Potenzielle Energie

Energie, die von einem Objekt aufgrund seiner Position relativ zu anderen Objekten gehalten wirdFür die Flash-Episode siehe Potenzielle Energie (The Flash).

Potenzielle Energie
Im Falle von Bogen und Pfeil wird, wenn der Bogenschütze am Bogen arbeitet und die Sehne zurückzieht, ein Teil der chemischen Energie des Körpers des Bogenschützen in elastische potentielle Energie im gebogenen Glied des Bogens umgewandelt. Wenn die Saite losgelassen wird, wirkt die Kraft zwischen der Saite und dem Pfeil auf den Pfeil. Die potentielle Energie in den Bogenschenkeln wird beim Flug in die kinetische Energie des Pfeils umgewandelt.
Gemeinsame Symbole	PE, U oder V
SI-Einheit	Joule (J)
Ableitungen von anderen Mengen	U = m ⋅ g ⋅ h ( Gravitation ) U=1 ⁄ 2 ⋅ k ⋅ x 2 ( elastisch ) U= 1 ⁄ 2 ⋅ C ⋅ V 2 ( elektrisch ) U= − m ⋅ B ( magnetisch ) U=$$∫F(r)dr {\textstyle \int F(r)\,dr}

Teil einer Serie über
Klassische Mechanik
$$F=ddt(ichv) {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})} Zweites Bewegungsgesetz
Geschichte Zeitleiste Lehrbücher
Geäst Angewendet Himmlisch Kontinuum Dynamik Kinematik Kinetik Statik Statistisch
Grundlagen Beschleunigung Drehimpuls Paar Das Prinzip von D'Alembert Energie kinetisch Potenzial Macht Bezugsrahmen Trägheitsbezugssystem Impuls Trägheit / Trägheitsmoment Masse Mechanische Kraft Mechanische Arbeit Moment Schwung Platz Geschwindigkeit Zeit Drehmoment Geschwindigkeit Virtuelle Arbeit
Formulierungen Newtons Bewegungsgesetze Analytische Mechanik Lagrangesche Mechanik Hamiltonsche Mechanik Routhsche Mechanik Hamilton-Jacobi-Gleichung Appells Bewegungsgleichung Koopman–von Neumann Mechanik
Kernthemen Dämpfungsverhältnis Verschiebung Bewegungsgleichungen Bewegungsgesetze von Eulerler Fiktive Kraft Reibung Harmonischer Oszillator Trägheits- / Nicht-Trägheitsbezugssystem Mechanik der planaren Teilchenbewegung Bewegung ( linear ) Newtons Gesetz der universellen Gravitation Newtons Bewegungsgesetze Relative Geschwindigkeit Starrer Körper Dynamik Eulersche Gleichungen Einfache harmonische Bewegung Vibration
Drehung Kreisbewegung Rotierender Referenzrahmen Zentripetalkraft Zentrifugalkraft reaktiv Corioliskraft Pendel Tangentialgeschwindigkeit Drehzahl Winkelbeschleunigung / Weg / Frequenz / Geschwindigkeit
Wissenschaftler Kepler Galilei Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Klaraut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Kategorien► Klassische Mechanik
v t e

In der Physik ist potentielle Energie die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Position relativ zu anderen Objekten, Spannungen in sich selbst, seiner elektrischen Ladung oder anderen Faktoren besitzt.

Zu den gebräuchlichen Arten potentieller Energie gehören die potentielle Gravitationsenergie eines Objekts, die von seiner Masse und seinem Abstand vom Massenmittelpunkt eines anderen Objekts abhängt, die elastische potentielle Energie einer ausgedehnten Feder und die elektrische potentielle Energie einer elektrischen Ladung in einem elektrisches Feld. Die Einheit für Energie im Internationalen Einheitensystem (SI) ist das Joule mit dem Symbol J.

Der Begriff potentielle Energie wurde von dem schottischen Ingenieur und Physiker William Rankine des 19. Jahrhunderts eingeführt, obwohl er Verbindungen zum Konzept der Potentialität des griechischen Philosophen Aristoteles hat. Potentielle Energie ist mit Kräften verbunden, die auf einen Körper so wirken, dass die Gesamtarbeit dieser Kräfte auf den Körper nur von der Anfangs- und Endposition des Körpers im Raum abhängt. Diese Kräfte, die als konservative Kräfte bezeichnet werden, können an jedem Punkt im Raum durch Vektoren dargestellt werden, die als Gradienten einer bestimmten Skalarfunktion namens Potential ausgedrückt werden.

Da die Arbeit potentieller Kräfte auf einen Körper, der sich von einer Start- in eine Endposition bewegt, nur durch diese beiden Positionen bestimmt wird und nicht von der Flugbahn des Körpers abhängt, gibt es eine Funktion namens Potential, die ausgewertet werden kann bei die beiden Positionen, um diese Arbeit zu bestimmen.

Inhalt

• 1 Übersicht
• 2 Arbeit und potentielle Energie
  • 2.1 Ableitbar aus einem Potential
  • 2.2 Berechnung der potentiellen Energie
• 3 Potenzielle Energie für erdnahe Schwerkraft
• 4 Potentielle Energie für eine lineare Feder
• 5 Potentielle Energie für Gravitationskräfte zwischen zwei Körpern
  • 5.1 Herleitung
• 6 Potentielle Energie für elektrostatische Kräfte zwischen zwei Körpern
• 7 Referenzpegel
• 8 Potentielle Gravitationsenergie
  • 8.1 Lokale Näherung
  • 8.2 Allgemeine Formel
  • 8.3 Negative Gravitationsenergie
  • 8.4 Verwendungen
• 9 Chemische potentielle Energie
• 10 Elektrische potentielle Energie
  • 10.1 Elektrostatische potentielle Energie
  • 10.2 Magnetische potentielle Energie
• 11 Potentielle Kernenergie
• 12 Kräfte und potentielle Energie
• 13 Hinweise
• 14 Referenzen
• 15 Externe Links

Überblick

Es gibt verschiedene Arten von potentieller Energie, die jeweils mit einer bestimmten Art von Kraft verbunden sind. Beispielsweise wird die Arbeit einer elastischen Kraft als elastische potentielle Energie bezeichnet; Die Arbeit der Gravitationskraft wird als potentielle Gravitationsenergie bezeichnet; Die Arbeit der Coulomb-Kraft wird elektrische potentielle Energie genannt ; Die Arbeit der starken Kernkraft oder der schwachen Kernkraft, die auf die Baryonenladung wirkt , wird als potentielle Kernenergie bezeichnet; Die Arbeit intermolekularer Kräfte wird als intermolekulare potentielle Energie bezeichnet. Chemische potentielle Energie, wie die in fossilen Brennstoffen gespeicherte Energie, ist die Arbeit der Coulomb-Kraft während der Neuordnung von Elektronen- und Kernkonfigurationen in Atomen und Molekülen. Thermische Energie hat normalerweise zwei Komponenten: die kinetische Energie der zufälligen Bewegungen von Teilchen und die potentielle Energie ihrer Konfiguration.

Aus einem Potential ableitbare Kräfte werden auch konservative Kräfte genannt. Die von einer konservativen Kraft geleistete Arbeit ist

$$$$W=−ΔU {\displaystyle W=-\Delta U}wo ist die Änderung der potentiellen Energie, die mit der Kraft verbunden ist. Das negative Vorzeichen liefert die Konvention, dass die gegen ein Kraftfeld geleistete Arbeit die potentielle Energie erhöht, während die vom Kraftfeld geleistete Arbeit die potentielle Energie verringert. Übliche Bezeichnungen für potentielle Energie sind PE, U, V und E p.$$ΔU {\displaystyle \Delta U}

Potentielle Energie ist die Energie aufgrund der Position eines Objekts relativ zu anderen Objekten. Potentielle Energie wird oft mit der Wiederherstellung zugeordnete Kräfte wie beispielsweise einer Feder oder der Kraft der Schwerkraft. Das Spannen einer Feder oder das Anheben einer Masse erfolgt durch eine äußere Kraft, die dem Kraftfeld des Potentials entgegenwirkt. Diese Arbeit wird im Kraftfeld gespeichert, das als potentielle Energie gespeichert wird. Wenn die äußere Kraft wegfällt, wirkt das Kraftfeld auf den Körper, um die Arbeit zu verrichten, während es den Körper in die Ausgangsposition zurückbewegt, die Dehnung der Feder verringert oder einen Körper zum Fallen bringt.

Betrachten Sie eine Kugel mit der Masse m und der Höhe h. Die Beschleunigung g des freien Falls ist annähernd konstant, daher ist die Gewichtskraft der Kugel mg konstant. Das Produkt aus Kraft und Weg ergibt die geleistete Arbeit, die gleich der potentiellen Gravitationsenergie ist, also

$$$$UG=ichGha {\displaystyle U_{g}=mgh}

Die formalere Definition ist, dass die potentielle Energie die Energiedifferenz zwischen der Energie eines Objekts an einer bestimmten Position und seiner Energie an einer Referenzposition ist.

Arbeit und potentielle Energie

Potentielle Energie ist eng mit Kräften verbunden. Wenn die Arbeit einer Kraft auf einen Körper, der sich von A nach B bewegt, nicht vom Weg zwischen diesen Punkten abhängt (wenn die Arbeit von einer konservativen Kraft geleistet wird), dann weist die Arbeit dieser Kraft, gemessen von A, einen skalaren Wert zu zu jedem anderen Punkt im Raum und definiert ein skalares Potentialfeld. In diesem Fall kann die Kraft als das Negative des Vektorgradienten des Potentialfeldes definiert werden.

Ist die Arbeit für eine aufgebrachte Kraft wegunabhängig, wird die von der Kraft geleistete Arbeit am Anfang und am Ende der Trajektorie des Angriffspunktes ausgewertet. Dies bedeutet, dass es eine Funktion U ( x) gibt, die als "Potential" bezeichnet wird und an den beiden Punkten x A und x B ausgewertet werden kann, um die Arbeit über eine beliebige Trajektorie zwischen diesen beiden Punkten zu erhalten. Es ist Tradition, diese Funktion mit einem negativen Vorzeichen zu definieren, so dass positive Arbeit eine Reduzierung des Potenzials ist, d

$$$$W=∫CF⋅dx=U(xEIN)−U(xB) {\displaystyle W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf{x}_{A})-U(\mathbf{x}_{B}) }wobei C die Trajektorie von A nach B ist. Da die geleistete Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg ist, gilt dieser Ausdruck für jede Trajektorie C von A nach B.

Die Funktion U ( x) wird die mit der ausgeübten Kraft verbundene potentielle Energie genannt. Beispiele für Kräfte, die potentielle Energien haben, sind Gravitations- und Federkräfte.

Ableitbar aus einem Potenzial

In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen Arbeit und potentieller Energie genauer dargestellt. Das Linienintegral, das die Arbeit entlang der Kurve C definiert, nimmt eine besondere Form an, wenn die Kraft F auf ein Skalarfeld Φ( x) bezogen ist, so dass

$$$$F=∇Φ=(∂Φ∂x,∂Φ∂ja,∂Φ∂z). {\displaystyle\mathbf{F}={\nabla\Phi}=\left({\frac {\partial\Phi}{\partial x}},{\frac {\partial\Phi}{\partial y}},{\frac{\partial\Phi}{\partial z}}\right).}In diesem Fall ist die Arbeit entlang der Kurve gegeben durch$$$$W=∫CF⋅dx=∫C∇Φ⋅dx, {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{C}\nabla \Phi\cdot d\mathbf {x},}die mit dem Gradientensatz ausgewertet werden kann, um$$$$W=Φ(xB)−Φ(xEIN). {\displaystyle W=\Phi(\mathbf{x}_{B})-\Phi(\mathbf{x}_{A}).}Dies zeigt, dass, wenn Kräfte aus einem Skalarfeld ableitbar sind, die Arbeit dieser Kräfte entlang einer Kurve C berechnet wird, indem das Skalarfeld am Startpunkt A und am Endpunkt B der Kurve ausgewertet wird. Das bedeutet, dass das Arbeitsintegral nicht vom Weg zwischen A und B abhängt und unabhängig vom Weg ist.

Die potentielle Energie U = −Φ( x) wird traditionell als das Negative dieses Skalarfeldes definiert, so dass die Arbeit durch das Kraftfeld die potentielle Energie verringert,d.h

$$$$W=U(xEIN)−U(xB). {\displaystyle W=U(\mathbf{x}_{A})-U(\mathbf{x}_{B}).}

In diesem Fall liefert die Anwendung des del-Operators auf die Austrittsarbeit

$$$$∇W=−∇U=−(∂U∂x,∂U∂ja,∂U∂z)=F, {\displaystyle {\nabla W}=-{\nabla U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}}, {\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf{F},}und die Kraft F heißt "aus einem Potential ableitbar". Dies impliziert auch notwendigerweise, dass F ein konservatives Vektorfeld sein muss. Das Potential U definiert an jedem Punkt x im Raum eine Kraft F, daher wird die Menge der Kräfte als Kraftfeld bezeichnet.

Berechnung der potentiellen Energie

Bei einem gegebenen Kraftfeld F ( x) kann die Auswertung des Arbeitsintegrals unter Verwendung des Gradientensatzes verwendet werden, um die der potentiellen Energie zugeordnete Skalarfunktion zu finden. Dies wird durch die Einführung eines parametrisierten Kurve erfolgt γ ( t) = r ( t) von γ ( a) = A bis γ ( b) = B, und das Berechnen,

$$$$∫γ∇Φ(r)⋅dr=∫einb∇Φ(r(t))⋅r'(t)dt,=∫einbddtΦ(r(t))dt=Φ(r(b))−Φ(r(ein))=Φ(xB)−Φ(xEIN). {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int_{\gamma}\nabla\Phi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r} amp;=\int_{a}^{b}\nabla\ Phi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt,\\amp;=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\Phi (\mathbf {r} (t))dt=\Phi (\mathbf {r} (b))-\Phi (\mathbf {r} (a))=\Phi\left(\mathbf {x} _{ B}\right)-\Phi\left(\mathbf{x}_{A}\right).\end{ausgerichtet}}}

Für das Kraftfeld F sei v = d r / dt, dann liefertder Gradientensatz

$$$$∫γF⋅dr=∫einbF⋅vdt,=−∫einbddtU(r(t))dt=U(xEIN)−U(xB). {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\int _{\gamma}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} amp;=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt,\\amp;=-\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}U(\mathbf {r} (t))\,dt=U(\ mathbf{x}_{A})-U(\mathbf{x}_{B}).\end{ausgerichtet}}}

Die von einem Kraftfeld auf einen Körper ausgeübte Leistung ergibt sich aus der Steigung der Arbeit oder des Potentials in Richtung der Geschwindigkeit v des Angriffspunktes, d.h

$$$$P(t)=−∇U⋅v=F⋅v. {\displaystyle P(t)=-{\nabla U}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}.}

Beispiele für Arbeit, die aus Potentialfunktionen berechnet werden kann, sind Gravitations- und Federkräfte.

Potentielle Energie für erdnahe Schwerkraft

Ein Trebuchet nutzt die potentielle Gravitationsenergie des Gegengewichts, um Projektile über 200 Meter weit zu werfen

Für kleine Höhenänderungen kann die potentielle Gravitationsenergie berechnet werden mit

$$$$UG=ichGha, {\displaystyle U_{g}=mgh,}

Dabei ist m die Masse in kg, g das lokale Gravitationsfeld (9,8 Meter pro Sekunde zum Quadrat auf der Erde), h die Höhe über einem Referenzniveau in Metern und U die Energie in Joule.

In der klassischen Physik übt die Schwerkraft eine konstante nach unten gerichtete Kraft F = (0, 0, F z) auf den Massenschwerpunkt eines sich nahe der Erdoberfläche bewegenden Körpers aus. Die Schwerkraftarbeit an einem Körper, der sich entlang einer Bahn r ( t) = ( x ( t), y ( t), z ( t)) bewegt, wie zum Beispiel die Bahn einer Achterbahn, wird anhand seiner Geschwindigkeit v = ( v x, v y, v z), um zu erhalten

$$$$W=∫t1t2F⋅vdt=∫t1t2Fzvzdt=FzΔz. {\displaystyle W=\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,dt=\int_{t_{1}} ^{t_{2}}F_{z}v_{z}\,dt=F_{z}\Delta z.}wobei das Integral der vertikalen Geschwindigkeitskomponente der vertikale Abstand ist. Die Schwerkraftarbeit hängt nur von der vertikalen Bewegung der Kurve r ( t) ab.

Potentielle Energie für eine lineare Feder

Hauptartikel: Elastische potentielle Energie Federn dienen zur Speicherung elastischer potentieller Energie Bogenschießen ist eine der ältesten Anwendungen der Menschheit für elastische potentielle Energie

Eine horizontale Feder übt eine Kraft F = (− kx, 0, 0) aus, die proportional zu ihrer Verformung in axialer oder x- Richtung ist. Die Arbeit dieser Feder an einem Körper, der sich entlang der Raumkurve s ( t) = ( x ( t), y ( t), z ( t)) bewegt, berechnet sich aus seiner Geschwindigkeit v = ( v x, v y, v z), um zu erhalten

$$$$W=∫0tF⋅vdt=−∫0tkxvxdt=−∫0tkxdxdtdt=∫x(t0)x(t)kxdx=12kx2 {\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}\,dt= -\int _{0}^{t}kx{\frac {dx}{dt}}dt=\int _{x(t_{0})}^{x(t)}kx\,dx={\ frak {1}{2}}kx^{2}}Der Einfachheit halber betrachten Kontakt mit der Feder an auftritt t = 0, dann das Integral des Produkts aus dem Abstand x und der x -velocity, xv x ist x ² /2 ist.

Die Funktion

$$$$U(x)=12kx2, {\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}heißt die potentielle Energie einer linearen Feder.

Die elastische potentielle Energie ist die potentielle Energie eines elastischen Objekts (zum Beispiel eines Bogens oder eines Katapults), das unter Zug oder Druck verformt (oder in der formalen Terminologie belastet ) wird. Sie entsteht als Folge einer Kraft, die versucht, dem Objekt seine ursprüngliche Form wiederherzustellen, bei der es sich meistens um die elektromagnetische Kraft zwischen den Atomen und Molekülen handelt, aus denen das Objekt besteht. Wird die Dehnung gelöst, wird die Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Potentielle Energie für Gravitationskräfte zwischen zwei Körpern

Die Gravitationspotentialfunktion, auch als Gravitationspotentialenergie bekannt, lautet:

$$$$U=−GMichr, {\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}

Das negative Vorzeichen folgt der Konvention, dass aus einem Verlust potentieller Energie Arbeit gewonnen wird.

Ableitung

Die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Masse M und m im Abstand r ist durch das Newtonsche Gesetz gegeben New

$$$$F=−GMichr2r^, {\displaystyle \mathbf{F} =-{\frac{GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat{r}},}wo ist ein Vektor der Länge 1 Zeige von M bis m und G ist die Gravitationskonstante. $$r^ {\displaystyle\mathbf{\hat{r}}}

Bewege sich die Masse m mit der Geschwindigkeit v, dann ist die Schwerkraftarbeit auf diese Masse bei ihrer Bewegung von der Position r ( t 1) nachr ( t 2) gegeben durch

$$$$W=−∫r(t1)r(t2)GMichr3r⋅dr=−∫t1t2GMichr3r⋅vdt. {\displaystyle W=-\int_{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}} \mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}Ort und Geschwindigkeit der Masse m sind gegeben durch$$$$r=rer,v=r˙er+rθ˙et, {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot { \theta}}\mathbf{e}_{t},}wobei e r und e t die radialen und tangentialen Einheitsvektoren sind, die relativ zum Vektor von M nach m gerichtet sind. Verwenden Sie dies, um die Formel für die Schwerkraftarbeit zu vereinfachen,$$$$W=−∫t1t2GichMr3(rer)⋅(r˙er+rθ˙et)dt=−∫t1t2GichMr3rr˙dt=GMichr(t2)−GMichr(t1). {\displaystyle W=-\int_{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e}_{r})\cdot ({\dot{r}}\mathbf{e}_{r}+r{\dot{\theta}}\mathbf{e}_{t})\,dt=-\int_{t_{1} }^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{ \frac {GMm}{r(t_{1})}}.}

Diese Berechnung nutzt die Tatsache, dass

$$$$ddtr−1=−r−2r˙=−r˙r2. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{ 2}}}.}

Potentielle Energie für elektrostatische Kräfte zwischen zwei Körpern

Die elektrostatische Kraft, die eine Ladung Q auf eine andere Ladung q im Abstand r ausübt, ist durch das Coulombsche Gesetz gegeben

$$$$F=14πε0Qqr2r^, {\displaystyle\mathbf{F}={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Qq}{r^{2}}}\mathbf{\hat{r}},}

wobei ein Vektor der Länge 1 von Q nach q zeigt und ε 0 die Vakuumpermittivität ist. Dies kann auch unter Verwendung der Coulomb-Konstante k e = 1 4 πε 0 geschrieben werden.$$

r^ {\displaystyle\mathbf{\hat{r}}}

Die Arbeit W, die erforderlich ist, um q von A zu einem beliebigen Punkt B im elektrostatischen Kraftfeld zu bewegen, wird durch die Potentialfunktion

$$$$U(r)=14πε0Qqr. {\displaystyle U(r)={\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{Qq}{r}}.}

Referenzniveau

Die potentielle Energie ist eine Funktion des Zustands, in dem sich ein System befindet, und wird relativ zu dem für einen bestimmten Zustand definiert. Dieser Referenzzustand ist nicht immer ein realer Zustand; es kann auch eine Grenze sein, wie bei den Abständen zwischen allen Körpern, die gegen Unendlich streben, vorausgesetzt, dass die Energie, die zur Annäherung an diese Grenze benötigt wird, endlich ist, wie im Fall von Kräften mit umgekehrtem Quadratgesetz. Jeder beliebige Referenzzustand könnte verwendet werden; daher kann es nach Bequemlichkeit gewählt werden.

Normalerweise hängt die potentielle Energie eines Systems nur von den relativen Positionen seiner Komponenten ab, sodass der Referenzzustand auch in Bezug auf relative Positionen ausgedrückt werden kann.

Gravitationspotentiale Energie

Hauptartikel: Gravitationspotential, Gravitationsenergie und Gravitationsfeld

Gravitationsenergie ist die potentielle Energie, die mit der Gravitationskraft verbunden ist, da Arbeit erforderlich ist, um Objekte gegen die Schwerkraft der Erde anzuheben. Die potentielle Energie aufgrund erhöhter Positionen wird als potentielle Gravitationsenergie bezeichnet und wird durch Wasser in einem erhöhten Reservoir oder hinter einem Damm nachgewiesen. Wenn ein Objekt innerhalb eines Gravitationsfeldes von einem Punkt auf einen anderen fällt, wird die Gravitationskraft positive Arbeit auf das Objekt leisten und die potentielle Gravitationsenergie nimmt um den gleichen Betrag ab.

Die Gravitationskraft hält die Planeten in der Umlaufbahn um die Sonne

Stellen Sie sich ein Buch vor, das auf einen Tisch gelegt wird. Wenn das Buch vom Boden auf den Tisch gehoben wird, wirkt eine äußere Kraft gegen die Gravitationskraft. Fällt das Buch zurück auf den Boden, wird die "fallende" Energie, die das Buch erhält, durch die Gravitationskraft bereitgestellt. Wenn also das Buch vom Tisch fällt, beschleunigt diese potentielle Energie die Masse des Buches und wird in kinetische Energie umgewandelt. Wenn das Buch auf den Boden aufschlägt, wird diese kinetische Energie durch den Aufprall in Wärme, Verformung und Schall umgewandelt.

Die Faktoren, die die potentielle Gravitationsenergie eines Objekts beeinflussen, sind seine Höhe relativ zu einem Referenzpunkt, seine Masse und die Stärke des Gravitationsfeldes, in dem es sich befindet. Somit hat ein auf einem Tisch liegendes Buch weniger potentielle Gravitationsenergie als das gleiche Buch über auf einem höheren Schrank und weniger potentieller Gravitationsenergie als ein schwereres Buch, das auf demselben Tisch liegt. Ein Objekt in einer bestimmten Höhe über der Mondoberfläche hat weniger potentielle Gravitationsenergie als in der gleichen Höhe über der Erdoberfläche, weil die Gravitation des Mondes schwächer ist. "Höhe" im üblichen Sinne des Begriffs kann nicht für Berechnungen der gravitativen potentiellen Energie verwendet werden, wenn die Schwerkraft nicht als Konstante angenommen wird. In den folgenden Abschnitten finden Sie weitere Details.

Lokale Näherung

Die Stärke eines Gravitationsfeldes variiert mit dem Standort. Wenn die Abstandsänderung jedoch im Verhältnis zu den Abständen vom Zentrum der Quelle des Gravitationsfeldes klein ist, ist diese Variation der Feldstärke vernachlässigbar und wir können davon ausgehen, dass die Schwerkraft auf ein bestimmtes Objekt konstant ist. In der Nähe der Erdoberfläche gehen wir beispielsweise von einer konstanten Erdbeschleunigung von g = 9,8 m/s ² (" Standardgravitation ") aus. In diesem Fall kann ein einfacher Ausdruck für die potentielle Gravitationsenergie abgeleitet werden, indem die Gleichung W = Fd für Arbeit und die Gleichung

$$$$WF=−ΔUF. {\displaystyle W_{F}=-\Delta U_{F}.}

Die Menge an potentieller Gravitationsenergie, die von einem erhöhten Objekt gehalten wird, ist gleich der Arbeit, die gegen die Schwerkraft beim Anheben geleistet wird. Die geleistete Arbeit entspricht der Kraft, die erforderlich ist, um ihn nach oben zu bewegen, multipliziert mit der vertikalen Entfernung, die er bewegt wird (denken Sie an W = Fd). Die bei der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit erforderliche Aufwärtskraft ist gleich dem Gewicht mg eines Objekts, so dass die beim Heben über eine Höhe h verrichtete Arbeit das Produkt mgh ist. Wenn also nur Masse, Gravitation und Höhe berücksichtigt werden, lautet die Gleichung:

$$$$U=ichGha {\displaystyle U=mgh}Dabei ist U die potentielle Energie des Objekts relativ zu seiner Lage auf der Erdoberfläche, m ist die Masse des Objekts, g ist die Erdbeschleunigung und h ist die Höhe des Objekts. Wenn m in ausgedrückt wird kg, g in m / s ² und h in Metern dann U wird berechnet Joules.

Daher ist die Potentialdifferenz

$$$$ΔU=ichGΔha. {\displaystyle \Updelta U=mg\Updelta h.}

Allgemeine Formel

Bei großen Entfernungsschwankungen ist die Näherung, dass g konstant ist, jedoch nicht mehr gültig, und wir müssen die Infinitesimalrechnung und die allgemeine mathematische Definition von Arbeit verwenden, um die potentielle Gravitationsenergie zu bestimmen. Für die Berechnung der potentiellen Energie, können wir integrieren die Gravitationskraft, deren Größe ist gegeben durch Newtons Gravitationsgesetz, in Bezug auf den Abstand r zwischen den beiden Körpern. Unter Verwendung dieser Definition ist die potentielle Energie eines Systems von Massen m 1 und M 2 in einem Abstand r unter Verwendung von Gravitationskonstante G ist

$$$$U=−Gich1M2r+K, {\displaystyle U=-G{\frac {m_{1}M_{2}}{r}}+K,}

wobei K eine willkürliche Konstante ist, die von der Wahl des Bezugspunkts abhängt, von dem das Potential gemessen wird. Die Wahl der Konvention, dass K = 0 (dh in Bezug auf einen Punkt im Unendlichen) zu wählen, macht die Berechnungen einfacher, wenn auch auf Kosten von U negativ; warum dies physikalisch sinnvoll ist, siehe unten.

Aus dieser Formel für U ergibt sich die potentielle Gesamtenergie eines Systems von n Körpern, indem für alle Paare von zwei Körpern die potentielle Energie des Systems dieser beiden Körper summiert wird.$$

nein(nein−1)2 {\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}

Gravitationspotentialsummierung $$U=−ich(GM1r1+GM2r2) {\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)}

Betrachtet man das Körpersystem als die kombinierte Menge kleiner Teilchen, aus denen die Körper bestehen, und wenden wir das Vorherige auf die Teilchenebene an, erhalten wir die negative Gravitationsbindungsenergie. Diese potentielle Energie ist stärker negativ als die gesamte potentielle Energie des Körpersystems als solches, da sie auch die negative gravitative Bindungsenergie jedes Körpers einschließt. Die potentielle Energie des Körpersystems als solches ist das Negative der Energie, die benötigt wird, um die Körper bis ins Unendliche voneinander zu trennen, während die gravitative Bindungsenergie die Energie ist, die benötigt wird, um alle Teilchen bis ins Unendliche voneinander zu trennen.

$$$$U=−ich(GM1r1+GM2r2) {\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)}deshalb,$$$$U=−ichΣGMr, {\displaystyle U=-m\sum G{\frac {M}{r}},}

Negative Gravitationsenergie

Wie bei allen potentiellen Energien sind für die meisten physikalischen Zwecke nur Unterschiede in der potentiellen Gravitationsenergie wichtig, und die Wahl des Nullpunkts ist willkürlich. Da es kein vernünftiges Kriterium gibt, um ein bestimmtes endliches r einem anderen vorzuziehen, scheint es nur zwei vernünftige Möglichkeiten für den Abstand zu geben, bei dem U Null wird: und. Die Wahl von bei Unendlich mag seltsam erscheinen, und die Konsequenz, dass die Gravitationsenergie immer negativ ist, mag kontraintuitiv erscheinen, aber diese Wahl ermöglicht es, dass die Werte der potentiellen Gravitationsenergie endlich, wenn auch negativ, sind.$$

r=0 {\displaystyle r=0}$$r=∞ {\displaystyle r=\infty}$$U=0 {\displaystyle U=0}

Die Singularität at in der Formel für die potentielle Gravitationsenergie bedeutet, dass die einzige andere scheinbar vernünftige alternative Wahl der Konvention mit for dazu führen würde, dass die potentielle Energie positiv, aber unendlich groß für alle von Null verschiedenen Werte von r ist und Berechnungen mit Summen oder Differenzen potentieller Energien über das hinaus, was mit dem reellen Zahlensystem möglich ist. Da Physiker Unendlichkeiten in ihren Berechnungen verabscheuen und r in der Praxis immer ungleich Null ist, ist die Wahl von bei Unendlich bei weitem die bevorzugtere Wahl, auch wenn die Vorstellung von negativer Energie in einem Gravitationsbrunnen zunächst eigenartig erscheint.$$

r=0 {\displaystyle r=0}$$U=0 {\displaystyle U=0}$$r=0 {\displaystyle r=0} $$U=0 {\displaystyle U=0}

Der negative Wert für die Gravitationsenergie hat auch tiefere Auswirkungen, die ihn in kosmologischen Berechnungen sinnvoller erscheinen lassen, wo die Gesamtenergie des Universums sinnvoll berücksichtigt werden kann; Siehe Inflationstheorie für mehr dazu.

Verwendet

Weitere Informationen: Gravitationspotential-Energiespeicher

Die potentielle Gravitationsenergie hat eine Reihe praktischer Anwendungen, insbesondere die Erzeugung von Pumpspeicherkraftwerken. In Dinorwig, Wales, gibt es beispielsweise zwei Seen, einer höher als der andere. In Zeiten, in denen kein überschüssiger Strom benötigt wird (und damit vergleichsweise günstig ist), wird Wasser in den höher gelegenen See gepumpt und so die elektrische Energie (Betreiben der Pumpe) in potentielle Gravitationsenergie umgewandelt. Zu Spitzenzeiten des Strombedarfs fließt das Wasser durch elektrische Generatorturbinen zurück und wandelt die potentielle Energie in kinetische Energie und dann wieder in Strom um. Der Prozess ist nicht vollständig effizient und ein Teil der ursprünglichen Energie aus dem überschüssigen Strom geht durch Reibung verloren.

Die potentielle Gravitationsenergie wird auch verwendet, um Uhren anzutreiben, bei denen fallende Gewichte den Mechanismus betätigen.

Es wird auch von Gegengewichten zum Anheben eines Aufzugs, Krans oder Schiebefensters verwendet.

Achterbahnen sind eine unterhaltsame Art, potenzielle Energie zu nutzen – Ketten werden verwendet, um ein Auto eine Steigung hinaufzubewegen (wobei potenzielle Gravitationsenergie aufgebaut wird), um diese Energie dann beim Fallen in kinetische Energie umzuwandeln.

Eine andere praktische Anwendung besteht darin, potentielle Gravitationsenergie zu nutzen, um in Transportmitteln, wie beispielsweise beim Herunterfahren eines Autos, Lastwagens, Eisenbahnzugs, Fahrrads, Flugzeugs oder einer Flüssigkeit in einer Pipeline, bergab (vielleicht küstenwärts) abzusteigen. In einigen Fällen kann die kinetische Energie, die aus der potentiellen Energie des Abstiegs gewonnen wird, verwendet werden, um die nächste Steigung aufzusteigen, wie beispielsweise bei hügeligen Straßen mit häufigem Gefälle. Die Kommerzialisierung von gespeicherter Energie (in Form von Eisenbahnwaggons, die in höhere Lagen gehoben werden), die dann bei Bedarf von einem Stromnetz in elektrische Energie umgewandelt wird, wird in den Vereinigten Staaten in einem System namens Advanced Rail Energy Storage (ARES) durchgeführt.

Chemische potentielle Energie

Hauptartikel: Chemische Energie

Chemische potentielle Energie ist eine Form der potentiellen Energie, die sich auf die strukturelle Anordnung von Atomen oder Molekülen bezieht. Diese Anordnung kann das Ergebnis chemischer Bindungen innerhalb eines Moleküls oder auf andere Weise sein. Chemische Energie eines chemischen Stoffes kann durch eine chemische Reaktion in andere Energieformen umgewandelt werden. Beispielsweise wird bei der Verbrennung eines Brennstoffs die chemische Energie in Wärme umgewandelt, ebenso wie bei der Verdauung von Nahrung, die in einem biologischen Organismus verstoffwechselt wird. Grüne Pflanzen wandeln Sonnenenergie durch den als Photosynthese bekannten Prozess in chemische Energie um, und elektrische Energie kann durch elektrochemische Reaktionen in chemische Energie umgewandelt werden.

Der ähnliche Begriff chemisches Potenzial wird verwendet, um das Potenzial eines Stoffes zur Änderung der Konfiguration anzuzeigen, sei es in Form einer chemischen Reaktion, eines räumlichen Transports, eines Partikelaustauschs mit einem Reservoir usw.

Elektrische potentielle Energie

Hauptartikel: Elektrische potentielle Energie

Ein Objekt kann aufgrund seiner elektrischen Ladung und mehrerer Kräfte, die mit seiner Anwesenheit zusammenhängen, potentielle Energie haben. Es gibt zwei Haupttypen dieser Art von potentieller Energie: elektrostatische potentielle Energie, elektrodynamische potentielle Energie (manchmal auch magnetische potentielle Energie genannt).

Plasma in einer gasgefüllten Kugel gebildet

Elektrostatische potentielle Energie

Die elektrostatische potentielle Energie zwischen zwei Körpern im Raum ergibt sich aus der Kraft, die eine Ladung Q auf eine andere Ladung q ausübt, die gegeben ist durch

$$$$Fe=−14πε0Qqr2r^, {\displaystyle \mathbf {F} _{e}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\ Hut {r}},}wobei ein Vektor der Länge 1 von Q nach q zeigt und ε 0 die Vakuumpermittivität ist. Dies kann auch unter Verwendung der Coulomb-Konstanten k e = 1 4 πε 0 geschrieben werden.$$r^ {\displaystyle\mathbf{\hat{r}}}

Wenn die elektrische Ladung eines Objekts als ruhend angenommen werden kann, dann hat es aufgrund seiner Position relativ zu anderen geladenen Objekten potentielle Energie. Die elektrostatische potentielle Energie ist die Energie eines elektrisch geladenen Teilchens (im Ruhezustand) in einem elektrischen Feld. Es ist definiert als die Arbeit, die geleistet werden muss, um es aus einer unendlichen Entfernung zu seinem aktuellen Standort zu bewegen, angepasst an nichtelektrische Kräfte auf das Objekt. Diese Energie wird im Allgemeinen von Null verschieden sein, wenn sich ein anderes elektrisch geladenes Objekt in der Nähe befindet.

Die Arbeit W, die erforderlich ist, um q von A zu einem beliebigen Punkt B im elektrostatischen Kraftfeld zu bewegen, ist gegeben durch

$$$$ΔUEINB(r)=−∫EINBFe⋅dr {\displaystyle \Updelta U_{AB}({\mathbf {r}})=-\int_{A}^{B}\mathbf {F_{e}} \cdot d\mathbf {r}}typischerweise in J für Joule angegeben. Eine verwandte Größe, die als elektrisches Potenzial bezeichnet wird (üblicherweise mit einem V für Spannung bezeichnet) ist gleich der elektrischen potentiellen Energie pro Ladungseinheit.

Magnetische potentielle Energie

Die Energie eines magnetischen Moments in einem extern erzeugten magnetischen B-Feld B hat potentielle Energie$$

μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}}

$$$$U=−μ⋅B. {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu}}\cdot\mathbf{B}.}

Die Magnetisierung M in einem Feld ist

$$$$U=−12∫M⋅BdV, {\displaystyle U=-{\frac {1}{2}}\int \mathbf {M} \cdot \mathbf {B} \,dV,}wobei das Integral über den gesamten Raum sein kann oder äquivalent, wobei M ungleich Null ist. Magnetische potentielle Energie ist die Energieform, die sich nicht nur auf den Abstand zwischen magnetischen Materialien bezieht, sondern auch auf die Orientierung oder Ausrichtung dieser Materialien innerhalb des Feldes. Zum Beispiel hat die Nadel eines Kompasses die niedrigste magnetische potentielle Energie, wenn sie auf den Nord- und Südpol des Erdmagnetfeldes ausgerichtet ist. Wenn die Nadel durch eine äußere Kraft bewegt wird, wird durch das Erdmagnetfeld ein Drehmoment auf den magnetischen Dipol der Nadel ausgeübt, wodurch dieser sich wieder in die Ausrichtung bewegt. Die magnetische potentielle Energie der Nadel ist am höchsten, wenn ihr Feld in die gleiche Richtung wie das Erdmagnetfeld weist. Zwei Magnete haben eine potentielle Energie in Bezug zueinander und dem Abstand zwischen ihnen, aber dies hängt auch von ihrer Ausrichtung ab. Wenn die gegenüberliegenden Pole auseinander gehalten werden, ist die potentielle Energie höher, je weiter sie voneinander entfernt sind, und niedriger, je näher sie sind. Umgekehrt haben ähnliche Pole die höchste potentielle Energie, wenn sie zusammengedrückt werden, und die niedrigste, wenn sie auseinander springen.

Potentielle Kernenergie

Die potentielle Kernenergie ist die potentielle Energie der Teilchen im Inneren eines Atomkerns. Die Kernteilchen werden durch die starke Kernkraft miteinander verbunden. Schwache Kernkräfte liefern die potentielle Energie für bestimmte Arten des radioaktiven Zerfalls, wie den Beta-Zerfall.

Kernteilchen wie Protonen und Neutronen werden bei Kernspaltungs- und Fusionsprozessen nicht zerstört, aber Ansammlungen von ihnen können eine geringere Masse haben, als wenn sie einzeln frei wären. In diesem Fall kann dieser Massenunterschied als Wärme und Strahlung bei Kernreaktionen freigesetzt werden (die Wärme und Strahlung die fehlende Masse, entweicht aber oft aus dem System, wo sie nicht gemessen wird). Die Energie der Sonne ist ein Beispiel für diese Form der Energieumwandlung. In der Sonne wandelt der Prozess der Wasserstofffusion pro Sekunde etwa 4 Millionen Tonnen Sonnenmaterie in elektromagnetische Energie um, die in den Weltraum abgestrahlt wird.

Kräfte und potentielle Energie

Potentielle Energie ist eng mit Kräften verbunden. Wenn die Arbeit einer Kraft auf einen Körper, der sich von A nach B bewegt, nicht vom Weg zwischen diesen Punkten abhängt, dann weist die von A aus gemessene Arbeit dieser Kraft jedem anderen Punkt im Raum einen skalaren Wert zu und definiert ein skalares Potential Feld. In diesem Fall kann die Kraft als das Negative des Vektorgradienten des Potentialfeldes definiert werden.

Zum Beispiel ist die Schwerkraft eine konservative Kraft. Das zugehörige Potential ist das Gravitationspotential, oft mit oder bezeichnet, entsprechend der Energie pro Masseneinheit als Funktion des Ortes. Die potentielle Gravitationsenergie zweier Teilchen der Masse M und m im Abstand r ist$$

φ {\displaystyle \phi}$$V {\displaystyle V}

$$$$U=−GMichr, {\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}Das Gravitationspotential ( spezifische Energie ) der beiden Körper ist$$$$φ=−(GMr+Gichr)=−G(M+ich)r=−GMichμr=Uμ. {\displaystyle \phi =-\left({\frac {GM}{r}}+{\frac {Gm}{r}}\right)=-{\frac {G(M+m)}{r} }=-{\frac {GMm}{\mu r}}={\frac {U}{\mu}}.}wo ist die reduzierte masse. $$μ {\displaystyle\mu}

Die Arbeit, die gegen die Schwerkraft geleistet wird, indem eine infinitesimale Masse von Punkt A mit zu Punkt B mit bewegt wird, ist und die Arbeit, die umgekehrt wird, ist so, dass die Gesamtarbeit, die bei der Bewegung von A nach B und der Rückkehr nach A verrichtet wird, ist$$

U=ein {\displaystyle U=a}$$U=b {\displaystyle U=b}$$(b−ein) {\displaystyle (ba)}$$(ein−b) {\displaystyle (ab)}

$$$$UEIN→B→EIN=(b−ein)+(ein−b)=0. {\displaystyle U_{A\nach B\nach A}=(ba)+(ab)=0.}Wenn das Potential bei A zu be und das Potential bei B zu be neu definiert wird, wo ist eine Konstante (dh kann eine beliebige Zahl sein, positiv oder negativ, muss aber bei A gleich sein wie bei B), dann ist die geleistete Arbeit von A nach B zu gehen ist$$ein+c {\displaystyle a+c}$$b+c {\displaystyle b+c}$$c {\displaystyle c}$$c {\displaystyle c}$$$$UEIN→B=(b+c)−(ein+c)=b−ein {\displaystyle U_{A\to B}=(b+c)-(a+c)=ba}wie vorher.

In der Praxis, dass dies bedeutet, kann man die Null gesetzt und überall ein ähnliches. Ein Set kann es Null an der Oberfläche der zu Erde, oder findet es bequeme Null im Unendlichen zu setzen (wie in der Ausdrücken früher in diesem Abschnitt).$$

U {\displaystyle U}$$φ {\displaystyle \phi}

Eine konservative Kraft kann in der Sprache der Differentialgeometrie als geschlossene Form ausgedrückt werden. Als euklidischen Raum ist zusammenziehbar, seine de Rham cohomology verschwindet, so jede geschlossene Form ist auch eine exakte Form und kann als der Gradient einer Skalarfeld ausgedrückt werden. Dies gibt eine mathematische Rechtfertigung für die Tatsache, dass alle konservativen Kräfte Gradienten eines Potentialfeldes sind.

Anmerkungen

Verweise

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2010). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure (8. Aufl.). Brooks/Cole cengage. ISBN 978-1-4390-4844-3.
• Tipler, Paul (2004). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure: Mechanik, Schwingungen und Wellen, Thermodynamik (5. Aufl.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.

Externe Links

• Was ist potentielle Energie?