Kolbenbewegungsgleichungen

Die Bewegung eines nicht versetzten Kolbens, der über eine Pleuelstange mit einer Kurbel verbunden ist (wie bei Verbrennungsmotoren ), kann durch mehrere mathematische Gleichungen ausgedrückt werden. Dieser Artikel zeigt, wie diese Bewegungsgleichungen abgeleitet werden, und zeigt ein Beispieldiagramm.

Inhalt

• 1 Kurbelwellengeometrie
  • 1.1 Definitionen
  • 1.2 Winkelgeschwindigkeit
  • 1.3 Dreiecksbeziehung
• 2 Gleichungen bezüglich der Winkellage (Angle Domain)
  • 2.1 Position
  • 2.2 Geschwindigkeit
  • 2.3 Beschleunigung
• 3 Gleichungen in Bezug auf die Zeit (Zeitbereich)
  • 3.1 Winkelgeschwindigkeitsableitungen
  • 3.2 Umrechnung vom Winkelbereich in den Zeitbereich
  • 3.3 Position
  • 3.4 Geschwindigkeit
  • 3.5 Beschleunigung
  • 3.6 Skalierung für Winkelgeschwindigkeit
• 4 Geschwindigkeitsmaxima / -minima
  • 4.1 Beschleunigungsnulldurchgänge
    • 4.1.1 Kurbelwinkel nicht rechtwinklig
    • 4.1.2 Beispiel
• 5 Beispieldiagramm der Kolbenbewegung
• 6 Siehe auch
• 7 Referenzen
• 8 Weiterführende Literatur
• 9 Externe Links

Kurbelwellengeometrie

Diagramm mit geometrischer Anordnung von Kolbenbolzen, Kurbelzapfen und Kurbelmitte

Definitionen

$$l {\ displaystyle l} Stablänge (Abstand zwischen Kolbenbolzen und Kurbelzapfen )

$$r {\ displaystyle r} Kurbelradius (Abstand zwischen den Kurbelzapfen und Kurbelmitte, also dem halben Hub )

$$EIN {\ displaystyle A}Kurbelwinkel (von der Mittellinie der Zylinderbohrung am OT )

$$x {\ displaystyle x} Kolbenbolzenposition (von der Kurbelmitte nach oben entlang der Mittellinie der Zylinderbohrung)

$$v {\ displaystyle v} Kolbenbolzengeschwindigkeit (aufwärts von der Kurbelmitte entlang der Mittellinie der Zylinderbohrung)

$$ein {\ displaystyle a} Kolbenbolzenbeschleunigung (von der Kurbelmitte nach oben entlang der Mittellinie der Zylinderbohrung)

$$ω {\ displaystyle \ omega} Kurbelwinkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit der Kurbelwelle bezieht sich auf die Motorumdrehungen pro Minute (U/min):

$$ω=2π⋅R.PM60 {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi\cdot\mathrm {RPM} }{60}}}

Dreiecksbeziehung

Wie in der Abbildung gezeigt, bilden der Kurbelzapfen, die Kurbelmitte und der Kolbenbolzen das Dreieck NOP. Nach dem Kosinusgesetz ist ersichtlich, dass:

$$l2=r2+x2- -2⋅r⋅x⋅cos⁡EIN {\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}

Gleichungen bezüglich der Winkellage (Winkelbereich)

Die folgenden Gleichungen beschreiben die Hin- und Herbewegung des Kolbens in Bezug auf den Kurbelwinkel. Beispielgraphen dieser Gleichungen sind unten gezeigt.

Position

Position in Bezug auf den Kurbelwinkel (aus der Dreiecksbeziehung, das Quadrat vervollständigen, die pythagoreische Identität verwenden und neu anordnen):

$$l2=r2+x2- -2⋅r⋅x⋅cos⁡EINl2- -r2=(x- -r⋅cos⁡EIN)2- -r2⋅cos2⁡EINl2- -r2+r2⋅cos2⁡EIN=(x- -r⋅cos⁡EIN)2l2- -r2⋅(1- -cos2⁡EIN)=(x- -r⋅cos⁡EIN)2l2- -r2⋅Sünde2⁡EIN=(x- -r⋅cos⁡EIN)2x=r⋅cos⁡EIN+l2- -r2⋅Sünde2⁡EIN {\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} l ^ {2} = r ^ {2} + x ^ {2} -2 \ cdot r \ cdot x \ cdot \ cos A \\ l ^ {2} - r^{2}=(xr\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{ 2} \ cdot \ cos ^ {2} A = (xr \ cdot \ cos A) ^ {2} \\ l ^ {2} -r ^ {2} \ cdot (1- \ cos ^ {2} A) =(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\ x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin^{2}A}}\\\end{array}}}

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit in Bezug auf den Kurbelwinkel (erste Ableitung nehmen, unter Verwendung der Kettenregel ):

$$x'=dxdEIN=- -r⋅Sünde⁡EIN+(12)⋅(- -2)⋅r2⋅Sünde⁡EIN⋅cos⁡EINl2- -r2⋅Sünde2⁡EIN=- -r⋅Sünde⁡EIN- -r2⋅Sünde⁡EIN⋅cos⁡EINl2- -r2⋅Sünde2⁡EIN {\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} x 'amp; = amp; {\ frac {dx} {dA}} \\ amp; = amp; - r \ cdot \ sin A + {\ frac {({\ frac {1} {2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin^{ 2}A}}}\\amp;=amp;-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r ^{2}\cdot \sin^{2}A}}}\\\end{array}}}

( Wenn Sie dies weiter manipulieren möchten, fügen Sie hier bitte einen Unterabschnitt hinzu, einschließlich einer Erklärung der Absicht (zB "Sündbegriffe isolieren")).

Beschleunigung

Beschleunigung in Abhängigkeit vom Kurbelwinkel (Zweite Ableitung nehmen, Kettenregel und Quotientenregel verwenden ):

$$x″=d2xdEIN2=- -r⋅cos⁡EIN- -r2⋅cos2⁡EINl2- -r2⋅Sünde2⁡EIN- -- -r2⋅Sünde2⁡EINl2- -r2⋅Sünde2⁡EIN- -r2⋅Sünde⁡EIN⋅cos⁡EIN⋅(- -12)⋅(- -2)⋅r2⋅Sünde⁡EIN⋅cos⁡EIN(l2- -r2⋅Sünde2⁡EIN)3=- -r⋅cos⁡EIN- -r2⋅(cos2⁡EIN- -Sünde2⁡EIN)l2- -r2⋅Sünde2⁡EIN- -r4⋅Sünde2⁡EIN⋅cos2⁡EIN(l2- -r2⋅Sünde2⁡EIN)3 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''amp;=amp;{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\amp;=amp;-r\cdot \cos A- {\frac {r^{2}\cdot \cos^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot\sin^{2}A}}}-{\frac {-r ^ {2} \ cdot \ sin ^ {2} A} {\ sqrt {l ^ {2} -r ^ {2} \ cdot \ sin ^ {2} A}}} - {\ frac {r ^ {2} \ cdot \ sin A \ cdot \ cos A \ cdot \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ cdot (-2) \ cdot r ^ {2} \ cdot \ sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin^{2}A}}\right)^{3}}}\\amp;= amp; -r \ cdot \ cos A - {\ frac {r ^ {2} \ cdot \ left (\ cos ^ {2} A- \ sin ^ {2} A \ right)} {\ sqrt {l ^ {2 }-r^{2}\cdot \sin^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\ left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}

( Wenn Sie dies weiter manipulieren möchten, fügen Sie hier bitte einen Unterabschnitt hinzu, einschließlich einer Erklärung der Absicht (zB "Sündbegriffe isolieren")).

Gleichungen bezüglich der Zeit (Zeitbereich)

Winkelgeschwindigkeitsableitungen

Wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, dann

$$EIN=ωt {\ displaystyle A = \ omega t \,}

und die folgenden Beziehungen gelten:

$$dEINdt=ω {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega}

$$d2EINdt2=0 {\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}

Konvertieren von der Winkeldomäne in die Zeitdomäne

Die folgenden Gleichungen beschreiben die Hin- und Herbewegung des Kolbens in Bezug auf die Zeit. Wenn Zeitdomäne anstelle der Winkeldomäne erforderlich ist, ersetzen ersten A mit amp; omega; t in den Gleichungen, und dann skaliert für Winkelgeschwindigkeit, wie folgt:

Position

Die Position in Bezug auf die Zeit ist einfach:

$$x {\displaystyle x\,}

Geschwindigkeit

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit (unter Verwendung der Kettenregel ):

$$v=dxdt=dxdEIN⋅dEINdt=dxdEIN⋅ω=x'⋅ω {\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} v amp; = amp; {\ frac {dx} {dt}} \\ amp; = amp; {\ frac {dx} {dA}} \ cdot {\ frac {dA} {dt }}\\amp;=amp;{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\amp;=amp;x'\cdot \omega \\\end{array}}}

Beschleunigung

Beschleunigung bezüglich der Zeit (unter Verwendung der Kettenregel und Produktregel, und die Winkelgeschwindigkeit - Derivate ):

$$ein=d2xdt2=ddtdxdt=ddt(dxdEIN⋅dEINdt)=ddt(dxdEIN)⋅dEINdt+dxdEIN⋅ddt(dEINdt)=ddEIN(dxdEIN)⋅(dEINdt)2+dxdEIN⋅d2EINdt2=d2xdEIN2⋅(dEINdt)2+dxdEIN⋅d2EINdt2=d2xdEIN2⋅ω2+dxdEIN⋅0=x″⋅ω2 {\displaystyle {\begin{array}{lcl}aamp;=amp;{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\amp;=amp;{\frac {d}{dt}}{ \ frac {dx} {dt}} \\ amp; = amp; {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {dx} {dA}} \ cdot {\ frac {dA} {dt}}) \\ amp;=amp;{\frac{d}{dt}}({\frac{dx}{dA}})\cdot {\frac{dA}{dt}}+{\frac{dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\amp;=amp;{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\ cdot ({\ frac {dA} {dt}}) ^ {2} + {\ frac {dx} {dA}} \ cdot {\ frac {d ^ {2} A} {dt ^ {2}}} \ \amp;=amp;{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA }}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\amp;=amp;{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \ omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\amp;=amp;x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}

Skalierung für Winkelgeschwindigkeit

Sie können sehen, dass x nicht skaliert ist, x 'mit ω skaliert ist und x "mit ω ² skaliert ist. Um x' von Geschwindigkeit gegen Winkel [m / rad] in Geschwindigkeit gegen Zeit [m / s] umzuwandeln, multiplizieren Sie x 'mit ω [rad / s]. zum konvertieren x "von der Beschleunigung vs Winkeln [m / rad²] zur Beschleunigung gegen die Zeit [m / s²] multiply x" von ω ² [rad² / s²]. Man beachte, dass dimensionale Analyse zeigt, dass die Einheiten sind, konsistent.

Geschwindigkeitsmaxima/-minima

Beschleunigungsnulldurchgänge

Per Definition treten die Geschwindigkeitsmaxima und -minima an den Beschleunigungsnullen (Kreuzungen der horizontalen Achse) auf ; diese hängen von Stablänge (L) und halben Hub (R) und stellen nicht auftreten bei Kurbelwinkeln (A) von ± 90 °.

Kurbelwinkel nicht rechtwinklig

Die Geschwindigkeitsmaxima und -minima treten nicht unbedingt auf, wenn die Kurbel einen rechten Winkel zur Stange bildet. Gegenbeispiele existieren, um die Idee zu widerlegen, dass Geschwindigkeitsmaxima und -minima nur auftreten, wenn der Kurbelstangenwinkel rechtwinklig ist.

Beispiel

Bei einer Stangenlänge von 6" und einem Kurbelradius von 2" (wie in der folgenden Beispielgrafik gezeigt) wird durch numerisches Lösen der Beschleunigungsnulldurchgänge festgestellt, dass die Geschwindigkeitsmaxima/-minima bei Kurbelwinkeln von ±73,17615° liegen. Dann wird unter Verwendung des Dreiecksgesetzes der Sinus festgestellt, dass der Stangen-Vertikalwinkel 18,60647° beträgt und der Kurbelstangen-Winkel 88.21738° beträgt. In diesem Beispiel ist der Winkel zwischen der Kurbel und der Stange eindeutig kein rechter Winkel. Summiert man die Winkel des Dreiecks 88.21738° + 18.60647° + 73.17615° ergibt 180.00000°. Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um die Aussage "Geschwindigkeitsmaxima/-minima treten auf, wenn Kurbel mit Stange einen rechten Winkel bildet" zu widerlegen.

Beispieldiagramm der Kolbenbewegung

Die Grafik zeigt x, x ', x "in Bezug auf den Kurbelwinkel für verschiedene Halbhübe, wobei L = Stablänge (l) und R = Halbhub (r):

Die Einheiten der vertikalen Achse sind Zoll für die Position, [Zoll/rad] für die Geschwindigkeit und [Zoll/rad²] für die Beschleunigung. Die horizontale Achse gibt Einheiten Kurbelwinkelgraden.

Kolbenbewegungsanimation mit gleichen Werten für Stangenlänge und Kurbelradius in der obigen Grafik:

Kolbenbewegungsanimation mit verschiedenen Halbhüben

Siehe auch

• Verbrennungsmotor
• Hubkolbenmotor
• Schubkurbelgestänge
• Scotch Joch

Verweise

1. http://www.epi-eng.com/piston_engine_technology/piston_motion_basics.htm

Weiterlesen

• John Benjamin Heywood, Grundlagen der Verbrennungsmotoren, McGraw Hill, 1989.
• Charles Fayette Taylor, Der Verbrennungsmotor in Theorie und Praxis, Bd. 1 amp; 2, 2. Auflage, MIT Press 1985.

Externe Links

• epi-ger Kolbenbewegung
• codecogs Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Kolbens
• animierte Motoren Viertaktmotor
• Desmos interaktive Kurbelanimation
• networcs D amp; T Mechanisms - Interaktive Tools für Lehrer
• Mecamedia Kolbenbewegungsanimation

• youtube Rotierender Chevy 350 Short Block.
• Youtube 3D-Animation eines V8-MOTORS
• youtube In einem V8-Motor im Leerlauf
• Desmos interaktiver Hub gegen Stangenverhältnis Kolbenposition und Ableitungen