Theorem zur Trennung von Investmentfonds

In der Portfoliotheorie, ein Investmentfonds Trennungssatz, Investmentfonds Satz oder Trennungssatz ist ein Satz besagt, dass unter bestimmten Bedingungen kann jeder Anleger eine optimale Portfolio, indem jeder bestimmter konstruiert werden Investmentfonds in geeigneten Verhältnissen, in denen die Anzahl der gegenseitigen Fonds ist kleiner als die Anzahl der einzelnen Vermögenswerte im Portfolio. Hier bezieht sich ein Investmentfonds auf ein bestimmtes Benchmark-Portfolio der verfügbaren Vermögenswerte. Ein Investmentfonds-Theorem bietet zwei Vorteile. Erstens, wenn die relevanten Bedingungen erfüllt sind, kann es für einen Anleger einfacher (oder niedriger bei den Transaktionskosten) sein, eine geringere Anzahl von Investmentfonds zu kaufen, als eine größere Anzahl von Vermögenswerten einzeln zu kaufen. Zweitens können aus theoretischer und empirischer Sicht, wenn davon ausgegangen werden kann, dass die relevanten Bedingungen tatsächlich erfüllt sind, Implikationen für das Funktionieren der Vermögensmärkte abgeleitet und getestet werden.

Inhalt

• 1 Portfolio-Trennung in der Mittelwert-Varianz-Analyse
  • 1.1 Kein risikofreier Vermögenswert
  • 1.2 Ein risikofreier Vermögenswert
• 2 Portfoliotrennung ohne Mittelwertvarianzanalyse
• 3 Referenzen

Portfolio-Trennung in der Mittelwert-Varianz-Analyse

Portfolios kann in einen analysiert werden Mittelwert-Varianz - Rahmen, mit jedem Anleger das Portfolio mit der geringsten möglichen Rückkehr hält Varianz vergleichbar mit dem Anleger angestrebten Niveau des erwarteten Ertrags (a genannten Minimum-Varianz - Portfolio ), wenn die Rendite auf dem Vermögen gemeinsam ist ellipsen verteilt, einschließlich des Sonderfalls, in dem sie gemeinsam normal verteilt werden. Bei der Mittelwert-Varianz-Analyse kann gezeigt werden, dass jedes Portfolio mit minimaler Varianz bei einer bestimmten erwarteten Rendite (dh jedes effiziente Portfolio) als Kombination aus zwei beliebigen effizienten Portfolios gebildet werden kann. Wenn das optimale Portfolio des Anlegers eine erwartete Rendite aufweist, die zwischen den erwarteten Renditen zweier effizienter Benchmark-Portfolios liegt, kann das Portfolio dieses Anlegers als aus positiven Mengen der beiden Benchmark-Portfolios bestehend charakterisiert werden.

Kein risikofreier Vermögenswert

Um die Trennung von zwei Fonds in einem Kontext zu sehen, in dem kein risikofreier Vermögenswert unter Verwendung der Matrixalgebra verfügbar ist, sei die Varianz der Portfoliorendite und die Höhe der erwarteten Rendite des Portfolios, bei der die Varianz der Portfoliorendite minimiert werden soll abhängig davon, sei der Vektor der erwarteten Renditen der verfügbaren Vermögenswerte, sei der Vektor der Beträge, die in die verfügbaren Vermögenswerte aufgenommen werden sollen, sei der Betrag des Vermögens, der im Portfolio zugeordnet werden soll, und sei ein Vektor von Einsen. Dann kann das Problem der Minimierung der Varianz der Portfoliorendite bei einem bestimmten Niveau der erwarteten Portfoliorendite wie folgt angegeben werden $$

Minimieren $$ σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

vorbehaltlich

$$ X. T. r = μ {\ displaystyle X ^ {T} r = \ mu}

und

$$ X. T. 1 = W. {\ displaystyle X ^ {T} 1 = W}

wobei der hochgestellte Index die Transponierte einer Matrix bezeichnet. Die Varianz der Portfoliorendite in der Zielfunktion kann wie folgt geschrieben werden: Wo ist die positive definitive Kovarianzmatrix der Renditen der einzelnen Vermögenswerte? Der Lagrange für dieses eingeschränkte Optimierungsproblem (dessen Bedingungen zweiter Ordnung als erfüllt gezeigt werden können) ist $$

$$ L. = X. T. V. X. + 2 λ(( μ - - X. T. r) + 2 η(( W. - - X. T. 1), {\ Anzeigestil L = X ^ {T} VX + 2 \ Lambda (\ mu-X ^ {T} r) +2 \ eta (WX ^ {T} 1),}

mit Lagrange-Multiplikatoren und. Dies kann für den optimalen Vektor gelöst werden Asset Mengen durch Gleichsetzen auf null die Derivate mit Bezug auf, und vorläufig die Lösung Bedingung erster Ordnung für die in Bezug auf die und, unter Substitution von in die anderen Bedingungen erster Ordnung, die Lösung für und in Begriffe der Modellparameter und Ersetzen in die vorläufige Lösung für. Das Ergebnis ist $$

$$ X. Ö p t = W. Δ[(( r T. V. - - 1 r) V. - - 1 1 - -(( 1 T. V. - - 1 r) V. - - 1 r]] + μ Δ[(( 1 T. V. - - 1 1) V. - - 1 r - -(( r T. V. - - 1 1) V. - - 1 1]] {\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = {\ frac {W} {\ Delta}} [(r ^ {T} V ^ {- 1} r) V ^ {- 1} 1- (1 ^ {T} V ^ {- 1} r) V ^ {- 1} r] + {\ frac {\ mu} {\ Delta}} [(1 ^ {T} V ^ {- 1} 1) V ^ { -1} r- (r ^ {T} V ^ {- 1} 1) V ^ {- 1} 1]}

wo

$$Δ =(( r T. V. - - 1 r)(( 1 T. V. - - 1 1) - -(( r T. V. - - 1 1 ) 2 gt; 0. {\ displaystyle \ Delta = (r ^ {T} V ^ {- 1} r) (1 ^ {T} V ^ {- 1} 1) - (r ^ {T} V ^ {- 1} 1) ^ {2}gt; 0.}

Der Einfachheit halber kann dies kompakter geschrieben werden als

$$ X. Ö p t = α W. + β μ {\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu}

wobei und Parametervektoren sind, die auf den zugrunde liegenden Modellparametern basieren. Betrachten wir nun zwei Benchmark - effizienten Portfolios bei Benchmark erwarteten Renditen aufgebaut und und somit gegeben durch $$

$$ X. 1 Ö p t = α W. + β μ 1 {\ displaystyle X_ {1} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {1}}

und

$$ X. 2 Ö p t = α W. + β μ 2. {\ displaystyle X_ {2} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {2}.}

Das beliebige optimale Portfolio kann dann als gewichteter Durchschnitt von und wie folgt geschrieben werden: $$

$$ X. 3 Ö p t = α W. + β μ 3 = μ 3 - - μ 2 μ 1 - - μ 2 X. 1 Ö p t + μ 1 - - μ 3 μ 1 - - μ 2 X. 2 Ö p t. {\ displaystyle X_ {3} ^ {\ mathrm {opt}} = \ alpha W + \ beta \ mu _ {3} = {\ frac {\ mu _ {3} - \ mu _ {2}} {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}}} X_ {1} ^ {\ mathrm {opt}} + {\ frac {\ mu _ {1} - \ mu _ {3}} {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}}} X_ {2} ^ {\ mathrm {opt}}.}

Diese Gleichung beweist den Zwei-Fonds-Trennungssatz für die Mittelwert-Varianz-Analyse. Eine geometrische Interpretation finden Sie in der Markowitz-Kugel.

Ein risikofreier Vermögenswert

Wenn ein risikofreier Vermögenswert verfügbar ist, gilt erneut ein Zwei-Fonds-Trennungssatz. In diesem Fall kann jedoch einer der "Fonds" als sehr einfacher Fonds ausgewählt werden, der nur den risikofreien Vermögenswert enthält, und der andere Fonds kann als ein Fonds ausgewählt werden, der keine Bestände des risikofreien Vermögenswerts enthält. (Mit dem als "Geld" bezeichneten risikofreien Vermögenswert wird diese Form des Satzes als monetärer Trennungssatz bezeichnet.) Somit können effiziente Portfolios mit mittlerer Varianz einfach als eine Kombination von Beständen des risikofreien Vermögenswerts gebildet werden und Bestände eines bestimmten effizienten Fonds, der nur risikoreiche Vermögenswerte enthält. Die obige Ableitung gilt jedoch nicht, da bei einem risikofreien Vermögenswert die obige Kovarianzmatrix aller Anlagenrenditen eine Zeile und eine Spalte mit Nullen aufweisen und somit nicht invertierbar wäre. Stattdessen kann das Problem als eingerichtet werden $$

Minimieren $$ σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

vorbehaltlich

$$(( W. - - X. T. 1) r f + X. T. r = μ, {\ displaystyle (WX ^ {T} 1) r_ {f} + X ^ {T} r = \ mu,}

Wo ist die bekannte Rendite des risikofreien Vermögenswerts, ist jetzt der Vektor der Mengen, die in den risikobehafteten Vermögenswerten gehalten werden sollen, und ist der Vektor der erwarteten Renditen des risikofreien Vermögenswerts. Die linke Seite der letzten Gleichung ist die erwartete Rendite des Portfolios, da es sich um die Menge handelt, die im risikofreien Vermögenswert enthalten ist, wodurch die Beschränkung für die Addition von Vermögenswerten berücksichtigt wird, die im früheren Problem die Einbeziehung einer separaten Lagrange-Beschränkung erforderte. Die Zielfunktion kann wie folgt geschrieben werden: Dabei handelt es sich nur um die Kovarianzmatrix der riskanten Vermögenswerte. Es kann gezeigt werden, dass dieses Optimierungsproblem den optimalen Vektor für riskante Vermögensbestände ergibt $$

$$ X. Ö p t = (( μ - - W. r f ) (( r - - 1 r f ) T. V. - - 1 (( r - - 1 r f ) V. - - 1(( r - - 1 r f). {\ displaystyle X ^ {\ mathrm {opt}} = {\ frac {(\ mu -Wr_ {f})} {(r-1r_ {f}) ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f})}} V ^ {- 1} (r-1r_ {f}).}

Dies entspricht natürlich einem Nullvektor, wenn die Rendite des risikofreien Portfolios. In diesem Fall wird das gesamte Vermögen im risikofreien Vermögenswert gehalten. Es kann gezeigt werden, dass das Portfolio mit genau null Beständen des risikofreien Vermögenswerts zu und von gegeben ist $$

$$ X. ∗ = W. 1 T. V. - - 1 (( r - - 1 r f ) V. - - 1(( r - - 1 r f). {\ displaystyle X ^ {*} = {\ frac {W} {1 ^ {T} V ^ {- 1} (r-1r_ {f})}} V ^ {- 1} (r-1r_ {f} ).}

Es kann auch gezeigt werden (analog zu der Demonstration im obigen Fall mit zwei Investmentfonds), dass der riskante Vermögensvektor jedes Portfolios (dh für jeden Wert von ) als gewichtete Kombination des letzteren Vektors und des Nullvektors gebildet werden kann. Eine geometrische Interpretation finden Sie in der effizienten Grenze ohne risikofreies Asset. $$

Portfoliotrennung ohne Mittelwert-Varianz-Analyse

Wenn Anleger eine hyperbolische absolute Risikoaversion (HARA) haben (einschließlich der Energieversorgungsfunktion, der logarithmischen Funktion und der exponentiellen Nutzenfunktion ), können Trennungssätze ohne Verwendung der Mittelwert-Varianz-Analyse erhalten werden. Zum Beispiel haben David Cass und Joseph Stiglitz 1970 gezeigt, dass eine Geldtrennung von zwei Fonds gilt, wenn alle Anleger einen HARA-Nutzen mit demselben Exponenten haben.

In jüngerer Zeit hat im dynamischen Portfoliooptimierungsmodell von Çanakoğlu und Özekici die Höhe des Anfangsvermögens des Anlegers (das Unterscheidungsmerkmal der Anleger) keinen Einfluss auf die optimale Zusammensetzung des riskanten Teils des Portfolios. Ein ähnliches Ergebnis liefert Schmedders.

Verweise