Stückweise linearer Verteiler

In der Mathematik ist ein stückweise linearer (PL) Verteiler ein topologischer Verteiler zusammen mit einer stückweise linearen Struktur darauf.Eine solche Struktur kann mittels eines Atlas definiert werden, so dass mandarin durch stückweise lineare Funktionen von Diagramm zu Diagrammübergehen kann.Dies ist etwas stärker als der topologische Begriff einer Triangulation.

Ein Isomorphismus von PL-Mannigfaltigkeiten wird als PL-Homöomorphismus bezeichnet.

Inhalt

• 1 Beziehung zu anderen Kategorien von Verteilern
  • 1.1 Glatte Verteiler
  • 1.2 Topologische Mannigfaltigkeiten
  • 1.3 Echte algebraische Mengen
  • 1.4 Kombinatorische und digitale Verteiler
• 2 Siehe auch
• 3 Hinweise
• 4 Referenzen

Beziehung zu anderen Kategorien von Mannigfaltigkeiten

PDIFF dient dazu, DIFF und PL in Beziehung zu setzen, und entspricht PL.

PL, genauer gesagt PDIFF, liegt zwischen DIFF (der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten ) und TOP (der Kategorie der topologischen Mannigfaltigkeiten): Esverhältsich kategorisch "besser" als DIFF - zum Beispiel gilt die Vermutung von Generalized Poincaré in PL (mit Die mögliche Ausnahme von Dimension 4, wo sie DIFF entspricht, ist jedoch in DIFF im Allgemeinen falsch - verhält sich jedoch "schlechter" als TOP, wie in der Operationstheorie ausgeführt.

Glatte Verteiler

Glatte Verteiler haben kanonische PL-Strukturen - sie sindnach Whiteheads Triangulationssatz ( Whitehead 1940)eindeutig triangulierbar -, aber PL-Verteiler haben nicht immer glatte Strukturen - sie sind nicht immer glättbar. Diese Beziehung kann durch Einführung der Kategorie PDIFF ausgearbeitet werden, die sowohl DIFF als auch PL enthält und PL entspricht.

Eine Möglichkeit, wie sich PL besser verhält als DIFF, besteht darin, dass man Kegel in PL nehmen kann, aber nicht in DIFF - der Kegelpunkt ist in PL akzeptabel.Eine Konsequenz ist, dass die Generalized Poincaré-Vermutung in PL für Dimensionen größer als vier gilt - der Beweis besteht darin, eine Homotopiekugel zu nehmen, zwei Kugeln zu entfernen, denSatzdes h- Cobordismus anzuwenden, umzu schließen, dass dies ein Zylinder ist, und dann Kegel anzubringen eine Kugel wiederherstellen.Dieser letzte Schritt funktioniert in PL, aber nicht in DIFF, wodurch exotische Sphären entstehen.

Topologische Mannigfaltigkeiten

Hauptartikel: Hauptvermutung

Nicht jede topologische Mannigfaltigkeit lässt eine PL-Struktur zu, und von denen, die dies tun, muss die PL-Struktur nicht eindeutig sein - sie kann unendlich viele haben.Dies wird in der Hauptvermutung ausgearbeitet.

Das Hindernis für die Platzierung einer PL-Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ist die Kirby-Siebenmann-Klasse. Um genau zu sein, ist die Kirby-Siebenmann-Klasse das Hindernis für die Platzierung einer PL-Struktur auf M x R und in den Dimensionen ngt; 4 verschwindet die KS-Klasse genau dann, wenn M mindestens eine PL-Struktur hat.

Echte algebraische Mengen

Eine A-Struktur auf einem PL-Verteiler ist eine Struktur, die eine induktive Möglichkeit bietet, den PL-Verteiler in einen glatten Verteiler aufzulösen.Kompakte PL-Verteiler lassen A-Strukturen zu.Kompakte PL-Verteiler sind homöomorph zu realalgebraischen Mengen. Anders ausgedrückt, die A-Kategorie liegt über der PL-Kategorie als reichhaltigere Kategorie ohne Behinderung des Anhebens, dh BA → BPL ist eine Produktfibration mit BA = BPL × PL / A, und PL-Verteiler sind echte algebraische Mengen, weil A. -Verteiler sind echte algebraische Mengen.

Kombinatorische und digitale Verteiler

• Ein kombinatorischer Verteiler ist eine Art Verteiler, der die Diskretisierung eines Verteilers darstellt.Es bedeutet normalerweise eine stückweise lineare Mannigfaltigkeit, die durch einfache Komplexe hergestellt wird.
• Ein digitaler Verteiler ist eine spezielle Art von kombinatorischem Verteiler, der im digitalen Raum definiert ist.Siehe digitale Topologie.

Siehe auch

• Einfache Mannigfaltigkeit

Anmerkungen

Verweise

• Whitehead, JHC (Oktober 1940)."Auf C ¹-Komplexen". Die Annalen der Mathematik. Zweite Serie. 41 (4): 809–824. doi : 10.2307 / 1968861. JSTOR 1968861.
• Rudyak, Yuli B. (2001)."Stückweise lineare Strukturen auf topologischen Mannigfaltigkeiten". arXiv : math.AT/0105047.