Normales Bündel

Für normale Bündel in algebraischer Geometrie siehe normaler Kegel.

In der Differentialgeometrie, einem Gebiet der Mathematik, ist ein normales Bündel eine bestimmte Art von Vektorbündel, das zum Tangentenbündel komplementär ist und aus einer Einbettung (oder Eintauchung ) stammt.

Inhalt

• 1 Definition
  • 1.1 Riemannsche Mannigfaltigkeit
  • 1.2 Allgemeine Definition
  • 1.3 Normales Bündel
• 2 Stabiles normales Bündel
• 3 Doppel- bis Tangentenbündel
• 4 Für symplektische Mannigfaltigkeiten
• 5 Referenzen

Definition

Riemannsche Mannigfaltigkeit

Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine Riemannsche Untervielfalt. Definieren für eine gegebene, ein Vektor zu sein normalen zu, wenn für alle (damit ist orthogonal zu). Die Menge all dieser wird dann als normaler Raum zu at bezeichnet.$$

(M.,G) {\ displaystyle (M, g)} $$S.⊂M. {\ displaystyle S \ subset M} $$p∈S. {\ displaystyle p \ in S}$$n∈T.pM. {\ displaystyle n \ in \ mathrm {T} _ {p} M}$$S. {\ displaystyle S}$$G(n,v)=0 {\ displaystyle g (n, v) = 0}$$v∈T.pS. {\ displaystyle v \ in \ mathrm {T} _ {p} S}$$n {\ displaystyle n} $$T.pS. {\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} S}$$N.pS. {\ displaystyle \ mathrm {N} _ {p} S}$$n {\ displaystyle n}$$S. {\ displaystyle S}$$p {\ displaystyle p}

So wie der Gesamtraum des Tangentenbündels zu einem Verteiler aus allen Tangentenräumen zum Verteiler aufgebaut ist, ist der Gesamtraum des Normalbündelszu definiert als$$

N.S. {\ displaystyle \ mathrm {N} S}$$S. {\ displaystyle S}

$$N.S.: =∐p∈S.N.pS. {\ displaystyle \ mathrm {N} S: = \ coprod _ {p \ in S} \ mathrm {N} _ {p} S}.

Das normale Bündel ist definiert als das Doppelbündel zum normalen Bündel. Es kann natürlich als Teilbündel des Kotangensbündels realisiert werden.

Allgemeine Definition

Noch abstrakter kann man bei einem Eintauchen (zum Beispiel einer Einbettung) ein normales Bündel von N in M definieren, indem man an jedem Punkt von N den Quotientenraum des Tangentenraums auf M durch den Tangentenraum auf N nimmt. Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit kann man diesen Quotienten mit dem orthogonalen Komplement identifizieren, aber im Allgemeinen nicht (eine solche Wahl entspricht einem Abschnitt der Projektion).$$

ich::N.→M. {\ displaystyle i \ Doppelpunkt N \ bis M} $$V.→V./.W. {\ displaystyle V \ bis V / W}

Somit ist das normale Bündel im Allgemeinen ein Quotient des Tangentenbündels des auf den Unterraum beschränkten Umgebungsraums.

Formal ist das normale Bündel zu N in M ein Quotientenbündel des Tangentenbündels auf M: man hat die kurze exakte Folge von Vektorbündeln auf N:

$$0→T.N.→T.M.|ich(N.)→T.M./.N.: =T.M.|ich(N.)/.T.N.→0 {\ displaystyle 0 \ to TN \ to TM \ vert _ {i (N)} \ to T_ {M / N}: = TM \ vert _ {i (N)} / TN \ to 0}

wo ist die Beschränkung des Tangentenbündels aufM auf N (richtig, das Zurückziehen des Tangentenbündels auf M auf ein Vektorbündel auf N über die Karte). Die Faser des normalen Bündels in wird als normaler Raum bei (von in) bezeichnet.$$

T.M.|ich(N.) {\ displaystyle TM \ vert _ {i (N)}}$$ich∗T.M. {\ displaystyle i ^ {*} TM}$$ich {\ displaystyle i}$$T.M./.N.↠πN. {\ displaystyle T_ {M / N} {\ overset {\ pi} {\ twoheadrightarrow}} N}$$p∈N. {\ displaystyle p \ in N}$$p {\ displaystyle p}$$N. {\ displaystyle N}$$M. {\ displaystyle M}

Normales Bündel

Wenn es sich um eine glatte Untervielfalt einer Mannigfaltigkeit handelt, können wir lokale Koordinaten um solche auswählen, die lokal definiert sind durch ; dann mit dieser Koordinatenwahl$$

Y.⊆X. {\ displaystyle Y \ subseteq X}$$X. {\ displaystyle X}$$(x1,…,xn) {\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$$p∈Y. {\ displaystyle p \ in Y}$$Y. {\ displaystyle Y}$$xk+1=⋯=xn=0 {\ displaystyle x_ {k + 1} = \ dots = x_ {n} = 0}

$$T.pX.=R.{∂∂x1|p,…,∂∂xn|p}}T.pY.=R.{∂∂x1|p,…,∂∂xk|p}}T.X./.Y.p=R.{∂∂xk+1|p,…,∂∂xn|p}} {\ displaystyle {\ begin {align} T_ {p} X amp; = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partiell} {\ partiell x_ {1}}} | _ {p}, \ dots, {\ frac {\ partiell} {\ partiell x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\ T_ {p} Y amp; = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partielle} {\ partielle x_ {1}}} | _ {p}, \ Punkte, {\ frac {\ partielle} {\ partielle x_ {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {X / Y}} _ {p} amp; = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partiell} {\ partiell x_ {k + 1}}} | _ {p}, \ dots, {\ frac {\ teilweise} {\ teilweise x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\\ end {align}}}

und die ideale Garbe wird lokal erzeugt durch. Daher können wir eine nicht entartete Paarung definieren$$

xk+1,…,xn {\ displaystyle x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n}}

$$(ichY./.ichY.2)p×T.X./.Y.p⟶R. {\ displaystyle (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) _ {p} \ times {T_ {X / Y}} _ {p} \ longrightarrow \ mathbb {R}}

das induziert einen Isomorphismus der Garben. Wir können diese Tatsache umformulieren, indem wir das konormale Bündel einführen, das über die konormale exakte Sequenz definiert ist$$

T.X./.Y.≃(ichY./.ichY.2)∨ {\ displaystyle T_ {X / Y} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) ^ {\ vee}}

$$0→T.X./.Y.∗↣ΩX.1|Y.↠ΩY.1→0 {\ displaystyle 0 \ to T_ {X / Y} ^ {*} \ rightarrowtail \ Omega _ {X} ^ {1} | _ {Y} \ twoheadrightarrow \ Omega _ {Y} ^ {1} \ to 0},

dann nämlich. Die Abschnitte des konormalen Bündels sind die Kotangensvektoren, auf denen man verschwinden kann.$$

T.X./.Y.∗≃(ichY./.ichY.2) {\ displaystyle T_ {X / Y} ^ {*} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2})}$$X. {\ displaystyle X}$$T.Y. {\ displaystyle TY}

Wenn es sich um einen Punkt handelt, dann ist die ideale Garbe die Garbe glatter Keime, die verschwinden, und der Isomorphismus reduziert sich auf die Definition des Tangentenraums in Bezug auf Keime glatter Funktionen$$

Y.={p}} {\ displaystyle Y = \ lbrace p \ rbrace}$$p {\ displaystyle p} $$X. {\ displaystyle X}

$$T.X./.{p}}∗≃(T.pX.)∨≃mpmp2 {\ displaystyle T_ {X / \ lbrace p \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {p} X) ^ {\ vee} \ simeq {\ frac {{\ mathfrak {m}} _ {p}} { {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {2}}}}.

Stabiles normales Bündel

Abstrakte Verteiler haben ein kanonisches Tangentenbündel, aber kein normales Bündel: Nur das Einbetten (oder Eintauchen) eines Verteilers in einen anderen ergibt ein normales Bündel. Da jedoch nach dem Whitney-Einbettungssatz jeder Verteiler eingebettet werden kann, lässt jeder Verteiler bei einer solchen Einbettung ein normales Bündel zu.$$

R.N. {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}

Es gibt in der Regel keine natürliche Wahl der Einbettung, aber für einen gegebenen M, alle zwei Einbettungen in für hinreichend große N sind regelmäßige homotope und somit die gleichen normalen Bündel induzieren. Die resultierende Klasse normaler Bündel (es handelt sich um eine Klasse von Bündeln und nicht um ein bestimmtes Bündel, da N variieren kann) wird als stabiles normales Bündel bezeichnet. $$

R.N. {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}

Doppel- bis Tangentenbündel

Das normale Bündel ist im Sinne der K-Theorie dual zum Tangentenbündel: durch die obige kurze exakte Folge,

$$[T.N.]]+[T.M./.N.]]=[T.M.]] {\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}

in der Grothendieck-Gruppe. Im Falle eines Eintauchens ist das Tangentenbündel des Umgebungsraums trivial (da es kontrahierbar und damit parallelisierbar ist ), also und damit.$$

R.N. {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$$R.N. {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}} $$[T.N.]]+[T.M./.N.]]=0 {\ displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$$[T.M./.N.]]=- -[T.N.]] {\ displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}

Dies ist nützlich bei der Berechnung charakteristischer Klassen und ermöglicht den Nachweis von Untergrenzen für die Eintauchbarkeit und Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten im euklidischen Raum.

Für symplektische Mannigfaltigkeiten

Angenommen, eine Mannigfaltigkeit ist in eine symplektische Mannigfaltigkeit eingebettet, so dass der Rückzug der symplektischen Form einen konstanten Rang hat. Dann kann man das symplektische Normalbündel zu X als das Vektorbündel über X mit Fasern definieren$$

X. {\ displaystyle X} $$(M.,ω) {\ displaystyle (M, \ omega)}$$X. {\ displaystyle X}

$$(T.ich(x)X.)ω/.(T.ich(x)X.∩(T.ich(x)X.)ω),x∈X., {\ displaystyle (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {i (x)} X \ cap (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega}), \ quad x \ in X,}

wo bezeichnet die Einbettung. Beachten Sie, dass die konstante Rangbedingung sicherstellt, dass diese normalen Räume zu einem Bündel zusammenpassen. Darüber hinaus erbt jede Faser die Struktur eines symplektischen Vektorraums.$$

ich::X.→M. {\ displaystyle i: X \ rightarrow M}

Nach dem Satz von Darboux wird die konstante Rangeinbettung lokal durch bestimmt. Der Isomorphismus$$

ich∗(T.M.) {\ displaystyle i ^ {*} (TM)}

$$ich∗(T.M.)≅T.X./.ν⊕(T.X.)ω/.ν⊕(ν⊕ν∗),ν=T.X.∩(T.X.)ω, {\ displaystyle i ^ {*} (TM) \ cong TX / \ nu \ oplus (TX) ^ {\ omega} / \ nu \ oplus (\ nu \ oplus \ nu ^ {*}), \ quad \ nu = TX \ cap (TX) ^ {\ omega},}

von symplektischen Vektorbündeln über impliziert, dass das symplektische Normalbündel bereits die konstante Rangeinbettung lokal bestimmt. Diese Funktion ähnelt dem Fall Riemann.$$

X. {\ displaystyle X}

Verweise

1. ^ John M. Lee, Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Eine Einführung in die Krümmung, (1997) Springer-Verlag New York, Diplomtexte in Mathematik 176 ISBN 978-0-387-98271-7
2. ^ Tammo tom Dieck, Algebraische Topologie, (2010) EMS-Lehrbücher in Mathematik ISBN 978-3-03719-048-7
3. ^ Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Grundlagen der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X