Octacube (Skulptur)

Dieser Artikel handelt von der Stahlskulptur.Für andere Verwendungen des Wortes siehe Octacube. Der Octacube und sein Designer Adrian Ocneanu

Der Octacube ist eine große Skulptur aus rostfreiem Stahl , die in der Mathematikabteilung der Pennsylvania State University im State College, PA, ausgestellt ist. Die Skulptur stellt ein mathematisches Objekt dar, das als 24-Zellen- oder "Octacube" bezeichnet wird.Da eine echte 24-Zellen-Zelle vierdimensional ist, ist das Kunstwerk tatsächlich eine Projektion in die dreidimensionale Welt.

Octacube hat eine sehr hohe intrinsische Symmetrie, die mit Merkmalen in Chemie ( molekulare Symmetrie ) und Physik ( Quantenfeldtheorie )übereinstimmt.

Die Skulptur wurde von Adrian Ocneanu, einem Mathematikprofessor an der Pennsylvania State University, entworfen. Die Maschinenwerkstatt der Universität hat über ein Jahr damit verbracht, die komplizierten Metallarbeiten abzuschließen. Octacube wurde von einer Alumna in Erinnerung an ihren Ehemann Kermit Anderson finanziert, der bei den Anschlägen vom 11. September starb.

Inhalt

• 1 Grafik
• 2 Interpretation
  • 2.1 Regelmäßige Formen
  • 2.2 Projektionen
  • 2.3 Symmetrie
  • 2.4 Wissenschaftliche Anspielungen
• 3 Denkmal
• 4 Empfang
• 5 Siehe auch
• 6 Referenzen
• 7 Externe Links

Kunstwerk

Das Metallskelett des Octacube misst in allen drei Dimensionen etwa 2 Meter.Es ist eine komplexe Anordnung von unbemalten, dreieckigen Flanschen.Die Basis ist ein 1 Meter hoher Granitblock mit einigen Gravuren.

Das Kunstwerk wurde von Adrian Ocneanu, einem Mathematikprofessor des Penn State, entworfen.Er lieferte die Spezifikationen für die 96 dreieckigen Edelstahlstücke der Skulptur und für deren Montage.Die Herstellung erfolgte in der Maschinenfabrik von Penn State unter der Leitung von Jerry Anderson.Die Arbeiten dauerten über ein Jahr und umfassten das Biegen und Schweißen sowie das Schneiden.Über den Bau sagte Ocneanu:

Es ist sehr schwierig, 12 Stahlbleche an jedem der 23 Eckpunkte perfekt und konform aufeinander abzustimmen, ohne dass Spuren von Schweißen zurückbleiben.Die Leute, die es gebaut haben, sind wirklich Weltklasse-Experten und Perfektionisten - Künstler aus Stahl.

Aufgrund des reflektierenden Metalls in verschiedenen Winkeln ist das Aussehen angenehm seltsam.In einigen Fällen erzeugen die spiegelartigen Oberflächen eine Illusion von Transparenz, indem sie Reflexionen von unerwarteten Seiten der Struktur zeigen.Der Mathematiker der Skulptur kommentierte:

Als ich die eigentliche Skulptur sah, hatte ich einen ziemlichen Schock.Ich hätte mir das Lichtspiel auf den Oberflächen nie vorgestellt.Es gibt subtile optische Effekte, die Sie spüren können, aber nicht ganz genau bestimmen können.

• Ansichten des Octacube aus mehreren Blickwinkeln
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Interpretation

Regelmäßige Formen

Die platonischen Körper sind dreidimensionale Formen mit besonderer hoher Symmetrie. Sie sind der nächste Schritt in der Dimension gegenüber den zweidimensionalen regulären Polygonen (Quadrate, gleichseitige Dreiecke usw.).Die fünf platonischen Körper sind Tetraeder (4 Flächen), Würfel (6 Flächen), Oktaeder (8 Flächen), Dodekaeder (12 Flächen) und Ikosaeder (20 Flächen).Sie sind seit der Zeit der alten Griechen bekannt und werden für ihre ästhetische Anziehungskraft und ihre philosophische, sogar mystische Bedeutung geschätzt.(Siehe auch Timaios, ein Dialog von Platon. )

Die platonischen Körper
Tetraeder	Würfel	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder

In höheren Dimensionen sind die Gegenstücke der platonischen Körper die regulären Polytope. Diese Formen wurden erstmals Mitte des 19. Jahrhunderts von dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli beschrieben. In vier Dimensionen gibt es sechs davon : Pentachoron ( 5 Zellen ), Tesseract ( 8 Zellen ), Hexadecachoron ( 16 Zellen ), Octacube ( 24 Zellen ), Hekatonicosachoron ( 120 Zellen ) undHexacosichoron ( 120 Zellen ) 600 Zellen ).

Die 24-Zellen bestehen aus 24 Oktaedern, die im 4-dimensionalen Raum verbunden sind.Die Scheitelpunktzahl der 24 Zellen(die 3D-Form, die beim Abschneiden einer 4-D-Ecke entsteht) ist ein Würfel.Trotz seines suggestiven Namens ist der Oktakubel weder das 4-D-Analogon des Oktaeders noch des Würfels.Tatsächlich ist es das einzige der sechs regulären 4-D-Polytope, dem ein entsprechender platonischer Feststoff fehlt.

Versuche, sich die 24-Zellen vorzustellen
Schlegel-Diagramm	4-dimensionale Rotation

Projektionen

Stereographische Projektion der Erde

Ocneanu erklärt die konzeptionelle Herausforderung beim Arbeiten in der vierten Dimension: "Obwohl Mathematiker mit einer vierten Dimension abstrakt arbeiten können, indem sie den drei, mit denen wir einen Punkt im Raum beschreiben, eine vierte Koordinate hinzufügen, ist eine vierte räumliche Dimension schwer zu visualisieren."

Obwohl es unmöglich ist, 4-dimensionale Objekte zu sehen oder zu erstellen, ist es möglich, sie in niedrigere Dimensionen abzubilden, um einige Eindrücke von ihnen zu erhalten.Eine Analogie zur Umwandlung der 4-D-24-Zellen in ihre 3-D-Skulptur ist die kartografische Projektion, bei der die Oberfläche der 3-D-Erde (oder eines Globus) auf eine flache 2-D-Ebene (eine tragbare Karte) reduziert wird.Dies geschieht entweder mit Licht, das einen Schatten vom Globus auf die Karte wirft, oder mit einer mathematischen Transformation.Es gibt viele verschiedene Arten der Kartenprojektion: den bekannten rechteckigen Mercator (zur Navigation), die kreisförmige Gnomonik (erste erfundene Projektion) und mehrere andere.Alle haben Einschränkungen, da sie einige Merkmale verzerrt zeigen - "Sie können eine Orangenschale nicht abflachen, ohne sie zu beschädigen" -, aber sie sind nützliche visuelle Hilfsmittel und praktische Referenzen.

Stereographische Projektion einer 24-Zellen

In der gleichen Weise, wie das Äußere der Erde eine 2-D-Haut ist (in die dritte Dimension gebogen), ist das Äußere einer 4-dimensionalen Form ein 3-D-Raum (aber durch den Hyperraum gefaltet, die vierte Dimension).So wie die Erdoberfläche nicht ohne Verzerrungen auf eine Ebene abgebildet werden kann, kann auch die äußere 3D-Form der 4-D-Hyperform mit 24 Zellen nicht abgebildet werden.Im Bild rechts ist eine 24-Zellen-Darstellung als 3D-Objekt in den Raum projiziert dargestellt (und das Bild ist eine 2D-Darstellung mit einer Perspektive, die das Auge unterstützt).Einige der Verzerrungen:

• Kurvenlinien krümmen: Diese sind in vier Dimensionen gerade, aber die Projektion in eine niedrigere Dimension lässt sie krümmen (ähnliche Effekte treten bei der Kartierung der Erde auf).
• Aufgrund der Komplexität des Objekts müssen halbtransparente Flächen verwendet werden, damit die vielen "Kästchen" (oktaedrischen Zellen) sichtbar werden.
• Nur 23 Zellen sind deutlich zu sehen.Die 24. Zelle ist das "Außen in", der gesamte Außenraum um das Objekt, gesehen in drei Dimensionen.

Um die 24-Zellen abzubilden, verwendet Ocneanu eine verwandte Projektion, die er als radiale stereografische Fensterprojektion bezeichnet. Wie bei der stereografischen Projektion sind im 3D-Raum gekrümmte Linien dargestellt.Anstatt halbtransparente Oberflächen zu verwenden, werden "Fenster" in die Flächen der Zellen geschnitten, so dass innere Zellen sichtbar sind.Außerdem sind nur 23 Eckpunkte physisch vorhanden.Der 24. Eckpunkt "tritt im Unendlichen auf" aufgrund der Projektion;Was man sieht, sind die 8 Beine und Arme der Skulptur, die von der Mitte der 3D-Skulptur nach außen abweichen.

Symmetrie

Oktaedrisches Symmetriediagramm, das Spiegelebenen als große Kreise zeigt (6 rot, 3 blau).Es werden auch Rotationsachsen angezeigt: 2-fach (rosa Diamanten), 3-fach (rote Dreiecke) und 4-fach (blaue Quadrate).

Die Octacube- Skulptur hat eine sehr hohe Symmetrie.Die Edelstahlstruktur hat die gleiche Symmetrie wie ein Würfel oder ein Oktaeder.Das Kunstwerk kann als Würfel dargestellt werden: Die Arme und Beine der Struktur erstrecken sich bis zu den Ecken.Es ist schwieriger, sich ein Oktaeder vorzustellen.Es geht darum, an die Flächen des visualisierten Würfels zu denken, die die Ecken eines Oktaeders bilden.Der Würfel und das Oktaeder haben den gleichen Betrag und die gleiche Art der Symmetrie: die oktaedrische Symmetrie,in mathematischer NotationO h (Ordnung 48) genannt.Einige, aber nicht alle Symmetrieelemente sind

• 3 verschiedene vierfache Rotationsachsen (eine durch jedes Paar gegenüberliegender Flächen des visualisierten Würfels): oben / unten, innen / außen und links / rechts, wie auf dem Foto zu sehen
• 4 verschiedene dreifache Rotationsachsen (eine durch jedes Paar gegenüberliegender Ecken des Würfels [entlang jedes der gegenüberliegenden Arm / Bein-Paare])
• 6 verschiedene zweifache Rotationsachsen (eine durch den Mittelpunkt jeder gegenüberliegenden Kante des visualisierten Würfels)
• 9 Spiegelebenen, die den visualisierten Würfel halbieren
  • 3, die es oben / unten, links / rechts und vorne / hinten schneiden.Diese Spiegel repräsentieren ihre reflektierende Dieder-Subsymmetrie D 2h, Ordnung 8 (eine untergeordnete Symmetrie eines beliebigen Objekts mit oktaedrischer Symmetrie).
  • 6, die entlang der Diagonalen der gegenüberliegenden Flächen des visualisierten Würfels verlaufen (diese verlaufen entlang doppelter Sätze von Arm-Bein-Paaren).Diese Spiegel repräsentieren ihre reflektierende tetraedrische Subsymmetrie T d, Ordnung 24 (eine untergeordnete Symmetrie eines beliebigen Objekts mit oktaedrischer Symmetrie).

Unter Verwendung der mittleren Raumpunkte repräsentiert die Skulptur die Wurzelsysteme vom Typ D4, B4 = C4 und F4, dh alle 4d außer A4.Es kann die Projektion von D4 nach B3 und D4 nach G2 visualisieren.

Wissenschaftliche Anspielungen

Viele Moleküle haben die gleiche Symmetrie wie die Octacube- Skulptur.Das organische Molekül Kuban (C 8 H 8) ist ein Beispiel.Die Arme und Beine der Skulptur ähneln den nach außen ragenden Wasserstoffatomen. Schwefelhexafluorid (oder ein beliebiges Molekül mit exakter oktaedrischer Molekülgeometrie ) weist ebenfalls die gleiche Symmetrie auf, obwohl die Ähnlichkeit nicht so ähnlich ist.

Moleküle mit der gleichen Symmetrie

Kubanisch	Schwefelhexafluorid

Der Octacube zeigt auch Parallelen zu Konzepten der theoretischen Physik.Der Schöpfer Ocneanu erforscht mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie (QFT).Das Thema wurde von einem Fields-Medaillengewinner, Ed Witten, als das schwierigste Gebiet der Physik beschrieben.Ein Teil von Ocneanus Arbeit besteht darin, theoretische und sogar physikalische Modelle der Symmetriemerkmale in QFT zu erstellen.Ocneanu zitiert die Beziehung der inneren und äußeren Hälfte der Struktur als analog zur Beziehung von Spin-1/2-Partikeln (z. B. Elektronen ) und Spin-1-Partikeln (z.B. Photonen ).

Denkmal

Octacube wurde von Jill Anderson, einer Mathematik-Absolventin aus dem Jahr 1965, in Erinnerung an ihren Ehemann Kermit, einen weiteren Mathematik-Absolventen aus dem Jahr 1965, der bei den Terroranschlägen vom 11. September getötet wurde, in Auftrag gegeben und finanziert.Anderson fasste das Denkmal zusammen und sagte:

Ich hoffe, dass die Skulptur Studenten, Lehrkräfte, Administratoren, Absolventen und Freunde ermutigt, über die wunderbare Welt der Mathematik nachzudenken und sie zu schätzen.Ich hoffe auch, dass alle, die die Skulptur betrachten, anfangen, die ernüchternde Tatsache zu begreifen, dass jeder anfällig für etwas Schreckliches ist und dass wir alle lernen müssen, einen Tag nach dem anderen zu leben und das Beste aus dem zu machen, was gegeben wurde uns.Es wäre großartig, wenn jeder, der den Octacube betrachtet, das Gefühl hat, freundlich zu anderen zu sein, ist eine gute Art zu leben.

Anderson finanzierte auch ein Mathematikstipendium in Kermits Namen, gleichzeitig ging das Skulpturenprojekt voran.

Rezeption

Eine vollständigere Erklärung der Skulptur, einschließlich ihrer Entstehung, ihrer Finanzierung und ihrer Rolle in Mathematik und Physik, wurde von Penn State zur Verfügung gestellt.Darüber hinaus hat Ocneanu seinen eigenen Kommentar abgegeben.

Siehe auch

Künstler:

• Salvador Dalí, Maler der Anspielungen der vierten Dimension
• David Smith, ein Bildhauer aus abstraktem, geometrischem Edelstahl
• Tony Smith, ein weiterer Schöpfer großer abstrakter geometrischer Skulpturen

Mathematik:

• Gruppentheorie, die mathematische Disziplin, die historisch viel Symmetrieforschung umfasste
• Operatoralgebra und Repräsentationstheorie, Ocneanus Bereiche der mathematischen Forschung

Verweise

Anmerkungen

Zitate

Externe Links

• Video von Penn State über den Octacube
• Der Benutzer hat ein Video zur Vorstellung eines vierdimensionalen Objekts (aber eines Tesserakts) erstellt.Beachten Sie die Diskussion der Projektionen nach ~ 22 Minuten und die Diskussion der Zellen im Modell nach ~ 35 Minuten.

Koordinaten : 40 ° 47'51.5 ″ N 77 ° 51'43.7 ″ W.  /.  40,797639 ° N 77,862139 ° W.  / 40,797639;-77,862139