigen eindimensionalen Oszillatoren erwarten würden. Es gibt einen weiteren Unterschied: Im eindimensionalen Fall entspricht jedes Energieniveau einem einzigartigen Quantenzustand. In N- Dimensionen, außer im Grundzustand, sind die Energieniveaus entartet, d.h. es gibt mehrere Zustände mit gleicher Energie.
Die Entartung lässt sich relativ einfach berechnen. Betrachten Sie als Beispiel den dreidimensionalen Fall: Definiere n = n 1 + n 2 + n 3. Alle Zustände mit gleichem n haben die gleiche Energie. Für ein gegebenes n wählen wir ein bestimmtes n 1. Dann gilt n 2 + n 3 = n − n 1. Es gibt n − n 1 + 1 mögliche Paare { n 2, n 3 }. n 2 kann die Werte 0 bis n − n 1 annehmen, und für jedes n 2 ist der Wert von n 3 festgelegt. Der Entartungsgrad beträgt daher:
g n = Σ n 1 = 0 n n − n 1 + 1 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2
{\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2} }} Formel für allgemeines N und n [ g n ist die Dimension der symmetrischen irreduziblen n- ten Potenzdarstellung der unitären Gruppe U ( N ) ]:
{\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}} Der oben angegebene Spezialfall N = 3 folgt direkt aus dieser allgemeinen Gleichung. Dies gilt jedoch nur für unterscheidbare Teilchen oder ein Teilchen in N Dimensionen (da Dimensionen unterscheidbar sind). Für den Fall von N Bosonen in einer eindimensionalen harmonischen Falle skaliert die Entartung als die Anzahl der Möglichkeiten, eine ganze Zahl n unter Verwendung von ganzen Zahlen kleiner oder gleich N aufzuteilen.
{\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)} Dies ergibt sich aus der Einschränkung, N Quanten in einen Zustand k zu setzen, wobei und, die die gleichen Einschränkungen wie bei der ganzzahligen Partition sind. {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}kn_{k}=n} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}n_{k}=N}
Beispiel: 3D isotroper harmonischer Oszillator Mathematica- Quellcode, der zum Generieren der Diagramme verwendet wurde, befindet sich oben Die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem kugelsymmetrischen dreidimensionalen harmonischen Oszillator lässt sich explizit durch Variablentrennung lösen; siehe diesen Artikel für den vorliegenden Fall. Dieses Verfahren ist analog zur Trennung beim Wasserstoff-ähnlichen Atomproblem , jedoch mit einem anderen kugelsymmetrischen Potential
V ( R ) = 1 2 μ ω 2 R 2 ,
{\displaystyle V(r)={1\over2}\mu\omega^{2}r^{2},} wobei μ die Masse des Teilchens ist. Da m im Folgenden für die magnetische Quantenzahl verwendet wird, wird die Masse mit μ anstelle von m angegeben, wie zuvor in diesem Artikel.
Die Lösung lautet
ψ k l m ( R , θ , φ ) = n k l R l e − ν R 2 L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν R 2 ) Ja l m ( θ , φ )
{\displaystyle \psi_{klm}(r,\theta,\phi)=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{(l+{1.) \over 2})}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta,\phi)} wo
n k l = 2 ν 3 π 2 k + 2 l + 3 k ! ν l ( 2 k + 2 l + 1 ) ! !
{\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu^{3}}{\pi}}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k! \;\nu^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~} {\displaystyle \nu \equiv {\mu\omega \over 2\hbar}~} L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν R 2 )
{\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})} sind verallgemeinerte Laguerre-Polynome ; Die Ordnung k des Polynoms ist eine nicht negative ganze Zahl;
{\displaystyle Y_{lm}(\theta,\phi)\,} sphärische harmonische Funktion ist ; ħ ist die reduzierte Planck-Konstante : {\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi}}~.} Der Energieeigenwert ist
E = ℏ ω ( 2 k + l + 3 2 ) .
{\displaystyle E=\hbar\omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right)~.} Die Energie wird normalerweise durch die einzelne Quantenzahl beschrieben
{\displaystyle n\equiv 2k+l~.} Da k eine nicht-negative ganze Zahl ist, für jeden gerade n haben wir l = 0, 2,..., n - 2, n und für jeden ungerade n haben wir l = 1, 3,..., n - 2, n. Die magnetische Quantenzahl m ist eine ganze Zahl, die −ℓ ≤ m ≤ ℓ erfüllt, also gibt es für jedes n und ℓ 2 ℓ + 1 verschiedene Quantenzustände , die mit m bezeichnet sind. Somit ist die Entartung bei Stufe n ist
Σ l = … , n − 2 , n ( 2 l + 1 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 ,
{\displaystyle \sum _{l=\ldots,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}~,} wobei die Summe bei 0 oder 1 beginnt, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist. Dieses Ergebnis stimmt mit der obigen Dimensionsformel überein und entspricht der Dimensionalität einer symmetrischen Darstellung von SU (3), der relevanten Entartungsgruppe.
Anwendungen Gitter harmonischer Oszillatoren: Phononen Siehe auch: Kanonische Quantisierung Wir können den Begriff eines harmonischen Oszillators auf ein eindimensionales Gitter vieler Teilchen erweitern. Betrachten Sie eine eindimensionale quantenmechanische harmonische Kette von N identischen Atomen. Dies ist das einfachste quantenmechanische Modell eines Gitters, und wir werden sehen, wie daraus Phononen entstehen. Der Formalismus, den wir für dieses Modell entwickeln werden, lässt sich leicht auf zwei und drei Dimensionen verallgemeinern.
Wie im vorherigen Abschnitt bezeichnen wir die Positionen der Massen mit x 1,x 2,..., gemessen von ihren Gleichgewichtspositionen (dh x i = 0, wenn sich das Teilchen i in seiner Gleichgewichtsposition befindet). In zwei oder mehr Dimensionen sind die x i Vektorgrößen. Der Hamilton-Operator für dieses System ist
h = Σ ich = 1 n P ich 2 2 m + 1 2 m ω 2 Σ { ich J } ( n n ) ( x ich − x J ) 2 ,
{\displaystyle \mathbf{H} =\sum_{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}~,} wo m die (angenommene Uniform) Masse jedes Atom ist, und x i und p i die Position und Dynamik Operatoren für die i - te Atom und die Summe wird über die nächsten Nachbarn (nn) gemacht. Es ist jedoch üblich, den Hamilton-Operator in Bezug auf die Normalmoden des Wellenvektors und nicht in Bezug auf die Teilchenkoordinaten umzuschreiben, damit man im bequemeren Fourier-Raum arbeiten kann .
Wir führen dann eine Menge von N "normalen Koordinaten" Q k ein, die als die diskreten Fourier-Transformationen der x s definiert sind, und N "konjugierte Impulse" Π, definiert als die Fourier-Transformationen der p s,
Q k = 1 n Σ l e ich k ein l x l
{\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}} Π k = 1 n Σ l e − ich k ein l P l .
{\displaystyle \Pi_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}~.} Die Größe k n ist die Wellenzahl des Phonons, dh 2 π geteilt durch die Wellenlänge . Es nimmt quantisierte Werte an, da die Anzahl der Atome endlich ist.
Dadurch bleiben die gewünschten Kommutierungsrelationen entweder im Realraum oder im Wellenvektorraum erhalten
[ x l , P m ] = ich ℏ δ l , m [ Q k , Π k Ich ] = 1 n Σ l , m e ich k ein l e − ich k Ich ein m [ x l , P m ] = ich ℏ n Σ m e ich ein m ( k − k Ich ) = ich ℏ δ k , k Ich [ Q k , Q k Ich ] = [ Π k , Π k Ich ] = 0 .
{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\left[x_{l},p_{m}\right]amp;=i\hbar\delta_{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi_ {k'}\right]amp;={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\amp; ={i\hbar\over N}\sum_{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar\delta_{k,k'}\\\links[Q_{k},Q_ {k'}\right]amp;=\left[\Pi_{k},\Pi_{k'}\right]=0~.\end{aligned}}} Aus dem allgemeinen Ergebnis
Σ l x l x l + m = 1 n Σ k k Ich Q k Q k Ich Σ l e ich ein l ( k + k Ich ) e ich ein m k Ich = Σ k Q k Q − k e ich ein m k Σ l P l 2 = Σ k Π k Π − k ,
{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}amp;={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\ Summe _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\ Summe _{l}{p_{l}}^{2}amp;=\sum_{k}\Pi_{k}\Pi_{-k}~,\end{ausgerichtet}}} Durch elementare Trigonometrie lässt sich leicht zeigen, dass der potentielle Energieterm
1 2 m ω 2 Σ J ( x J − x J + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 Σ k Q k Q − k ( 2 − e ich k ein − e − ich k ein ) = 1 2 m Σ k ω k 2 Q k Q − k ,
{\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^ {2}\sum_{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum_{k}{\ Omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,} wo
ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos ( k ein ) ) .
{\displaystyle \omega_{k}={\sqrt {2\omega^{2}(1-\cos(ka))}}~.} Der Hamilton-Operator kann im Wellenvektorraum geschrieben werden als
h = 1 2 m Σ k ( Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) .
{\displaystyle \mathbf{H} ={1 \over {2m}}\sum_{k}\left({\Pi_{k}\Pi_{-k}}+m^{2}\omega_ {k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.} Beachten Sie, dass die Kopplungen zwischen den Positionsvariablen wegtransformiert wurden; wenn Q s und Π s hermitesch wären (was sie nicht sind), würde der transformierte Hamilton-Operator N ungekoppelte harmonische Oszillatoren beschreiben.
Die Form der Quantisierung hängt von der Wahl der Randbedingungen ab; der Einfachheit halber stellen wir periodische Randbedingungen, die das ( N + 1) -te Atom als äquivalent zum ersten Atom definieren. Physikalisch entspricht dies dem Verbinden der Kette an ihren Enden. Die resultierende Quantisierung ist
k = k n = 2 n π n ein n = 0 , ± 1 , ± 2 , … , ± n 2 .
{\displaystyle k=k_{n}={2n\pi\over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm {N \over 2 }.\ } Die obere Grenze für n kommt von der minimalen Wellenlänge, die das Doppelte des Gitterabstands a ist, wie oben diskutiert.
Die Eigenwerte oder Energieniveaus des harmonischen Oszillators für die Mode ω k sind
E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 , …
{\displaystyle E_{n}=\left({1\over 2}+n\right)\hbar\omega_{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots} Wenn wir die Nullpunktsenergie ignorieren, sind die Ebenen gleichmäßig bei
{\displaystyle \hbar\omega,\,2\hbar\omega,\,3\hbar\omega,\,\ldots} So eine exakte Menge an Energie ħω, muss die harmonischen Oszillator Gitter geliefert wird es auf das nächsten Energieniveau zu drücken. Analog zum Photonenfall , wenn das elektromagnetische Feld quantisiert wird, wird das Schwingungsenergiequant Phonon genannt .
Alle Quantensysteme zeigen wellen- und teilchenähnliche Eigenschaften. Die teilchenähnlichen Eigenschaften des Phonons werden am besten mit den später beschriebenen Methoden der zweiten Quantisierung und Operatortechniken verstanden.
Im Kontinuumslimit gilt a →0, N →∞, während Na fest gehalten wird. Die kanonischen Koordinaten Q k gehen auf die entkoppelten Impulsmoden eines Skalarfeldes über, während der Ortsindex i ( nicht die dynamische Verschiebungsvariable ) zum Parameter x- Argument des Skalarfeldes wird,. {\displaystyle \phi_{k}} {\displaystyle \phi(x,t)}
Molekulare Schwingungen Hauptartikel: Molekulare Schwingung Die Schwingungen eines zweiatomigen Moleküls sind ein Beispiel für eine Zweikörperversion des quantenmechanischen Oszillators. In diesem Fall ist die Kreisfrequenz gegeben durch {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu}}}} wo ist die reduzierte Masse und und sind die Massen der beiden Atome. {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} {\displaystyle m_{1}} {\displaystyle m_{2}} Das Hooke-Atom ist ein einfaches Modell des Heliumatoms , das den Quantenharmonischen Oszillator verwendet. Modellieren von Phononen, wie oben diskutiert. Eine Ladung mit Masse in einem gleichförmigen Magnetfeld ist ein Beispiel für einen eindimensionalen harmonischen Quantenoszillator: Landau-Quantisierung . {\displaystyle q} {\displaystyle m} {\displaystyle\mathbf{B}} Siehe auch Verweise Externe Links
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Einige Bahnen eines harmonischen Oszillators nach den Newtonschen Gesetzen der klassischen Mechanik (A–B) und nach der Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik (C–H). In A–B schwingt das Teilchen (dargestellt als eine an einer Feder befestigte Kugel ) hin und her. In C–H sind einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung gezeigt, wobei die horizontale Achse die Position und die vertikale Achse der Realteil (blau) oder Imaginärteil (rot) der Wellenfunktion ist. C, D, E, F, aber nicht G, H, sind Energieeigenzustände. H ist ein kohärenter Zustand – ein Quantenzustand, der sich der klassischen Flugbahn annähert. 
Wellenfunktionsdarstellungen für die ersten acht gebundenen Eigenzustände, n = 0 bis 7. Die horizontale Achse zeigt die Position x. 
Entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichten. 
Wahrscheinlichkeitsdichten | ψ n ( x ) | 2 für die gebundenen Eigenzustände, beginnend mit dem Grundzustand ( n = 0) unten und energetisch ansteigend nach oben. Die horizontale Achse zeigt die Position x und hellere Farben repräsentieren höhere Wahrscheinlichkeitsdichten.