Moderne Portfoliotheorie

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Mathematischer Rahmen für die Zusammenstellung eines Portfolios, das die erwartete Rendite für ein bestimmtes Risikoniveau maximiert"Portfolioanalyse" leitet hier weiter.Das Lehrbuch finden Sie unter Portfolioanalyse. Für Theoreme über die effiziente Grenze der mittleren Varianz siehe Theorem zur Trennung von Investmentfonds. Für eine Portfolioanalyse ohne Mittelwertvarianz siehe Marginal Conditional Stochastic Dominance.

Die moderne Portfoliotheorie ( MPT) oder Mittelwert-Varianz-Analyse ist ein mathematischer Rahmen für die Zusammenstellung eines Portfolios von Vermögenswerten, sodass die erwartete Rendite für ein bestimmtes Risikoniveau maximiert wird.Es ist eine Formalisierung und Erweiterung der Diversifikation beim Investieren, die Idee, dass der Besitz verschiedener Arten von finanziellen Vermögenswerten weniger riskant ist als der Besitz nur eines Typs.Die wichtigste Erkenntnis ist, dass das Risiko und die Rendite eines Vermögenswerts nicht von sich aus beurteilt werden sollten, sondern davon, wie es zum Gesamtrisiko und zur Gesamtrendite eines Portfolios beiträgt.Sie verwendet die Varianz der Vermögenspreise als Proxy für das Risiko.

Der Ökonom Harry Markowitz stellte MPT 1952 in einem Aufsatz vor, für den er später einen Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften erhielt. siehe Markowitz-Modell.

Inhalt

1 Mathematisches Modell
- 1.1 Risiko und erwartete Rendite
- 1.2 Diversifikation
- 1.3 Effiziente Grenze ohne risikofreies Vermögen
- 1.4 Satz von zwei Investmentfonds
- 1.5 Risikofreier Vermögenswert und Kapitalallokationslinie
2 Asset Pricing
- 2.1 Systematisches Risiko und spezifisches Risiko
- 2.2 Preismodell für Kapitalanlagen
3 Kritikpunkte
4 Erweiterungen
5 Verbindung mit der Rational-Choice-Theorie
6 Andere Anwendungen
- 6.1 Projektportfolios und andere "nicht finanzielle" Vermögenswerte
7 Siehe auch
8 Referenzen
9 Weiterführende Literatur
10 Externe Links

Mathematisches Modell

Risiko und erwartete Rendite

MPT geht davon aus, dass Anleger risikoavers sind, was bedeutet, dass Anleger bei zwei Portfolios mit derselben erwarteten Rendite das weniger riskante bevorzugen.Ein Anleger wird daher nur dann ein erhöhtes Risiko eingehen, wenn dies durch höhere erwartete Renditen kompensiert wird.Umgekehrt muss ein Anleger, der höhere erwartete Renditen wünscht, ein höheres Risiko eingehen.Der genaue Kompromiss wird nicht für alle Anleger gleich sein.Verschiedene Anleger bewerten den Kompromiss basierend auf den individuellen Merkmalen der Risikoaversion unterschiedlich.Die Implikation ist, dass ein rationaler Investor nicht in ein Portfolio investiert, wenn ein zweites Portfolio mit einem günstigeren Risiko-Rendite-Profil existiert - dh wenn für dieses Risiko ein alternatives Portfolio existiert, das bessere erwartete Renditen aufweist.

Unter dem Modell:

Die Portfoliorendite ist die anteilig gewichtete Kombination der Renditen der einzelnen Vermögenswerte.
Die Volatilität des Portfolios ist eine Funktion der Korrelationen ρ ij des Komponentenvermögens für alle Vermögenspaare ( i, j).

Im Allgemeinen:

Erwartete Rückkehr:

\operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad

E. ⁡ (( R. p) = ∑ ich w ich E. ⁡ (( R. ich)

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = \ sum _ {i} w_ {i} \ operatorname {E} (R_ {i}) \ quad}

\ operatorname {E} (R_ {p}) = \ sum _ {i} w_ {i} \ operatorname {E} (R_ {i}) \ quad

Woist die Rendite des Portfolios,ist die Rendite des Vermögenswerts i undist die Gewichtung des Komponentenvermögens(dh der Anteil des Vermögenswerts "i" im Portfolio).

R_{p}

R. p

{\ displaystyle R_ {p}}

R_ {p}

R_{i}

R. ich

{\ displaystyle R_ {i}}

R_ {i}

w_{i}

w ich

{\ displaystyle w_ {i}}

w_ {i}

ich

{\ displaystyle i}

ich

Varianz der Portfoliorendite:

\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}

σ p 2 = ∑ ich w ich 2 σ ich 2 + ∑ ich ∑ j ≠ ich w ich w j σ ich σ j ρ ich j

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} w_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} w_ {i} ^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2} + \ sum _ {i} \ sum _ {j \ neq i} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

Dabeiist die (Stichproben-) Standardabweichung der periodischen Renditen eines Vermögenswerts undder Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Vermögenswerte i und j.Alternativ kann der Ausdruck wie folgt geschrieben werden:

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

\rho _{ij}

ρ ich j

{\ displaystyle \ rho _ {ij}}

\ rho _ {ij}

\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}

σ p 2 = ∑ ich ∑ j w ich w j σ ich σ j ρ ich j

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ { ij}}

\ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}

wofüroder

\rho _{ij}=1

ρ ich j = 1

{\ displaystyle \ rho _ {ij} = 1}

\ rho _ {ij} = 1

i=j

ich = j

{\ displaystyle i = j}

{\ displaystyle i = j}

\sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}

σ p 2 = ∑ ich ∑ j w ich w j σ ich j

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij}}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i} \ sum _ {j} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij}}

wobeidie (Probe) Kovarianz der periodischen Rückkehr auf den beiden Vermögenswerte oder alternativ bezeichnet als,oder.

\sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}

σ ich j = σ ich σ j ρ ich j

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

\sigma (i,j)

σ (( ich, j)

{\ displaystyle \ sigma (i, j)}

{\ displaystyle \ sigma (i, j)}

{\text{cov}}_{ij}

cov ich j

{\ displaystyle {\ text {cov}} _ {ij}}

{\ displaystyle {\ text {cov}} _ {ij}}

{\text{cov}}(i,j)

cov (( ich, j)

{\ displaystyle {\ text {cov}} (i, j)}

{\ displaystyle {\ text {cov}} (i, j)}

Volatilität der Portfoliorendite (Standardabweichung):

\sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}

σ p = σ p 2

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ sigma _ {p} ^ {2}}}}

\ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ sigma _ {p} ^ {2}}}

Für einPortfolio mit zwei Vermögenswerten:

Portfoliorendite: $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).$ E. ⁡ (( R. p) = w EIN E. ⁡ (( R. EIN) + w B. E. ⁡ (( R. B.) = w EIN E. ⁡ (( R. EIN) + (( 1 - - w EIN) E. ⁡ (( R. B.).
{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B}) = w_ {A. } \ operatorname {E} (R_ {A}) + (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {B}).} $\ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {B}).$
Portfolio-Varianz: $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}$ σ p 2 = w EIN 2 σ EIN 2 + w B. 2 σ B. 2 + 2 w EIN w B. σ EIN σ B. ρ EIN B.
{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2 } + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rho _ {AB}} $\ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rho _ {AB}$

Für einPortfolio mit drei Vermögenswerten:

Portfoliorendite: $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})$ E. ⁡ (( R. p) = w EIN E. ⁡ (( R. EIN) + w B. E. ⁡ (( R. B.) + w C. E. ⁡ (( R. C.)
{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B}) + w_ {C. } \ operatorname {E} (R_ {C})} $\ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B}) + w_ {C} \ operatorname {E} (R_ {C})$
Portfolio-Varianz: $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}$ σ p 2 = w EIN 2 σ EIN 2 + w B. 2 σ B. 2 + w C. 2 σ C. 2 + 2 w EIN w B. σ EIN σ B. ρ EIN B. + 2 w EIN w C. σ EIN σ C. ρ EIN C. + 2 w B. w C. σ B. σ C. ρ B. C.
{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2 } + w_ {C} ^ {2} \ sigma _ {C} ^ {2} + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rho _ {AB} + 2w_ { A} w_ {C} \ sigma _ {A} \ sigma _ {C} \ rho _ {AC} + 2w_ {B} w_ {C} \ sigma _ {B} \ sigma _ {C} \ rho _ {BC }} $\ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + w_ {C} ^ {2} \ sigma _ {C} ^ {2} + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ rho _ {AB} + 2w_ {A} w_ {C} \ sigma _ {A} \ sigma _ {C} \ rho _ {AC} + 2w_ {B} w_ {C} \ sigma _ {B} \ sigma _ {C} \ rho _ {BC}$

Diversifikation

Ein Anleger kann das Portfoliorisiko einfach dadurch reduzieren, dass er Kombinationen von Instrumenten hält, die nicht perfekt positiv korreliert sind ( Korrelationskoeffizient ).Mit anderen Worten, Anleger können ihr Risiko für einzelne Vermögenswerte reduzieren, indem sie ein diversifiziertes Portfolio von Vermögenswerten halten.Die Diversifikation kann die gleiche erwartete Rendite des Portfolios bei reduziertem Risiko ermöglichen.Der Mittelwert-Varianz-Rahmen für die Erstellung optimaler Anlageportfolios wurde zuerst von Markowitz aufgestellt und seitdem von anderen Ökonomen und Mathematikern verstärkt und verbessert, die die Einschränkungen des Rahmens berücksichtigten. $-1\leq \rho _{ij}lt;1$

- - 1 ≤ ρ ich j lt; 1

{\ displaystyle -1 \ leq \ rho _ {ij} lt;1}

-1 \ leq \ rho _ {ij} lt;1

Wenn alle Asset-Paare Korrelationen von 0 aufweisen - sie sind vollkommen unkorreliert -, ist die Renditevarianz des Portfolios die Summe aller Assets des Quadrats des im Asset gehaltenen Bruchteils multipliziert mit der Renditevarianz des Assets (und die Standardabweichung des Portfolios ist die Quadratwurzel dieser Summe).

Wenn alle Asset-Paare Korrelationen von 1 aufweisen - sie sind perfekt positiv korreliert -, ist die Standardabweichung der Portfoliorendite die Summe der Standardabweichungen der Asset-Rendite, gewichtet mit den im Portfolio gehaltenen Brüchen.Für gegebene Portfoliogewichte und gegebene Standardabweichungen der Vermögensrenditen ergibt der Fall, dass alle Korrelationen 1 sind, die höchstmögliche Standardabweichung der Portfoliorendite.

Effiziente Grenze ohne risikofreies Vermögen

Hauptartikel: Effiziente Grenze Siehe auch: Portfoliooptimierung

Effiziente Grenze.Die Parabel wird manchmal als "Markowitz Bullet" bezeichnet und ist die effiziente Grenze, wenn kein risikofreier Vermögenswert verfügbar ist.Bei einem risikofreien Vermögenswert ist die gerade Linie die effiziente Grenze.Beachten Sie, dass die horizontale Achse als Varianz und nicht als Volatilität bezeichnet werden sollte.

Das MPT ist eine Mittelwert-Varianz-Theorie und vergleicht die erwartete (mittlere) Rendite eines Portfolios mit der Varianz desselben Portfolios.Das Bild zeigt die erwartete Rendite auf der vertikalen Achse, und die horizontale Achse sollte als Varianz anstelle der Standardabweichung (Volatilität) bezeichnet werden.Varianz ist das Quadrat der Volatilität.Der Return-Varianz-Raum wird manchmal als Raum der erwarteten Rendite gegenüber dem Risiko bezeichnet.Jede mögliche Kombination von riskanten Vermögenswerten kann in diesem risikobehafteten Renditebereich dargestellt werden, und die Sammlung all dieser möglichen Portfolios definiert eine Region in diesem Bereich.Die linke Grenze dieser Region ist parabolisch, und der obere Teil der parabolischen Grenze ist die effiziente Grenze, wenn kein risikofreier Vermögenswert vorhanden ist (manchmal als "Markowitz-Kugel" bezeichnet).Kombinationen entlang dieser Oberkante stellen Portfolios dar (einschließlich keiner Bestände des risikofreien Vermögenswerts), für die bei einer bestimmten erwarteten Rendite das geringste Risiko besteht.Entsprechend stellt ein Portfolio an der effizienten Grenze die Kombination dar, die die bestmögliche erwartete Rendite für ein bestimmtes Risikoniveau bietet.Die Tangente an den oberen Teil der hyperbolischen Grenze ist die Kapitalallokationslinie (CAL).

Matrizen werden für die Berechnung der effizienten Grenze bevorzugt.

In Matrixform wird für eine gegebene "Risikotoleranz"die effiziente Grenze gefunden, indem der folgende Ausdruck minimiert wird: $q\in [0,\infty)$

q ∈ [ 0, ∞)

{\ displaystyle q \ in [0, \ infty)}

q \ in [0, \ infty)

w^{T}\Sigma w-q*R^{T}w

w T. Σ w - - q ∗ R. T. w

{\ displaystyle w ^ {T} \ Sigma wq * R ^ {T} w}

w ^ {T} \ Sigma wq * R ^ {T} w

w
{\ displaystyle w} $w$ Portfolio ist ein Vektor von Gewichten und(Die Gewichte können negativ sein, was bedeutet,dass dieAnleger kurz eine Sicherheit.); $\sum _{i}w_{i}=1.$ ∑ ich w ich = 1.
{\ displaystyle \ sum _ {i} w_ {i} = 1.} $\ sum _ {i} w_ {i} = 1.$
$\Sigma$ Σ
{\ displaystyle \ Sigma} $\ Sigma$ ist die Kovarianzmatrix für die Renditen der Vermögenswerte im Portfolio;
$q\geq 0$ q ≥ 0
{\ displaystyle q \ geq 0} $q \ geq 0$ ist ein "Risikotoleranz" -Faktor, bei dem 0 zu einem Portfolio mit minimalem Risiko führt unddas Portfolio unendlich weit an der Grenze liegt, wobei sowohl die erwartete Rendite als auch das Risiko unbegrenzt sind.und $\infty$ ∞
{\ displaystyle \ infty} $\ infty$
R.
{\ displaystyle R} $R.$ ist ein Vektor der erwarteten Renditen.
$w^{T}\Sigma w$ w T. Σ w
{\ displaystyle w ^ {T} \ Sigma w} $w ^ {T} \ Sigma w$ ist die Varianz der Portfoliorendite.
$R^{T}w$ R. T. w
{\ displaystyle R ^ {T} w} $R ^ {T} w$ ist die erwartete Rendite des Portfolios.

Die obige Optimierung findet den Punkt an der Grenze, an dem die Umkehrung der Steigung der Grenze q wäre,wenn die Portfoliorenditevarianz anstelle der Standardabweichung horizontal dargestellt würde.Die Grenze in ihrer Gesamtheit ist parametrisch für q.

Harry Markowitz entwickelte ein spezielles Verfahren zur Lösung des oben genannten Problems, den so genannten Critical-Line-Algorithmus, der zusätzliche lineare Einschränkungen, Ober- und Untergrenzen für Assets verarbeiten kann und nachweislich mit einer semi-positiven definitiven Kovarianzmatrix funktioniert.Beispiele für die Implementierung des Algorithmus für kritische Linien gibt es in Visual Basic für Applikationen, in JavaScript und in einigen anderen Sprachen.

Viele Softwarepakete, einschließlich MATLAB, Microsoft Excel, Mathematica und R, bieten generische Optimierungsroutinen, sodass die Verwendung dieser zur Lösung des oben genannten Problems mit möglichen Einschränkungen möglich ist (schlechte numerische Genauigkeit, Erfordernis einer positiven Bestimmtheit der Kovarianzmatrix)..).

Ein alternativer Ansatz zur Festlegung der effizienten Grenze besteht darin, dies parametrisch anhand der erwarteten Portfoliorendite zu tun.Diese Version des Problems erfordert eine Minimierung $R^{T}w.$

R. T. w.

{\ displaystyle R ^ {T} w.}

R ^ {T} w.

w^{T}\Sigma w

w T. Σ w

{\ displaystyle w ^ {T} \ Sigma w}

w ^ {T} \ Sigma w

vorbehaltlich

R^{T}w=\mu

R. T. w = μ

{\ displaystyle R ^ {T} w = \ mu}

R ^ {T} w = \ mu

für Parameter.Dieses Problem lässt sich leicht mit einem Lagrange-Multiplikator lösen, der zu folgendem linearen Gleichungssystem führt: $\mu$

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

{\begin{bmatrix}2\Sigma amp;-Ramp;-{\bf {1}}\\R^{T}amp;0amp;0\\{\bf {1}}^{T}amp;0amp;0\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}

[

2 Σ - - R. - - 1 R. T. 0 0 1 T. 0 0 ]] ∗ [

w λ 1 λ 2 ]] = [

0 μ 1 ]]

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 \ Sigma amp; -R amp; - {\ bf {1}} \\ R ^ {T} amp; 0 amp; 0 \\ {\ bf {1}} ^ {T} amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix} } * {\ begin {bmatrix} w \\\ lambda _ {1} \\\ lambda _ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\\ mu \\ 1 \ end {bmatrix }}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 \ Sigma amp; -R amp; - {\ bf {1}} \\ R ^ {T} amp; 0 amp; 0 \\ {\ bf {1}} ^ {T} amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix} } * {\ begin {bmatrix} w \\\ lambda _ {1} \\\ lambda _ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\\ mu \\ 1 \ end {bmatrix }}}

Satz von zwei Investmentfonds

Ein wesentliches Ergebnis der obigen Analyse ist der Satz von zwei Investmentfonds. Dieser Satz besagt, dass jedes Portfolio an der effizienten Grenze erzeugt werden kann, indem eine Kombination von zwei gegebenen Portfolios an der Grenze gehalten wird;Die beiden letztgenannten Portfolios sind die "Investmentfonds" im Namen des Theorems.Ohne einen risikofreien Vermögenswert kann ein Anleger jedes gewünschte effiziente Portfolio erzielen, selbst wenn nur ein Paar effizienter Investmentfonds verfügbar ist.Befindet sich der Standort des gewünschten Portfolios an der Grenze zwischen den Standorten der beiden Investmentfonds, werden beide Investmentfonds in positiven Mengen gehalten.Wenn das gewünschte Portfolio außerhalb des von den beiden Investmentfonds festgelegten Bereichs liegt, muss einer der Investmentfonds leerverkauft werden (in negativer Menge gehalten), während der Umfang der Anlage in den anderen Investmentfonds größer sein muss als der verfügbare Betrag Investition (der Überschuss wird durch die Aufnahme von Krediten aus dem anderen Fonds finanziert).

Risikofreier Vermögenswert und Kapitalallokationslinie

Hauptartikel: Kapitalallokationslinie

Der risikofreie Vermögenswert ist der (hypothetische) Vermögenswert, der einen risikofreien Zinssatz zahlt.In der Praxis werden kurzfristige Staatspapiere (wie US- Schatzwechsel ) als risikofreier Vermögenswert verwendet, da sie einen festen Zinssatz zahlen und ein außergewöhnlich geringes Ausfallrisiko aufweisen. Der risikofreie Vermögenswert weist keine Renditevarianz auf (ist daher risikofrei).Es ist auch nicht mit einem anderen Vermögenswert korreliert (per Definition, da seine Varianz Null ist).Wenn es mit einem anderen Vermögenswert oder Portfolio von Vermögenswerten kombiniert wird, hängt die Änderung der Rendite daher linear mit der Änderung des Risikos zusammen, da die Anteile in der Kombination variieren.

Wenn ein risikofreier Vermögenswert eingeführt wird, ist die in der Abbildung gezeigte halbe Linie die neue effiziente Grenze.Es betrifft die Parabel des reinen Risikoportfolios mit der höchsten Sharpe-Ratio. Sein vertikaler Abschnitt stellt ein Portfolio dar, das zu 100% an dem risikofreien Vermögenswert beteiligt ist.Die Tangentialität mit der Parabel stellt ein Portfolio ohne risikofreie Bestände dar, und 100% der im Portfolio gehaltenen Vermögenswerte befinden sich zum Tangentialitätspunkt.Punkte zwischen diesen Punkten sind Portfolios, die positive Beträge sowohl des Portfolios für riskante Tangentialität als auch des risikofreien Vermögenswerts enthalten.und Punkte auf der halben Linie jenseits des Tangentialitätspunkts sind gehebelte Portfolios, die negative Bestände des risikofreien Vermögenswerts (letzterer wurdeleerverkauft - mit anderen Worten, der Anleger hat Kredite zum risikofreien Zinssatz aufgenommen) und einen investierten Betrag beinhalten im Tangentialportfolio mehr als 100% des Anfangskapitals des Anlegers.Diese effiziente Halblinie wird als Kapitalallokationslinie (CAL) bezeichnet, und ihre Formel kann wie folgt dargestellt werden

E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.

E. (( R. C.) = R. F. + σ C. E. (( R. P.) - - R. F. σ P..

{\ displaystyle E (R_ {C}) = R_ {F} + \ sigma _ {C} {\ frac {E (R_ {P}) - R_ {F}} {\ sigma _ {P}}}.}

E (R_ {C}) = R_ {F} + \ sigma _ {C} {\ frac {E (R_ {P}) - R_ {F}} {\ sigma _ {P}}}.

In dieser Formel P das Teilportfolio von riskanten Anlagen an Tangente mit der Markowitz Kugel ist, F ist die risikofreie Anlage und C ist eine Kombination von Portfolios P und F.

Durch das Diagramm hat die Einführung des risikofreien Vermögenswerts als möglicher Bestandteil des Portfolios die Bandbreite der verfügbaren Kombinationen aus Risiko und erwarteter Rendite verbessert, da die halbe Linie überall außer im Tangentialportfolio eine höhere erwartete Rendite als die Hyperbel ergibt tut auf jeder möglichen Risikostufe.Die Tatsache, dass alle Punkte auf dem linearen effizienten Ort durch eine Kombination von Beständen des risikofreien Vermögenswerts und des Tangentialportfolios erreicht werden können, wird als Theorem eines Investmentfonds bezeichnet, wobei der genannte Investmentfonds das Tangentialportfolio ist.

Asset Pricing

Die obige Analyse beschreibt das optimale Verhalten eines einzelnen Anlegers. Die Asset-Pricing-Theorie baut auf dieser Analyse folgendermaßen auf.Da jeder die Risikoaktiva in identischen Anteilen zueinander hält - nämlich in den vom Tangentialportfolio angegebenen Anteilen -, werden sich im Marktgleichgewicht die Preise der Risikoaktiva und damit ihre erwarteten Renditen so anpassen, dass die Verhältnisse im Tangentialportfolio die gleichen Gleiches gilt für die Kennzahlen, in denen die risikoreichen Vermögenswerte an den Markt geliefert werden.Somit entsprechen die relativen Lieferungen den relativen Anforderungen.MPT leitet in diesem Zusammenhang die erforderliche erwartete Rendite für einen Vermögenswert mit korrektem Preis ab.

Systematisches Risiko und spezifisches Risiko

Spezifisches Risiko ist das mit einzelnen Vermögenswerten verbundene Risiko - innerhalb eines Portfolios können diese Risiken durch Diversifikation reduziert werden (spezifische Risiken "aufheben").Das spezifische Risiko wird auch als diversifizierbares, einzigartiges, unsystematisches oder eigenwilliges Risiko bezeichnet. Das systematische Risiko (auch bekannt als Portfoliorisiko oder Marktrisiko) bezieht sich auf das Risiko, das allen Wertpapieren gemeinsam ist. Mit Ausnahme des Leerverkaufs, wie unten angegeben, kann das systematische Risiko nicht innerhalb eines Marktes diversifiziert werden.Innerhalb des Marktportfolios wird das vermögensspezifische Risiko so weit wie möglich diversifiziert.Das systematische Risiko wird daher mit dem Risiko (Standardabweichung) des Marktportfolios gleichgesetzt.

Da ein Wertpapier nur gekauft wird, wenn es die vom Risiko erwarteten Renditeeigenschaften des Marktportfolios verbessert, ist das relevante Maß für das Risiko eines Wertpapiers das Risiko, das es dem Marktportfolio hinzufügt, und nicht das Risiko für sich.In diesem Zusammenhang werden die Volatilität des Vermögenswerts und seine Korrelation mit dem Marktportfolio historisch beobachtet und daher angegeben.(Es gibt verschiedene Ansätze für die Preisgestaltung von Vermögenswerten, bei denen versucht wird, Vermögenswerte durch Modellierung der stochastischen Eigenschaften der Momente der Rendite von Vermögenswerten zu bewerten. Diese werden allgemein als bedingte Modelle für die Preisgestaltung von Vermögenswerten bezeichnet.)

Systematische Risiken innerhalb eines Marktes können durch die Strategie gesteuert werden, sowohl Long- als auch Short-Positionen innerhalb eines Portfolios zu nutzen und so ein "marktneutrales" Portfolio zu schaffen.Marktneutrale Portfolios werden daher nicht mit breiteren Marktindizes korreliert.

Preismodell für Kapitalanlagen

Hauptartikel: Preismodell für Kapitalanlagen

Die Vermögensrendite hängt von dem Betrag ab, der heute für den Vermögenswert gezahlt wird.Der gezahlte Preis muss sicherstellen, dass sich die Risiko- / Renditeeigenschaften des Marktportfolios verbessern, wenn der Vermögenswert hinzugefügt wird.Das CAPM ist ein Modell, das die theoretisch erforderliche erwartete Rendite (dh den Abzinsungssatz) für einen Vermögenswert auf einem Markt unter Berücksichtigung des risikofreien Zinssatzes, der den Anlegern zur Verfügung steht, und des Risikos des gesamten Marktes ableitet.Das CAPM wird normalerweise ausgedrückt:

\operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})

E. ⁡ (( R. ich) = R. f + β ich (( E. ⁡ (( R. m) - - R. f)

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {i}) = R_ {f} + \ beta _ {i} (\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})}

\ operatorname {E} (R_ {i}) = R_ {f} + \ beta _ {i} (\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})

β, Beta, ist das Maß für die Empfindlichkeit von Vermögenswerten gegenüber einer Bewegung auf dem Gesamtmarkt.Beta wird normalerweise durch Regression historischer Daten gefunden.Betas über einem Wert bedeuten ein überdurchschnittliches "Risiko" im Sinne des Beitrags des Vermögenswerts zum Gesamtportfoliorisiko.Betas unter eins weisen auf einen unterdurchschnittlichen Risikobeitrag hin.
$(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})$ (( E. ⁡ (( R. m) - - R. f)
{\ displaystyle (\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})} $(\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})$ ist die Marktprämie, die erwartete Überschussrendite der erwarteten Rendite des Marktportfolios gegenüber dem risikofreien Zinssatz.

Die Ableitung ist wie folgt:

(1) Die zusätzlichen Auswirkungen auf das Risiko und die erwartete Rendite, wenn ein zusätzlicher risikoreicher Vermögenswert a zum Marktportfolio m hinzugefügt wird, ergeben sich aus den Formeln für ein Portfolio mit zwei Vermögenswerten.Diese Ergebnisse werden verwendet, um den vermögensgerechten Abzinsungssatz abzuleiten.

Risiko des aktualisierten Marktportfolios = $(w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])$ (( w m 2 σ m 2 + [ w ein 2 σ ein 2 + 2 w m w ein ρ ein m σ ein σ m ]])
{\ displaystyle (w_ {m} ^ {2} \ sigma _ {m} ^ {2} + [w_ {a} ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + 2w_ {m} w_ {a } \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}])} $(w_ {m} ^ {2} \ sigma _ {m} ^ {2} + [w_ {a} ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + 2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}])$

Daher erhöht sich das Risiko zum Portfolio =

[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]

[ w ein 2 σ ein 2 + 2 w m w ein ρ ein m σ ein σ m ]]

{\ displaystyle [w_ {a} ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + 2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}] }}

[w_ {a} ^ {2} \ sigma _ {a} ^ {2} + 2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}]

Da das Gewicht des Vermögenswerts jedoch relativ gering sein wird,

w_{a}^{2}\approx 0

w ein 2 ≈ 0

{\ displaystyle w_ {a} ^ {2} \ ca. 0}

w_ {a} ^ {2} \ ca. 0

dh zusätzliches Risiko =

[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad

[ 2 w m w ein ρ ein m σ ein σ m ]]

{\ displaystyle [2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}] \ quad}

[2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}] \ quad

Erwartete Rendite des Marktportfolios = $(w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])$ (( w m E. ⁡ (( R. m) + [ w ein E. ⁡ (( R. ein) ]])
{\ displaystyle (w_ {m} \ operatorname {E} (R_ {m}) + [w_ {a} \ operatorname {E} (R_ {a})])} $(w_ {m} \ operatorname {E} (R_ {m}) + [w_ {a} \ operatorname {E} (R_ {a})])$

Daher zusätzliche erwartete Rendite =

[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]

[ w ein E. ⁡ (( R. ein) ]]

{\ displaystyle [w_ {a} \ operatorname {E} (R_ {a})]}

[w_ {a} \ operatorname {E} (R_ {a})]

(2) Wenn ein Vermögenswert a korrekt bewertet wird, entspricht die Verbesserung seines Verhältnisses von Risiko zu erwarteter Rendite, die durch Hinzufügen zum Marktportfolio m erzieltwird, mindestens den Gewinnen, die sich aus der Ausgabe dieses Geldes für eine erhöhte Beteiligung an ergeben das Marktportfolio.Es wird davon ausgegangen, dass der Anleger den Vermögenswert mit zum risikofreien Zinssatz geliehenen Mitteln kauft.das ist rational wenn. $R_{f}$

R. f

{\ displaystyle R_ {f}}

R_ {f}

\operatorname {E} (R_{a})gt;R_{f}

E. ⁡ (( R. ein) gt; R. f

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {a})gt; R_ {f}}

\ operatorname {E} (R_ {a})gt; R_ {f}

So:

[w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]

[ w ein (( E. ⁡ (( R. ein) - - R. f) ]] /. [ 2 w m w ein ρ ein m σ ein σ m ]] = [ w ein (( E. ⁡ (( R. m) - - R. f) ]] /. [ 2 w m w ein σ m σ m ]]

{\ displaystyle [w_ {a} (\ operatorname {E} (R_ {a}) - R_ {f})] / [2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}] = [w_ {a} (\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})] / [2w_ {m} w_ {a} \ sigma _ {m} \ sigma _ {m}]}

[w_ {a} (\ operatorname {E} (R_ {a}) - R_ {f})] / [2w_ {m} w_ {a} \ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ { m}] = [w_ {a} (\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f})] / [2w_ {m} w_ {a} \ sigma _ {m} \ sigma _ {m} ]]

dh:

[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]

[ E. ⁡ (( R. ein) ]] = R. f + [ E. ⁡ (( R. m) - - R. f ]] ∗ [ ρ ein m σ ein σ m ]] /. [ σ m σ m ]]

{\ displaystyle [\ operatorname {E} (R_ {a})] = R_ {f} + [\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f}] * [\ rho _ {am} \ sigma _ {a} \ sigma _ {m}] / [\ sigma _ {m} \ sigma _ {m}]}

[\ operatorname {E} (R_ {a})] = R_ {f} + [\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f}] * [\ rho _ {am} \ sigma _ {a } \ sigma _ {m}] / [\ sigma _ {m} \ sigma _ {m}]

dh:

[\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]

[ E. ⁡ (( R. ein) ]] = R. f + [ E. ⁡ (( R. m) - - R. f ]] ∗ [ σ ein m ]] /. [ σ m m ]]

{\ displaystyle [\ operatorname {E} (R_ {a})] = R_ {f} + [\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f}] * [\ sigma _ {am}] / [\ sigma _ {mm}]}

[\ operatorname {E} (R_ {a})] = R_ {f} + [\ operatorname {E} (R_ {m}) - R_ {f}] * [\ sigma _ {am}] / [\ sigma _ {mm}]

[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad

[ σ ein m ]] /. [ σ m m ]]

{\ displaystyle [\ sigma _ {am}] / [\ sigma _ {mm}] \ quad}

[\ sigma _ {am}] / [\ sigma _ {mm}] \ quad

ist die "Beta"-Rendite - die Kovarianz zwischen der Rendite des Vermögenswerts und der Marktrendite geteilt durch die Varianz der Marktrendite - dh die Empfindlichkeit des Vermögenspreises gegenüber Bewegungen des Wertes des Marktportfolios.

\beta

{\ displaystyle \ beta}

\Beta

Diese Gleichung kann unterVerwendung der folgenden Regressionsgleichung statistisch geschätzt werden:

\mathrm {SCL}:R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}

S. C. L.:: R. ich, t - - R. f = α ich + β ich (( R. M., t - - R. f) + ϵ ich, t

{\ displaystyle \ mathrm {SCL}: R_ {i, t} -R_ {f} = \ alpha _ {i} + \ beta _ {i} \, (R_ {M, t} -R_ {f}) + \ epsilon _ {i, t} {\ frac {} {}}}

\ mathrm {SCL}: R_ {i, t} -R_ {f} = \ alpha _ {i} + \ beta _ {i} \, (R_ {M, t} -R_ {f}) + \ epsilon _ {i, t} {\ frac {} {}}

Dabei wird α i als Alpha des Vermögenswerts bezeichnet, β i als Beta-Koeffizient des Vermögenswertsund SCL als Sicherheitscharakteristik.

Sobald die erwartete Rendite eines Vermögenswertsmithilfe von CAPM berechnet wurde, können die zukünftigen Cashflows des Vermögenswertsmit diesem Satz aufihren Barwert abgezinst werden, um den korrekten Preis für den Vermögenswert zu ermitteln.Eine risikoreichere Aktie hat ein höheres Beta und wird mit einem höheren Zinssatz abgezinst.weniger sensible Aktien haben niedrigere Betas und werden zu einem niedrigeren Satz abgezinst.Theoretisch wird ein Vermögenswert korrekt bewertet, wenn sein beobachteter Preis dem Wert entspricht, der unter Verwendung des von CAPM abgeleiteten Abzinsungssatzes berechnet wurde.Wenn der beobachtete Preis höher als die Bewertung ist, ist der Vermögenswert überbewertet.es ist für einen zu niedrigen Preis unterbewertet. $E(R_{i})$

E. (( R. ich)

{\ displaystyle E (R_ {i})}

E (R_ {i})

Kritik

Trotz seiner theoretischen Bedeutung stellen Kritiker von MPT die Frage, ob es sich um ein ideales Anlageinstrument handelt, da sein Modell der Finanzmärkte in vielerlei Hinsicht nicht mit der realen Welt übereinstimmt.

Die von MPT verwendeten Risiko-, Rendite- und Korrelationsmaße basieren auf erwarteten Werten, was bedeutet, dass es sich um statistische Aussagen über die Zukunft handelt (der erwartete Wert der Renditen ist in den obigen Gleichungen explizit und in den Definitionen von Varianz und Kovarianz implizit enthalten)..Solche Maßnahmen können häufig nicht die tatsächlichen statistischen Merkmale von Risiko und Rendite erfassen, die häufig stark verzerrten Verteilungen folgen (z. B. der logarithmischen Normalverteilung ), und können neben einer verringerten Volatilität auch zu einem überhöhten Renditewachstum führen.In der Praxis müssen Anleger diese Werte in den Gleichungen durch Vorhersagen ersetzen, die auf historischen Messungen der Vermögensrendite und der Volatilität basieren.Sehr oft berücksichtigen solche erwarteten Werte keine neuen Umstände, die zum Zeitpunkt der Generierung der historischen Daten nicht vorlagen.

Grundsätzlich sind Anleger nicht in der Lage, wichtige Parameter aus früheren Marktdaten zu schätzen, da MPT versucht, das Risiko im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit von Verlusten zu modellieren, aber nichts darüber aussagt, warum diese Verluste auftreten könnten.Die verwendeten Risikomessungen sind probabilistischer Natur und nicht struktureller Natur.Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu vielen technischen Ansätzen für das Risikomanagement.

Optionstheorie und MPT weisen mindestens einen wichtigen konzeptionellen Unterschied zur probabilistischen Risikobewertung von Kernkraftwerken auf.Ein PRA ist das, was Ökonomen als Strukturmodell bezeichnen würden. Die Komponenten eines Systems und ihre Beziehungen werden in Monte-Carlo-Simulationen modelliert.Wenn das Ventil X ausfällt, führt dies zu einem Gegendruckverlust an der Pumpe Y, was zu einem Abfall des Durchflusses zum Behälter Z usw. führt.

In der Black-Scholes- Gleichung und im MPT gibt es jedoch keinen Versuch, Preisänderungen eine zugrunde liegende Struktur zu erklären.Verschiedene Ergebnisse erhalten einfach Wahrscheinlichkeiten.Und im Gegensatz zur PRAgibt es keine Möglichkeit, die Chancen zu berechnen, wenn es keine Vorgeschichte eines bestimmten Ereignisses auf Systemebene wie eine Liquiditätskrise gibt.Wenn Nuklearingenieure das Risikomanagement auf diese Weise betreiben würden, könnten sie die Wahrscheinlichkeit einer Kernschmelze in einer bestimmten Anlage erst berechnen, wenn mehrere ähnliche Ereignisse in derselben Reaktorkonstruktion aufgetreten wären.

- Douglas W. Hubbard, "Das Scheitern des Risikomanagements", p.67, John Wiley amp; Sons, 2009. ISBN 978-0-470-38795-5

Mathematische Risikomessungen sind auch nur insoweit nützlich, als sie die wahren Bedenken der Anleger widerspiegeln. Es macht keinen Sinn, eine Variable zu minimieren, die in der Praxis niemanden interessiert.Insbesondere ist die Varianz ein symmetrisches Maß, das ungewöhnlich hohe Renditen ebenso riskant zählt wie ungewöhnlich niedrige Renditen.Das psychologische Phänomen der Verlustaversion ist die Idee, dass Anleger mehr über Verluste als über Gewinne besorgt sind, was bedeutet, dass unser intuitives Risikokonzept grundsätzlich asymmetrischer Natur ist.Dortkönntenviele andere Risikomaßnahmen (wie kohärente Risikomaßnahmen ) die wahren Präferenzen der Anleger besser widerspiegeln.

Die moderne Portfoliotheorie wurde ebenfalls kritisiert, weil sie davon ausgeht, dass die Renditen einer Gaußschen Verteilung folgen.Bereits in den 1960er Jahrenzeigten Benoit Mandelbrot und Eugene Fama die Unzulänglichkeit dieser Annahme und schlugenstattdessendie Verwendung allgemeinerer stabiler Verteilungen vor. Stefan Mittnik und Svetlozar Rachev präsentierten Strategien zur Ableitung optimaler Portfolios in solchen Umgebungen.In jüngerer Zeit hat Nassim Nicholas Taleb auch die moderne Portfoliotheorie aus diesem Grund kritisiert und geschrieben:

Nach dem Börsencrash (1987) belohnten sie zwei Theoretiker, Harry Markowitz und William Sharpe, die wunderschöne platonische Modelle auf Gaußscher Basis bauten und zur sogenannten modernen Portfoliotheorie beitrugen.Wenn Sie einfach ihre Gaußschen Annahmen entfernen und die Preise als skalierbar behandeln, bleibt Ihnen heiße Luft.Das Nobelkomitee hätte die Modelle Sharpe und Markowitz testen können - sie wirken wie im Internet verkaufte Quacksalber -, aber niemand in Stockholm scheint darüber nachgedacht zu haben.

- -

Contrarian / Value-Anleger zeichnen sich in der Regel nicht für die moderne Portfoliotheorie aus, da diese von der Efficient Market Hypothesis abhängt und Kursschwankungen als Ersatz für das Risiko verwendet.

Erweiterungen

Seit der Einführung von MPT im Jahr 1952 wurden viele Versuche unternommen, das Modell zu verbessern, insbesondere durch Verwendung realistischerer Annahmen.

Die postmoderne Portfoliotheorie erweitert die MPT durch nicht normalverteilte, asymmetrische und fettschwere Risikomessungen.Dies hilft bei einigen dieser Probleme, bei anderen jedoch nicht.

Die Black-Litterman-Modelloptimierung ist eine Erweiterung der uneingeschränkten Markowitz-Optimierung, die relative und absolute „Ansichten“ zu Inputs von Risiko und Rendite von beinhaltet.

Verbindung mit der Rational-Choice-Theorie

Moderne Portfoliotheorie ist unvereinbar mit denwichtigsten Axiome der Rational -Choice -Theorie, vor allem mit Monotonie Axiom, das besagt, wenn dieInvestition in dasPortfolio X wird mit einer Wahrscheinlichkeit, mehr Geld,als Investitionen in dasPortfolio zurückkehren Y, dann istein rationaler Investor sollte lieber X zu Y. Im Gegensatz dazu basiert die moderne Portfoliotheorie auf einem anderen Axiom, das als Varianzaversion bezeichnet wird, und kann empfehlen, in Y zu investieren, da es eine geringere Varianz aufweist.Maccheroni et al.beschrieben die Auswahltheorie, die der modernen Portfoliotheorie am nächsten kommt und gleichzeitig das Axotom der Monotonie erfüllt.Alternativ ist die Mittelwertabweichungsanalyse eine Rational-Choice-Theorie, die sich aus dem Ersetzen der Varianz durch ein geeignetes Abweichungsrisikomaß ergibt.

Andere Anwendungen

In den 1970er Jahren fanden Konzepte von MPT Eingang in die regionale Wissenschaft. In einer Reihe wegweisender Arbeiten modellierte Michael Conroy die Erwerbsbevölkerung in der Wirtschaft mithilfe portfoliotheoretischer Methoden, um das Wachstum und die Variabilität der Erwerbsbevölkerung zu untersuchen.Es folgte eine lange Literatur zum Zusammenhang zwischen Wirtschaftswachstum und Volatilität.

In jüngerer Zeit wurde die moderne Portfoliotheorie verwendet, um das Selbstkonzept in der Sozialpsychologie zu modellieren.Wenn die Selbstattribute, aus denen sich das Selbstkonzept zusammensetzt, ein gut diversifiziertes Portfolio darstellen, sollten psychologische Ergebnisse auf individueller Ebene wie Stimmung und Selbstwertgefühl stabiler sein als wenn das Selbstkonzept nicht diversifiziert ist.Diese Vorhersage wurde in Studien mit menschlichen Probanden bestätigt.

In jüngster Zeit wurde die moderne Portfoliotheorie angewendet, um die Unsicherheit und Korrelation zwischen Dokumenten beim Abrufen von Informationen zu modellieren.Bei einer Abfrage besteht das Ziel darin, die Gesamtrelevanz einer Rangliste von Dokumenten zu maximieren und gleichzeitig die Gesamtunsicherheit der Rangliste zu minimieren.

Projektportfolios und andere "nicht finanzielle" Vermögenswerte

Einige Experten wenden MPT neben Finanzinstrumenten auch auf Portfolios von Projekten und anderen Vermögenswerten an.Wenn MPT außerhalb traditioneller Finanzportfolios angewendet wird, müssen einige Unterschiede zwischen den verschiedenen Arten von Portfolios berücksichtigt werden.

Die Vermögenswerte in Finanzportfolios sind aus praktischen Gründen kontinuierlich teilbar, während Portfolios von Projekten "klumpig" sind.Während wir beispielsweise berechnen können, dass die optimale Portfolio-Position für 3 Aktien beispielsweise 44%, 35%, 21% beträgt, können wir durch die optimale Position für ein Projektportfolio möglicherweise nicht einfach den für ein Projekt ausgegebenen Betrag ändern.Projekte können alles oder nichts sein oder zumindest logische Einheiten haben, die nicht getrennt werden können.Eine Portfoliooptimierungsmethode müsste die Diskretion von Projekten berücksichtigen.
Das Vermögen von Finanzportfolios ist liquide;Sie können jederzeit bewertet oder neu bewertet werden.Die Möglichkeiten zum Starten neuer Projekte können jedoch begrenzt sein und in begrenzten Zeitfenstern auftreten.Bereits initiierte Projekte können nicht ohne Verlust der versunkenen Kosten abgebrochen werden(dh es gibt nur einen geringen oder keinen Wiederherstellungs- / Restwert eines halbfertigen Projekts).

Keines davon schließt notwendigerweise die Möglichkeit der Verwendung von MPT und solchen Portfolios aus.Sie weisen lediglich auf die Notwendigkeit hin, die Optimierung mit einem zusätzlichen Satz mathematisch ausgedrückter Einschränkungen durchzuführen, die normalerweise nicht für Finanzportfolios gelten.

Darüber hinaus sind einige der einfachsten Elemente der modernen Portfoliotheorie auf praktisch jede Art von Portfolio anwendbar.Das Konzept der Erfassung der Risikotoleranz eines Anlegers durch Dokumentation, wie viel Risiko für eine bestimmte Rendite akzeptabel ist, kann auf eine Vielzahl von Entscheidungsanalyseproblemen angewendet werden.MPT verwendet die historische Varianz als Maß für das Risiko, aber Portfolios von Vermögenswerten wie Großprojekten weisen keine genau definierte "historische Varianz" auf.In diesem Fall kann die MPT-Investitionsgrenze allgemeiner ausgedrückt werden als "Chance auf einen ROI, der unter den Kapitalkosten liegt" oder "Chance, mehr als die Hälfte der Investition zu verlieren".Wenn das Risiko in Bezug auf die Unsicherheit über Prognosen und mögliche Verluste besteht, ist das Konzept auf verschiedene Arten von Investitionen übertragbar.

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Lintner, John (1965)."Die Bewertung von Risikoaktiva und die Auswahl riskanter Anlagen in Aktienportfolios und Kapitalbudgets". Die Überprüfung der Wirtschaft und Statistik. 47 (1): 13–39. doi : 10.2307 / 1924119. JSTOR 1924119.
Sharpe, William F. (1964). "Kapitalanlagenpreise: Eine Theorie des Marktgleichgewichts unter Risikobedingungen". Journal of Finance. 19 (3): 425–442. doi : 10.2307 / 2977928. hdl : 10.1111 / j.1540-6261.1964.tb02865.x. JSTOR 2977928.
Tobin, James (1958). "Liquiditätspräferenz als Risikoverhalten" (PDF). Die Überprüfung der Wirtschaftsstudien. 25 (2): 65–86. doi : 10.2307 / 2296205. JSTOR 2296205.

Externe Links

Wikimedia Commons hat Medien zur Portfolio-Theorie.

Makroinvestitionsanalyse, Prof. William F. Sharpe, Stanford University
Portfoliooptimierung, Prof. Stephen P. Boyd, Stanford University
"Neue Ansätze zur Portfoliooptimierung: Trennung von der Glockenkurve - Interview mit Prof. Svetlozar Rachev und Prof. Stefan Mittnik" https://statistik.econ.kit.edu/download/doc_secure1/RM-Interview-Rachev-Mittnik-EnglishTranslation.pdf