Jet Bundle

"Jet Space" leitet hier um.Es ist nicht mit Raumstrahl zu verwechseln.

In der Differentialtopologie ist das Strahlbündel eine bestimmte Konstruktion, dieaus einem gegebenen glatten Faserbündelein neues glattes Faserbündel macht.Es ermöglicht das Schreiben von Differentialgleichungen auf Abschnitte eines Faserbündels in invarianter Form. Jets können auch als koordinatenfreie Versionen von Taylor-Erweiterungen angesehen werden.

Historisch gesehen werden Jet-Bündel Charles Ehresmann zugeschriebenund waren ein Fortschritt in der Methode ( Verlängerung ) von Élie Cartan, geometrisch mit höheren Ableitungen umzugehen, indemneu eingeführten formalen Variablen unterschiedliche Formbedingungen auferlegt wurden.Jet-Bündel werden manchmal als Sprays bezeichnet, obwohl sich Sprays normalerweise spezifischer auf das zugehörige Vektorfeld beziehen, dasauf dem entsprechenden Bündel induziert wird (z. B. das geodätische Spray auf Finsler-Verteilern ).

Seit den frühen 1980er Jahren haben sich Jet-Bündel als prägnante Methode zur Beschreibung von Phänomenen erwiesen, die mit Ableitungen von Karten verbunden sind, insbesondere solche, die mit der Variationsrechnung verbunden sind. Folglich wird das Strahlbündel nun als die richtige Domäne für eine geometrische kovariante Feldtheorie erkannt , und es wird viel Arbeit in allgemeinen relativistischen Feldformulierungen unter Verwendung dieses Ansatzesgeleistet.

Inhalt

• 1 Jets
• 2 Düsenverteiler
• 3 Jet-Bündel
  • 3.1 Algebraisch-geometrische Perspektive
  • 3.2 Beispiel
• 4 Kontaktstruktur
  • 4.1 Beispiel
• 5 Vektorfelder
• 6 Partielle Differentialgleichungen
  • 6.1 Beispiel
• 7 Jet-Verlängerung
  • 7.1 Beispiel
• 8 Unendliche Jet-Räume
  • 8.1 Unendlich verlängerte PDEs
• 9 Bemerkung
• 10 Siehe auch
• 11 Referenzen
• 12 Weiterführende Literatur

Jets

Hauptartikel: Jet (Mathematik)

Angenommen, M ist eine m- dimensionale Mannigfaltigkeit und ( E, π, M) ist ein Faserbündel. Für p ∈ M bezeichne Γ (p) die Menge aller lokalen Abschnitte, deren Domäne p enthält.Seiein Multi-Index (ein m- Tupel von ganzen Zahlen, nicht unbedingt in aufsteigender Reihenfolge), dann definiere:$$

ich = (( ich (( 1), ich (( 2),..., ich (( m)) {\ displaystyle I = (I (1), I (2),..., I (m))}

$$ | ich |: = ∑ ich = 1 m ich (( ich) ∂ | ich | ∂ x ich: = ∏ ich = 1 m (( ∂ ∂ x ich) ich (( ich). {\ displaystyle {\ begin {align} | I | amp;: = \ sum _ {i = 1} ^ {m} I (i) \\ {\ frac {\ partiell ^ {| I |}} {\ partiell x ^ {I}}} amp;: = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left ({\ frac {\ teilweise} {\ partielle x ^ {i}}} \ rechts) ^ {I (i) }. \ end {align}}}

Definieren Sie die lokalen Abschnitte σ, η ∈ Γ (p), umbei p ifden gleichen r- Jet zu haben

$$ ∂ | ich | σ α ∂ x ich | p = ∂ | ich | η α ∂ x ich | p, 0 ≤ | ich | ≤ r. {\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partiell ^ {| I |} \ sigma ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {I}}} \ rechts | _ {p} = \ left. {\ frac {\ partiell ^ {| I |} \ eta ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {I}}} \ rechts | _ {p}, \ quad 0 \ leq | I | \ leq r.}

Die Beziehung, dass zwei Karten den gleichen r- Jet haben, ist eine Äquivalenzbeziehung. Ein r- Jet ist eine Äquivalenzklasse unter dieser Beziehung, und der r- Jet mit repräsentativem σ wird bezeichnet.Die ganze Zahl r wird auch als Ordnung des Strahls bezeichnet,p ist seine Quelle und σ ( p) ist sein Ziel.$$

j p r σ {\ displaystyle j_ {p} ^ {r} \ sigma}

Jet-Verteiler

Der r- te Strahlverteiler von π ist die Menge

$$ J. r (( π) = { j p r σ:: p ∈ M., σ ∈ Γ (( p) }}. {\ displaystyle J ^ {r} (\ pi) = \ left \ {j_ {p} ^ {r} \ sigma: p \ in M, \ sigma \ in \ Gamma (p) \ right \}.}

Wir können Vorsprünge definieren π r und amp; pi; r, 0 die genannten Quell- und Ziel Vorsprünge jeweils durch

$$ { π r:: J. r (( π) → M. j p r σ ↦ p, { π r, 0:: J. r (( π) → E. j p r σ ↦ σ (( p) {\ displaystyle {\ begin {fällen} \ pi _ {r}: J ^ {r} (\ pi) \ bis M \\ j_ {p} ^ {r} \ sigma \ mapsto p \ end {fällen}}, \ qquad {\ begin {case} \ pi _ {r, 0}: J ^ {r} (\ pi) \ bis E \\ j_ {p} ^ {r} \ sigma \ mapsto \ sigma (p) \ end {Fälle}}}

Wenn 1 ≤ k ≤ r ist, dann ist die k- Strahl-Projektion diedurch definierteFunktion π r, k

$$ { π r, k:: J. r (( π) → J. k (( π) j p r σ ↦ j p k σ {\ displaystyle {\ begin {case} \ pi _ {r, k}: J ^ {r} (\ pi) \ bis J ^ {k} (\ pi) \\ j_ {p} ^ {r} \ sigma \ mapsto j_ {p} ^ {k} \ sigma \ end {case}}}

Aus dieser Definition ist es klar,dass π r = π o π r, 0 und wenn 0 ≤ m ≤ k, dann π r, m = π k, m o π r, k. Es ist üblich, π r, r als Identitätskarte auf J  ^r( π) zu betrachten und J  ⁰( π) mit E zu identifizieren.

Die Funktionen π r, k, π r, 0 und π r sind glatt surjektiv Submersionen.

Ein Koordinatensystem auf E erzeugt ein Koordinatensystem auf J  ^r( π).Sei ( U, u) ein angepasstes Koordinatendiagramm auf E, wobei u = ( x ⁱ, u ^α).Das induzierte Koordinatendiagramm ( U ^r, u ^r) auf J  ^r( π) ist definiert durch

$$ U. r = { j p r σ:: σ (( p) ∈ U. }} u r = (( x ich, u α, u ich α) {\ displaystyle {\ begin {align} U ^ {r} amp; = \ left \ {j_ {p} ^ {r} \ sigma: \ sigma (p) \ in U \ right \} \\ u ^ {r} amp; = \ left (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, u_ {I} ^ {\ alpha} \ right) \ end {align}}}

wo

$$ x ich (( j p r σ) = x ich (( p) u α (( j p r σ) = u α (( σ (( p)) {\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {i} \ left (j_ {p} ^ {r} \ sigma \ right) amp; = x ^ {i} (p) \\ u ^ {\ alpha} \ left (j_ {p} ^ {r} \ sigma \ right) amp; = u ^ {\ alpha} (\ sigma (p)) \ end {align}}}

und dieals Ableitungskoordinaten bekannten Funktionen:$$

n (( (( m + r r) - - 1) {\ displaystyle n \ left ({\ binom {m + r} {r}} - 1 \ right)}

$$ { u ich α:: U. k → R. u ich α (( j p r σ) = ∂ | ich | σ α ∂ x ich | p {\ displaystyle {\ begin {case} u_ {I} ^ {\ alpha}: U ^ {k} \ to \ mathbf {R} \\ u_ {I} ^ {\ alpha} \ left (j_ {p} ^ {r} \ sigma \ right) = \ left. {\ frac {\ partiell ^ {| I |} \ sigma ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {I}}} \ rechts | _ {p} \ Ende {Fälle}}}

Bei einem Atlas angepasster Diagramme ( U, u) auf E ist die entsprechende Sammlung von Diagrammen ( U  ^r, u  ^r) ein endlichdimensionaler C ^∞-Atlas auf J  ^r( π).

Jet-Bündel

Da der Atlas auf jedem J ^r(π) eine Mannigfaltigkeit definiert, sind die Tripel (J ^r(π), π r, k, J ^k(π)), (J ^r(π), π r, 0, E) und (J ^r(π), π r, M) definieren alle faserige Verteiler.Insbesondere wenn (E, π, M) ein Faserbündel ist, definiert das Tripel (J ^r(π), π r, M) das r- te Strahlbündel von π.

Wenn W ⊂ M eine offene Untervielfalt ist, dann

$$ J. r (( π | π - - 1 (( W.)) ≅ π r - - 1 (( W.). {\ displaystyle J ^ {r} \ left (\ pi | _ {\ pi ^ {- 1} (W)} \ right) \ cong \ pi _ {r} ^ {- 1} (W). \,}

Wenn p ∈ M ist, wird die Faserbezeichnet.$$

π r - - 1 (( p) {\ displaystyle \ pi _ {r} ^ {- 1} (p) \,}$$ J. p r (( π) {\ displaystyle J_ {p} ^ {r} (\ pi)}

Ein lokaler Abschnitt von π mit Domain lassen σ seinen W ⊂ M. Die r- te Strahlverlängerung von σ ist die durch j definierteAbbildung j ^r σ: W → J ^r(π)

$$ (( j r σ) (( p) = j p r σ. {\ displaystyle (j ^ {r} \ sigma) (p) = j_ {p} ^ {r} \ sigma. \,}

Man beachte, dass π r o j ^rσ = id W ist, also ist j ^rσ wirklich ein Abschnitt.In lokalen Koordinaten ist j ^rσ gegeben durch

$$ (( σ α, ∂ | ich | σ α ∂ x | ich |) 1 ≤ | ich | ≤ r. {\ displaystyle \ left (\ sigma ^ {\ alpha}, {\ frac {\ partiell ^ {| I |} \ sigma ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {| I |}} \ rechts) \ qquad 1 \ leq | I | \ leq r. \,}

Wir identifizieren j ⁰σ mit σ.

Algebraisch-geometrische Perspektive

Es wird eine unabhängig motivierte Konstruktion der Garbe von Abschnitten gegeben. $$

Γ J. k (( π T. M.) {\ displaystyle \ Gamma J ^ {k} \ left (\ pi _ {TM} \ right)}

Betrachten wireine diagonale Karte, wo die glatte Mannigfaltigkeita ist lokal Geringter Raum durchfür jeden offen.Seidie ideale Garbe von, gleichbedeutenddie Garbe von glatten Keimen, diefür alleverschwinden.Der Rückzug der Quotientengarbe vonbisnachist die Garbe von k-Jets.$$

Δ n:: M. → ∏ ich = 1 n + 1 M. {\ textstyle \ Delta _ {n}: M \ to \ prod _ {i = 1} ^ {n + 1} M}$$ M. {\ displaystyle M} $$ C. k (( U.) {\ displaystyle C ^ {k} (U)}$$ U. {\ displaystyle U}$$ ich {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$$ Δ n (( M.) {\ displaystyle \ Delta _ {n} (M)}$$ ich {\ displaystyle {\ mathcal {I}}} $$ Δ n (( M.) {\ displaystyle \ Delta _ {n} (M)}$$ 0 lt; n ≤ k {\ displaystyle 0 lt;n \ leq k} $$ Δ n ∗ (( ich /. ich n + 1) {\ displaystyle {\ Delta _ {n}} ^ {*} \ left ({\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {n + 1} \ right)}$$ ∏ ich = 1 n + 1 M. {\ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n + 1} M}$$ M. {\ displaystyle M}$$ Δ n {\ displaystyle \ Delta _ {n}}

Die direkte Grenze der Injektionssequenz, die durch die kanonischen Einschlüssevon Garben gegeben ist, führt zur unendlichen Strahlgarbe.Beachten Sie, dass es sich bei der direkten Grenzwertkonstruktion um einen gefilterten Ring handelt.$$

ich n + 1 ↪ ich n {\ displaystyle {\ mathcal {I}} ^ {n + 1} \ hookrightarrow {\ mathcal {I}} ^ {n}} $$ J. ∞ (( T. M.) {\ displaystyle {\ mathcal {J}} ^ {\ infty} (TM)}

Beispiel

Wenn das π ist trivial Bündel ( M × R, PR 1, M), dann gibt es einen kanonischen Diffeomorphismus zwischen dem ersten Strahlbündel J ¹(π) und T * M × R. Um diesen Diffeomorphismus zu konstruieren,schreiben Siefür jedes σ in Γ M (π).$$

σ ¯ = p r 2 ∘ σ ∈ C. ∞ (( M.) {\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = pr_ {2} \ circ \ sigma \ in C ^ {\ infty} (M) \,}

Dann, wann immer p ∈ M.

$$ j p 1 σ = { ψ:: ψ ∈ Γ p (( π) ;; ψ ¯ (( p) = σ ¯ (( p) ;; d ψ ¯ p = d σ ¯ p }}. {\ displaystyle j_ {p} ^ {1} \ sigma = \ left \ {\ psi: \ psi \ in \ Gamma _ {p} (\ pi); {\ bar {\ psi}} (p) = {\ bar {\ sigma}} (p); d {\ bar {\ psi}} _ {p} = d {\ bar {\ sigma}} _ {p} \ right \}. \,}

Folglich ist die Zuordnung

$$ { J. 1 (( π) → T. ∗ M. × R. j p 1 σ ↦ (( d σ ¯ p, σ ¯ (( p)) {\ displaystyle {\ begin {case} J ^ {1} (\ pi) \ bis T ^ {*} M \ times \ mathbf {R} \\ j_ {p} ^ {1} \ sigma \ mapsto \ left ( d {\ bar {\ sigma}} _ {p}, {\ bar {\ sigma}} (p) \ right) \ end {case}}}

ist gut definiert und ist eindeutig injektiv. Das Schreiben in Koordinaten zeigt, dass es ein Diffeomorphismus ist, weil,wenn (x ⁱ, u) sind Koordinaten auf M × R, wobei u = Id R wird die Identität koordinieren, dann die Derivates Koordinaten u i auf J ¹(π) entsprechen zu den Koordinaten ∂ i auf T * M.

Wenn π das triviale Bündel ist ( R × M, pr 1, R), besteht ebenfalls ein kanonischer Diffeomorphismus zwischen J ¹(π) und R × TM.

Kontaktstruktur

Der Raum J ^r(π) trägt eine natürliche Verteilung, dh ein Teilbündel des Tangentenbündels TJ ^r(π), das als Cartan-Verteilung bezeichnet wird. Die Cartan-Verteilung wird von allen Tangentialebenen auf Diagramme holonomischer Abschnitte überspannt.das heißt, Abschnitte der Form j ^rφ für φ ein Abschnitt von π.

Der Vernichter der Cartan-Verteilung ist ein Raum differentieller Einformen, die Kontaktformen genannt werden, auf J ^r(π).Der Raum der differentiellen Einformen auf J ^r(π) wird mitund der Raum der Kontaktformen mit bezeichnet.Eine Ein-Form ist eine Kontaktform, vorausgesetzt, ihr Rückzug bei jeder Verlängerung ist Null.Mit anderen Worten,ist ein Kontaktformular genau dann, wenn$$

Λ 1 J. r (( π) {\ displaystyle \ Lambda ^ {1} J ^ {r} (\ pi)}$$ Λ C. r π {\ displaystyle \ Lambda _ {C} ^ {r} \ pi} $$ θ ∈ Λ 1 J. r π {\ displaystyle \ theta \ in \ Lambda ^ {1} J ^ {r} \ pi}

$$ (( j r + 1 σ) ∗ θ = 0 {\ displaystyle \ left (j ^ {r + 1} \ sigma \ right) ^ {*} \ theta = 0}

für alle Abschnitte amp; sgr; von π über M.

Die Cartan-Verteilung ist die geometrische Hauptstruktur auf Jet-Räumen und spielt eine wichtige Rolle in der geometrischen Theorie partieller Differentialgleichungen. Die Cartan-Distributionen sind vollständig nicht integrierbar.Insbesondere sind sie nicht involutiv. Die Dimension der Cartan-Verteilung wächst mit der Ordnung des Jetraums.Im Raum der unendlichen Strahlen J ^{∞ wird}die Cartan-Verteilung jedoch involutiv und endlichdimensional: Ihre Dimension stimmt mit der Dimension des Basisverteilers M überein.

Beispiel

Betrachten Sie den Fall (E, π, M), in dem E ≃ R ²und M ≃ R sind. Dann definiert (J ¹(π), π, M) das erste Strahlbündel und kann durch (x, u, u 1) koordiniert werden, wobei

$$ x (( j p 1 σ) = x (( p) = x u (( j p 1 σ) = u (( σ (( p)) = u (( σ (( x)) = σ (( x) u 1 (( j p 1 σ) = ∂ σ ∂ x | p = σ ' (( x) {\ displaystyle {\ begin {align} x \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) amp; = x (p) = x \\ u \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ rechts) amp; = u (\ Sigma (p)) = u (\ Sigma (x)) = \ Sigma (x) \\ u_ {1} \ links (j_ {p} ^ {1} \ Sigma \ rechts) amp; = \ left. {\ frac {\ partielle \ sigma} {\ partielle x}} \ rechts | _ {p} = \ sigma '(x) \ end {align}}}

für alle p ∈ M und σ in Γ p (π).Eine allgemeine 1-Form auf J ¹(π) nimmt die Form an

$$ θ = ein (( x, u, u 1) d x + b (( x, u, u 1) d u + c (( x, u, u 1) d u 1 {\ displaystyle \ theta = a (x, u, u_ {1}) dx + b (x, u, u_ {1}) du + c (x, u, u_ {1}) du_ {1} \,}

Ein Abschnitt σ in Γ p (π) hat eine erste Verlängerung

$$ j 1 σ = (( u, u 1) = (( σ (( p), ∂ σ ∂ x | p). {\ displaystyle j ^ {1} \ sigma = (u, u_ {1}) = \ left (\ sigma (p), \ left. {\ frac {\ Partial \ Sigma} {\ Partial x}} \ Right | _ {p} \ right).}

Daher kann (j ¹σ) * θ berechnet werden als

$$ (( j p 1 σ) ∗ θ = θ ∘ j p 1 σ = ein (( x, σ (( x), σ ' (( x)) d x + b (( x, σ (( x), σ ' (( x)) d (( σ (( x)) + c (( x, σ (( x), σ ' (( x)) d (( σ ' (( x)) = ein (( x, σ (( x), σ ' (( x)) d x + b (( x, σ (( x), σ ' (( x)) σ ' (( x) d x + c (( x, σ (( x), σ ' (( x)) σ ″ (( x) d x = [ ein (( x, σ (( x), σ ' (( x)) + b (( x, σ (( x), σ ' (( x)) σ ' (( x) + c (( x, σ (( x), σ ' (( x)) σ ″ (( x) ]] d x {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) ^ {*} \ theta amp; = \ theta \ circ j_ {p} ^ {1} \ sigma \\ amp; = a (x, \ Sigma (x), \ Sigma '(x)) dx + b (x, \ Sigma (x), \ Sigma' (x)) d (\ Sigma (x)) + c (x, \ sigma (x), \ sigma '(x)) d (\ sigma' (x)) \\ amp; = a (x, \ sigma (x), \ sigma '(x)) dx + b (x, \ Sigma (x), \ Sigma '(x)) \ Sigma' (x) dx + c (x, \ Sigma (x), \ Sigma '(x)) \ Sigma' '(x) dx \\ amp; = [ a (x, \ Sigma (x), \ Sigma '(x)) + b (x, \ Sigma (x), \ Sigma' (x)) \ Sigma '(x) + c (x, \ Sigma (x)), \ sigma '(x)) \ sigma' '(x)] dx \ end {align}}}

Dies verschwindet für alle Abschnitte σ genau dann, wenn c = 0 und a = - bσ ′ (x) ist. Daher muss θ = b (x, u, u 1) θ 0 notwendigerweise ein Vielfaches der Grundkontaktform θ 0 = du - u 1 dx sein. Weiter zum zweiten Strahlraum J ²(π) mit zusätzlicher Koordinate u 2, so dass

$$ u 2 (( j p 2 σ) = ∂ 2 σ ∂ x 2 | p = σ ″ (( x) {\ displaystyle u_ {2} (j_ {p} ^ {2} \ sigma) = \ left. {\ frac {\ partiell ^ {2} \ sigma} {\ partiell x ^ {2}}} \ rechts | _ {p} = \ sigma '' (x) \,}

Eine allgemeine 1-Form hat die Konstruktion

$$ θ = ein (( x, u, u 1, u 2) d x + b (( x, u, u 1, u 2) d u + c (( x, u, u 1, u 2) d u 1 + e (( x, u, u 1, u 2) d u 2 {\ displaystyle \ theta = a (x, u, u_ {1}, u_ {2}) dx + b (x, u, u_ {1}, u_ {2}) du + c (x, u, u_ { 1}, u_ {2}) du_ {1} + e (x, u, u_ {1}, u_ {2}) du_ {2} \,}

Dies ist genau dann ein Kontaktformular, wenn

$$ (( j p 2 σ) ∗ θ = θ ∘ j p 2 σ = ein (( x, σ (( x), σ ' (( x), σ ″ (( x)) d x + b (( x, σ (( x), σ ' (( x), σ ″ (( x)) d (( σ (( x)) + c (( x, σ (( x), σ ' (( x), σ ″ (( x)) d (( σ ' (( x)) + e (( x, σ (( x), σ ' (( x), σ ″ (( x)) d (( σ ″ (( x)) = ein d x + b σ ' (( x) d x + c σ ″ (( x) d x + e σ ‴ (( x) d x = [ ein + b σ ' (( x) + c σ ″ (( x) + e σ ‴ (( x) ]] d x = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (j_ {p} ^ {2} \ sigma \ right) ^ {*} \ theta amp; = \ theta \ circ j_ {p} ^ {2} \ sigma \\ amp; = a (x, \ Sigma (x), \ Sigma '(x), \ Sigma' '(x)) dx + b (x, \ Sigma (x), \ Sigma' (x), \ Sigma '' ( x)) d (\ sigma (x)) + {} \\ amp; \ qquad \ qquad c (x, \ sigma (x), \ sigma '(x), \ sigma' '(x)) d (\ sigma '(x)) + e (x, \ Sigma (x), \ Sigma' (x), \ Sigma '' (x)) d (\ Sigma '' (x)) \\ amp; = adx + b \ Sigma '(x) dx + c \ sigma' '(x) dx + e \ sigma' '' (x) dx \\ amp; = [a + b \ sigma '(x) + c \ sigma' '(x) + e \ sigma '' '(x)] dx \\ amp; = 0 \ end {align}}}

was impliziert, dass e = 0 und a = - bσ '(x) - cσ' '(x). Daher ist θ genau dann eine Kontaktform, wenn

$$ θ = b (( x, σ (( x), σ ' (( x)) θ 0 + c (( x, σ (( x), σ ' (( x)) θ 1, {\ displaystyle \ theta = b (x, \ sigma (x), \ sigma '(x)) \ theta _ {0} + c (x, \ sigma (x), \ sigma' (x)) \ theta _ {1},}

wobei amp; theta; 1 = ich 1 - U 2 dx die nächste Grundkontaktform ( Manbeachte,daß wir hier die Form θ identifizieren ist 0 mit seinem pull-backzu J ² (π)).$$

(( π 2, 1) ∗ θ 0 {\ displaystyle \ left (\ pi _ {2,1} \ right) ^ {*} \ theta _ {0}}

Im Allgemeinen kann unter Bereitstellung von x, u ∈ R eine Kontaktform auf J ^{r + 1}(π) als lineare Kombination der grundlegenden Kontaktformen geschrieben werden

$$ θ k = d u k - - u k + 1 d x k = 0, …, r - - 1 {\ displaystyle \ theta _ {k} = du_ {k} -u_ {k + 1} dx \ qquad k = 0, \ ldots, r-1 \,}

wo

$$ u k (( j k σ) = ∂ k σ ∂ x k | p. {\ displaystyle u_ {k} \ left (j ^ {k} \ sigma \ right) = \ left. {\ frac {\ partielle ^ {k} \ sigma} {\ partielle x ^ {k}}} \ right | _ {p}.}

Ähnliche Argumente führen zu einer vollständigen Charakterisierung aller Kontaktformulare.

In lokalen Koordinaten kann jede Kontaktform auf J ^{r + 1}(π) als lineare Kombination geschrieben werden

$$ θ = ∑ | ich | = 0 r P. α ich θ ich α {\ displaystyle \ theta = \ sum _ {| I | = 0} ^ {r} P _ {\ alpha} ^ {I} \ theta _ {I} ^ {\ alpha}}

mit glatten Koeffizientender Grundkontaktformen$$

P. ich α (( x ich, u α, u ich α) {\ displaystyle P_ {i} ^ {\ alpha} (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, u_ {I} ^ {\ alpha})}

$$ θ ich α = d u ich α - - u ich, ich α d x ich {\ displaystyle \ theta _ {I} ^ {\ alpha} = du_ {I} ^ {\ alpha} -u_ {I, i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} \,}

| I | wird als Reihenfolge des Kontaktformulars bezeichnet.Beachten Sie, dass Kontaktformulare auf J ^{r + 1} (π) höchstens r Ordnungen haben.Kontaktformen liefern eine Charakterisierung jener lokalen Abschnitte von π r + 1, die Verlängerungen von Abschnitten von π sind.$$

θ ich α {\ displaystyle \ theta _ {i} ^ {\ alpha}}

Sei ψ ψ Γ W ( π r + 1), dann ist ψ = j ^{r + 1}σ, wobei σ ∈ Γ W (π) genau dann ist, wenn $$

ψ ∗ (( θ | W.) = 0, ∀ θ ∈ Λ C. 1 π r + 1, r. {\ displaystyle \ psi ^ {*} (\ theta | _ {W}) = 0, \ forall \ theta \ in \ Lambda _ {C} ^ {1} \ pi _ {r + 1, r}. \, }}

Vektorfelder

Ein allgemeines Vektorfeld auf dem Gesamtraum E, koordiniert durch, ist$$

(( x, u) = d e f (( x ich, u α) {\ displaystyle (x, u) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left (x ^ {i}, u ^ {\ alpha} \ right) \,}

$$ V. = d e f ρ ich (( x, u) ∂ ∂ x ich + ϕ α (( x, u) ∂ ∂ u α. {\ displaystyle V \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho ^ {i} (x, u) {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + \ phi ^ {\ alpha} (x, u) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u ^ {\ alpha}}}. \,}

Ein Vektorfeld heißt horizontal, was bedeutet, dass alle vertikalen Koeffizienten verschwinden, wenn= 0.$$

ϕ α {\ displaystyle \ phi ^ {\ alpha}}

Ein Vektorfeld heißt vertikal, was bedeutet, dass alle horizontalen Koeffizienten verschwinden, wenn ρ ⁱ= 0 ist.

Für fest (x, u) identifizieren wir

$$ V. (( x, u) = d e f ρ ich (( x, u) ∂ ∂ x ich + ϕ α (( x, u) ∂ ∂ u α {\ displaystyle V _ {(x, u)} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho ^ {i} (x, u) {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + \ phi ^ {\ alpha} (x, u) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u ^ {\ alpha}}} \,}

mit Koordinaten (x, u, ρ ⁱ, φ ^α) mit einem Element in der Faser T xu E von TE über (x, u) in E, das als Tangentenvektor in TE bezeichnet wird. Ein Abschnitt

$$ { ψ:: E. → T. E. (( x, u) ↦ ψ (( x, u) = V. {\ displaystyle {\ begin {fällen} \ psi: E \ bis TE \\ (x, u) \ mapsto \ psi (x, u) = V \ end {fällen}}}

heißt ein Vektorfeld auf E mit

$$ V. = ρ ich (( x, u) ∂ ∂ x ich + ϕ α (( x, u) ∂ ∂ u α {\ displaystyle V = \ rho ^ {i} (x, u) {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + \ phi ^ {\ alpha} (x, u) {\ frac { \ partiell} {\ partiell u ^ {\ alpha}}}}

und ψ in Γ (TE).

Das Strahlbündel J ^r(π) wird koordiniert durch.Für fest (x, u, w) identifizieren$$

(( x, u, w) = d e f (( x ich, u α, w ich α) {\ displaystyle (x, u, w) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, w_ {i} ^ {\ alpha}) \,}

$$ V. (( x, u, w) = d e f V. ich (( x, u, w) ∂ ∂ x ich + V. α (( x, u, w) ∂ ∂ u α + V. ich α (( x, u, w) ∂ ∂ w ich α + V. ich 1 ich 2 α (( x, u, w) ∂ ∂ w ich 1 ich 2 α + ⋯ + V. ich 1 ⋯ ich r α (( x, u, w) ∂ ∂ w ich 1 ⋯ ich r α {\ displaystyle V _ {(x, u, w)} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ V ^ {i} (x, u, w) {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + V ^ {\ alpha} (x, u, w) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u ^ {\ alpha}}} + V_ {i} ^ {\ alpha} (x, u, w) {\ frac {\ partiell} {\ partiell w_ {i} ^ {\ alpha}} + V_ {i_ {1} i_ {2}} ^ {\ alpha} (x, u, w) {\ frac {\ partiell} {\ partiell w_ {i_ {1} i_ {2}} ^ {\ alpha}}} + \ cdots + V_ {i_ {1} \ cdots i_ {r}} ^ {\ alpha} (x, u, w) {\ frac {\ partiell} {\ partiell w_ {i_ {1} \ cdots i_ {r}} ^ {\ alpha}}}}

Koordinaten haben

$$ (( x, u, w, v ich α, v ich 1 ich 2 α, ⋯, v ich 1 ⋯ ich r α), {\ displaystyle \ left (x, u, w, v_ {i} ^ {\ alpha}, v_ {i_ {1} i_ {2}} ^ {\ alpha}, \ cdots, v_ {i_ {1} \ cdots i_ {r}} ^ {\ alpha} \ right),}

mit einem Element in der Faservon TJ ^r (π) über (x, u, w) ∈ J ^r (π), das als Tangentenvektor in TJ ^r (π) bezeichnet wird.Hier,$$

T. x u w (( J. r π) {\ displaystyle T_ {xuw} (J ^ {r} \ pi)}

$$ v ich α, v ich 1 ich 2 α, ⋯, v ich 1 ⋯ ich r α {\ displaystyle v_ {i} ^ {\ alpha}, v_ {i_ {1} i_ {2}} ^ {\ alpha}, \ cdots, v_ {i_ {1} \ cdots i_ {r}} ^ {\ alpha }}

sind reelle Funktionen auf J ^r(π). Ein Abschnitt

$$ { Ψ:: J. r (( π) → T. J. r (( π) (( x, u, w) ↦ Ψ (( u, w) = V. {\ displaystyle {\ begin {case} \ Psi: J ^ {r} (\ pi) \ bis TJ ^ {r} (\ pi) \\ (x, u, w) \ mapsto \ Psi (u, w) = V \ end {Fälle}}}

ist ein Vektorfeld auf J ^r(π), und wir sagen $$

Ψ ∈ Γ (( T. (( J. r π)). {\ displaystyle \ Psi \ in \ Gamma (T (J ^ {r} \ pi)).}

Partielle Differentialgleichungen

Sei (E, π, M) ein Faserbündel.Eine partielle Differentialgleichung r- ter Ordnung auf π ist eine geschlossene eingebettete Untervielfalt S des Strahlverteilers J ^r(π). Eine Lösung ist ein lokaler Abschnitt σ ∈ Γ W (π), der für alle p in M erfüllt.$$

j p r σ ∈ S. {\ displaystyle j_ {p} ^ {r} \ sigma \ in S}

Betrachten Sie ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung.

Beispiel

Sei π das triviale Bündel ( R ²× R, pr 1, R ²) mit globalen Koordinaten ( x ¹, x ², u ¹).Dann ist die Abbildung F: J ¹(π) → R definiert durch

$$ F. = u 1 1 u 2 1 - - 2 x 2 u 1 {\ displaystyle F = u_ {1} ^ {1} u_ {2} ^ {1} -2x ^ {2} u ^ {1}}

ergibt die Differentialgleichung

$$ S. = { j p 1 σ ∈ J. 1 π:: (( u 1 1 u 2 1 - - 2 x 2 u 1) (( j p 1 σ) = 0 }} {\ displaystyle S = \ left \ {j_ {p} ^ {1} \ sigma \ in J ^ {1} \ pi \: \ \ left (u_ {1} ^ {1} u_ {2} ^ {1} -2x ^ {2} u ^ {1} \ rechts) \ links (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ rechts) = 0 \ rechts \}}

was geschrieben werden kann

$$ ∂ σ ∂ x 1 ∂ σ ∂ x 2 - - 2 x 2 σ = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partielles \ sigma} {\ partielles x ^ {1}}} {\ frac {\ partielles \ sigma} {\ partielles x ^ {2}}} - 2x ^ {2} \ sigma = 0.}

Das Besondere

$$ { σ:: R. 2 → R. 2 × R. σ (( p 1, p 2) = (( p 1, p 2, p 1 (( p 2) 2) {\ displaystyle {\ begin {case} \ sigma: \ mathbf {R} ^ {2} \ to \ mathbf {R} ^ {2} \ times \ mathbf {R} \\\ sigma (p_ {1}, p_ {2}) = \ left (p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {1} (p ^ {2}) ^ {2} \ right) \ end {case}}}

hat erste Verlängerung gegeben durch

$$ j 1 σ (( p 1, p 2) = (( p 1, p 2, p 1 (( p 2) 2, (( p 2) 2, 2 p 1 p 2) {\ displaystyle j ^ {1} \ sigma \ left (p_ {1}, p_ {2} \ right) = \ left (p ^ {1}, p ^ {2}, p ^ {1} \ left (p ^ {2} \ rechts) ^ {2}, \ links (p ^ {2} \ rechts) ^ {2}, 2p ^ {1} p ^ {2} \ rechts)}

und ist eine Lösung dieser Differentialgleichung, weil

$$ (( u 1 1 u 2 1 - - 2 x 2 u 1) (( j p 1 σ) = u 1 1 (( j p 1 σ) u 2 1 (( j p 1 σ) - - 2 x 2 (( j p 1 σ) u 1 (( j p 1 σ) = (( p 2) 2 ⋅ 2 p 1 p 2 - - 2 ⋅ p 2 ⋅ p 1 (( p 2) 2 = 2 p 1 (( p 2) 3 - - 2 p 1 (( p 2) 3 = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (u_ {1} ^ {1} u_ {2} ^ {1} -2x ^ {2} u ^ {1} \ right) \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) amp; = u_ {1} ^ {1} \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) u_ {2} ^ {1} \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) -2x ^ {2} \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) u ^ {1} \ left (j_ {p} ^ {1} \ sigma \ right) \\ amp; = \ left (p ^ {2} \ right) ^ {2} \ cdot 2p ^ {1} p ^ {2} -2 \ cdot p ^ {2} \ cdot p ^ {1} \ left (p ^ {2} \ rechts) ^ {2} \\ amp; = 2p ^ {1} \ links (p ^ {2} \ rechts) ^ {3} -2p ^ {1} \ links (p ^ {2 } \ right) ^ {3} \\ amp; = 0 \ end {align}}}

und sofür jedes p ∈ R ².$$

j p 1 σ ∈ S. {\ displaystyle j_ {p} ^ {1} \ sigma \ in S}

Jet-Verlängerung

Ein lokaler Diffeomorphismus ψ: J ^r( π) → J ^r( π) definiert eine Kontakttransformation der Ordnung r, wenn das Kontaktideal erhalten bleibt, was bedeutet, dass ψ * θ ist, wenn θ eine Kontaktform auf J ^r( π)ist auch ein Kontaktformular.

Der durch ein Vektorfeld V ^rauf dem Strahlraum J ^r(π) erzeugte Flussbildet genau dann eine Ein-Parameter-Gruppe von Kontakttransformationen, wenn die Lie-Ableitung einer Kontaktform θ das Kontaktideal beibehält.$$

L. V. r (( θ) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V ^ {r}} (\ theta)}

Beginnen wir mit dem Fall erster Ordnung.Betrachten Sie ein allgemeines Vektorfeld V ¹auf J ¹( π), gegeben durch

$$ V. 1 = d e f ρ ich (( x ich, u α, u ich α) ∂ ∂ x ich + ϕ α (( x ich, u α, u ich α) ∂ ∂ u α + χ ich α (( x ich, u α, u ich α) ∂ ∂ u ich α. {\ displaystyle V ^ {1} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho ^ {i} \ left (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, u_ {I} ^ {\ alpha} \ right) {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + \ phi ^ {\ alpha} \ left (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, u_ {I} ^ {\ alpha} \ rechts) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u ^ {\ alpha}}} + \ chi _ {i} ^ {\ alpha} \ links (x ^ {i}, u ^ {\ alpha}, u_ {I} ^ {\ alpha} \ right) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {i} ^ {\ alpha}}}.}

Wir wenden uns nunauf die grundlegenden Kontaktformen anund erweitern die äußere Ableitung der Funktionen hinsichtlich ihrer Koordinaten, um Folgendes zu erhalten:$$

L. V. 1 {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}}}$$ θ 0 α = d u α - - u ich α d x ich, {\ displaystyle \ theta _ {0} ^ {\ alpha} = du ^ {\ alpha} -u_ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i},}

$$ L. V. 1 (( θ 0 α) = L. V. 1 (( d u α - - u ich α d x ich) = L. V. 1 d u α - - (( L. V. 1 u ich α) d x ich - - u ich α (( L. V. 1 d x ich) = d (( V. 1 u α) - - V. 1 u ich α d x ich - - u ich α d (( V. 1 x ich) = d ϕ α - - χ ich α d x ich - - u ich α d ρ ich = ∂ ϕ α ∂ x ich d x ich + ∂ ϕ α ∂ u k d u k + ∂ ϕ α ∂ u ich k d u ich k - - χ ich α d x ich - - u ich α [ ∂ ρ ich ∂ x m d x m + ∂ ρ ich ∂ u k d u k + ∂ ρ ich ∂ u m k d u m k ]] = ∂ ϕ α ∂ x ich d x ich + ∂ ϕ α ∂ u k (( θ k + u ich k d x ich) + ∂ ϕ α ∂ u ich k d u ich k - - χ ich α d x ich - - u l α [ ∂ ρ l ∂ x ich d x ich + ∂ ρ l ∂ u k (( θ k + u ich k d x ich) + ∂ ρ l ∂ u ich k d u ich k ]] = [ ∂ ϕ α ∂ x ich + ∂ ϕ α ∂ u k u ich k - - u l α (( ∂ ρ l ∂ x ich + ∂ ρ l ∂ u k u ich k) - - χ ich α ]] d x ich + [ ∂ ϕ α ∂ u ich k - - u l α ∂ ρ l ∂ u ich k ]] d u ich k + (( ∂ ϕ α ∂ u k - - u l α ∂ ρ l ∂ u k) θ k {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} \ left (\ theta _ {0} ^ {\ alpha} \ right) amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} \ left (du ^ {\ alpha} -u_ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} \ right) \\ amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} du ^ {\ alpha} - \ left ({\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} u_ {i} ^ {\ alpha} \ right) dx ^ {i} -u_ {i } ^ {\ alpha} \ left ({\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} dx ^ {i} \ right) \\ amp; = d \ left (V ^ {1} u ^ {\ alpha } \ rechts) -V ^ {1} u_ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} -u_ {i} ^ {\ alpha} d \ links (V ^ {1} x ^ {i} \ rechts) \\ amp; = d \ phi ^ {\ alpha} - \ chi _ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} -u_ {i} ^ {\ alpha} d \ rho ^ {i} \\ amp; = {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {i}}} dx ^ {i} + {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell u ^ {k}}} du ^ {k} + {\ frac {\ partielle \ phi ^ {\ alpha}} {\ partielle u_ {i} ^ {k}}} du_ {i} ^ {k} - \ chi _ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} -u_ {i} ^ {\ alpha} \ left [{\ frac {\ partiell \ rho ^ {i}} {\ partiell x ^ {m}}} dx ^ {m} + {\ frac {\ partiell \ rho ^ {i}} {\ partiell u ^ {k}}} du ^ {k} + {\ frac {\ partiell \ rho ^ {i}} {\ partiell u_ {m} ^ {k}}} du_ {m} ^ {k} \ right] \\ amp; = {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {i}}} dx ^ {i} + {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell u ^ {k}}} \ left (\ theta ^ {k} + u_ {i} ^ {k} dx ^ {i} \ rechts) + {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell u_ {i} ^ {k}}} du_ {i} ^ {k} - \ chi _ {i} ^ {\ alpha} dx ^ {i} -u_ {l} ^ {\ alpha} \ left [{\ frac {\ teilweise \ rho ^ {l} } {\ partielle x ^ {i}}} dx ^ {i} + {\ frac {\ partielle \ rho ^ {l}} {\ partielle u ^ {k}}} \ left (\ theta ^ {k} + u_ {i} ^ {k} dx ^ {i} \ rechts) + {\ frac {\ partiell \ rho ^ {l}} {\ partiell u_ {i} ^ {k}}} du_ {i} ^ {k } \ rechts] \\ amp; = \ links [{\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell x ^ {i}}} + {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partielle u ^ {k}}} u_ {i} ^ {k} -u_ {l} ^ {\ alpha} \ left ({\ frac {\ partielle \ rho ^ {l}} {\ partielle x ^ { i}}} + {\ frac {\ teilweise \ rho ^ {l}} {\ teilweise u ^ {k}}} u_ {i} ^ {k} \ rechts) - \ chi _ {i} ^ {\ alpha } \ rechts] dx ^ {i} + \ links [{\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell u_ {i} ^ {k}}} - u_ {l} ^ {\ alpha} {\ frac {\ partiell \ rho ^ {l}} {\ partiell u_ {i} ^ {k}}} \ rechts] du_ {i} ^ {k} + \ links ({\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partielle u ^ {k}}} - u_ {l} ^ {\ alpha} {\ frac {\ partielle \ rho ^ {l}} {\ partielle u ^ {k}}} \ rechts) \ theta ^ {k} \ end {align}}}

Daher bestimmt V ¹genau dann eine Kontakttransformation, wenn die Koeffizienten von dx ⁱundin der Formel verschwinden.Die letzteren Anforderungen implizieren die Kontaktbedingungen$$

d u ich k {\ displaystyle du_ {i} ^ {k}}

$$ ∂ ϕ α ∂ u ich k - - u l α ∂ ρ l ∂ u ich k = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ phi ^ {\ alpha}} {\ partiell u_ {i} ^ {k}}} - u_ {l} ^ {\ alpha} {\ frac {\ partiell \ rho ^ { l}} {\ teilweise u_ {i} ^ {k}}} = 0}

Die ersteren Anforderungen liefern explizite Formeln für die Koeffizienten der ersten abgeleiteten Terme in V ¹:

$$ χ ich α = D. ^ ich ϕ α - - u l α (( D. ^ ich ρ l) {\ displaystyle \ chi _ {i} ^ {\ alpha} = {\ widehat {D}} _ {i} \ phi ^ {\ alpha} -u_ {l} ^ {\ alpha} \ left ({\ widehat { D}} _ {i} \ rho ^ {l} \ right)}

wo

$$ D. ^ ich = ∂ ∂ x ich + u ich k ∂ ∂ u k {\ displaystyle {\ widehat {D}} _ {i} = {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}} + u_ {i} ^ {k} {\ frac {\ partiell} {\ teilweise u ^ {k}}}}

bezeichnet die Kürzung nullter Ordnung der Gesamtableitung D i.

Somit schreiben die Kontaktbedingungen eindeutig die Verlängerung eines beliebigen Punktes oder Kontaktvektorfeldes vor.Das heißt, wenndiese Gleichungen erfüllt sind, wird V ^r die r- te Verlängerung von V zu einem Vektorfeld auf J ^r (π) genannt.$$

L. V. r {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V ^ {r}}}

Diese Ergebnisse lassen sich am besten verstehen, wenn sie auf ein bestimmtes Beispiel angewendet werden.Lassen Sie uns daher Folgendes untersuchen.

Beispiel

Betrachten Sie den Fall (E, π, M), in dem E ≅ R ²und M ≃ R sind. Dann definiert (J ¹(π), π, E) das erste Strahlbündel und kann durch (x, u, u 1) koordiniert werden, wobei

$$ x (( j p 1 σ) = x (( p) = x u (( j p 1 σ) = u (( σ (( p)) = u (( σ (( x)) = σ (( x) u 1 (( j p 1 σ) = ∂ σ ∂ x | p = σ ˙ (( x) {\ displaystyle {\ begin {align} x (j_ {p} ^ {1} \ sigma) amp; = x (p) = x \\ u (j_ {p} ^ {1} \ sigma) amp; = u (\ Sigma (p)) = u (\ Sigma (x)) = \ Sigma (x) \ u_ {1} (j_ {p} ^ {1} \ Sigma) amp; = \ left. {\ frac {\ partiell \ Sigma} {\ partielles x}} \ rechts | _ {p} = {\ dot {\ sigma}} (x) \ end {align}}}

für alle p ∈ M und σ in Γ p ( π).Ein Kontaktformular auf J ¹(π) hat das Formular

$$ θ = d u - - u 1 d x {\ displaystyle \ theta = du-u_ {1} dx}

Betrachten Sie einen Vektor V auf E mit der Form

$$ V. = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x {\ displaystyle V = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}}}

Dann wird die erste Verlängerung dieses Vektorfeld zu J ¹(π) ist,

$$ V. 1 = V. + Z. = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + Z. = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + ρ (( x, u, u 1) ∂ ∂ u 1 {\ displaystyle {\ begin {align} V ^ {1} amp; = V + Z \\ amp; = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x }} + Z \\ amp; = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} + \ rho (x, u, u_ {1}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {1}}} \ end {align}}}

Wenn wir nun die Lie-Ableitung der Kontaktform in Bezug auf dieses verlängerte Vektorfeld nehmen, erhaltenwir$$

L. V. 1 (( θ), {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} (\ theta),}

$$ L. V. 1 (( θ) = L. V. 1 (( d u - - u 1 d x) = L. V. 1 d u - - (( L. V. 1 u 1) d x - - u 1 (( L. V. 1 d x) = d (( V. 1 u) - - V. 1 u 1 d x - - u 1 d (( V. 1 x) = d x - - ρ (( x, u, u 1) d x + u 1 d u = (( 1 - - ρ (( x, u, u 1)) d x + u 1 d u = [ 1 - - ρ (( x, u, u 1) ]] d x + u 1 (( θ + u 1 d x) d u = θ + u 1 d x = [ 1 + u 1 u 1 - - ρ (( x, u, u 1) ]] d x + u 1 θ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} (\ theta) amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} (du-u_ { 1} dx) \\ amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} du- \ left ({\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} u_ {1} \ right) dx-u_ {1} \ left ({\ mathcal {L}} _ {V ^ {1}} dx \ right) \\ amp; = d \ left (V ^ {1} u \ right) -V ^ {1 } u_ {1} dx-u_ {1} d \ left (V ^ {1} x \ right) \\ amp; = dx- \ rho (x, u, u_ {1}) dx + u_ {1} du \ \ amp; = (1- \ rho (x, u, u_ {1})) dx + u_ {1} du \\ amp; = [1- \ rho (x, u, u_ {1})] dx + u_ { 1} (\ theta + u_ {1} dx) amp;amp; du = \ theta + u_ {1} dx \\ amp; = [1 + u_ {1} u_ {1} - \ rho (x, u, u_ {1}) ] dx + u_ {1} \ theta \ end {align}}}

Zur Wahrung des Kontaktideals benötigen wir daher

$$ 1 + u 1 u 1 - - ρ (( x, u, u 1) = 0 ⇔ ρ (( x, u, u 1) = 1 + u 1 u 1. {\ displaystyle 1 + u_ {1} u_ {1} - \ rho (x, u, u_ {1}) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ rho (x, u, u_ {1}) = 1 + u_ {1} u_ {1}.}

Und so istdie erste Verlängerung des V zu einem Vektorfeld auf J ¹(π) ist,

$$ V. 1 = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + (( 1 + u 1 u 1) ∂ ∂ u 1. {\ displaystyle V ^ {1} = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} + (1 + u_ {1} u_ {1}) {\ frac {\ teilweise} {\ teilweise u_ {1}}}.}

Berechnen wir auch die zweite Verlängerung von V zu einem Vektorfeld auf J ²(π). Wir habenals Koordinaten auf J ² (π).Daher hat der verlängerte Vektor die Form$$

{ x, u, u 1, u 2 }} {\ displaystyle \ {x, u, u_ {1}, u_ {2} \}}

$$ V. 2 = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + ρ (( x, u, u 1, u 2) ∂ ∂ u 1 + ϕ (( x, u, u 1, u 2) ∂ ∂ u 2. {\ displaystyle V ^ {2} = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} + \ rho (x, u, u_ {1}, u_ {2}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {1}}} + \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {2}}}.}

Die Kontaktformulare sind

$$ θ = d u - - u 1 d x θ 1 = d u 1 - - u 2 d x {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta amp; = du-u_ {1} dx \\\ theta _ {1} amp; = du_ {1} -u_ {2} dx \ end {align}}}

Um das Kontaktideal zu erhalten, benötigen wir

$$ L. V. 2 (( θ) = 0 L. V. 2 (( θ 1) = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} (\ theta) = 0 \\ {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} (\ theta _ {1}) = 0 \ end {align}}}

Nun hat θ keine u 2 -Abhängigkeit.Daher werden wir aus dieser Gleichung die Formel für ρ aufgreifen, die notwendigerweise das gleiche Ergebnis sein wird, das wir für V ^{1 gefunden haben}.Daher ist das Problem analog zur Verlängerung des Vektorfeldes V ¹auf J ²(π).Das heißt, wir können die r- te Verlängerung eines Vektorfeldes erzeugen, indem wir die Lie-Ableitung der Kontaktformen in Bezug auf die verlängerten Vektorfelder r- malrekursiv anwenden.Also haben wir

$$ ρ (( x, u, u 1) = 1 + u 1 u 1 {\ displaystyle \ rho (x, u, u_ {1}) = 1 + u_ {1} u_ {1}}

und so

$$ V. 2 = V. 1 + ϕ (( x, u, u 1, u 2) ∂ ∂ u 2 = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + (( 1 + u 1 u 1) ∂ ∂ u 1 + ϕ (( x, u, u 1, u 2) ∂ ∂ u 2 {\ displaystyle {\ begin {align} V ^ {2} amp; = V ^ {1} + \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {2}}} \\ amp; = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} + (1 + u_ {1} u_ {1}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {1}}} + \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {2}} } \ end {align}}}

Daher ist der Lie -Derivat der zweiten Kontaktform in Bezug auf V ²ist,

$$ L. V. 2 (( θ 1) = L. V. 2 (( d u 1 - - u 2 d x) = L. V. 2 d u 1 - - (( L. V. 2 u 2) d x - - u 2 (( L. V. 2 d x) = d (( V. 2 u 1) - - V. 2 u 2 d x - - u 2 d (( V. 2 x) = d (( 1 + u 1 u 1) - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) d x + u 2 d u = 2 u 1 d u 1 - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) d x + u 2 d u = 2 u 1 d u 1 - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) d x + u 2 (( θ + u 1 d x) d u = θ + u 1 d x = 2 u 1 (( θ 1 + u 2 d x) - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) d x + u 2 (( θ + u 1 d x) d u 1 = θ 1 + u 2 d x = [ 3 u 1 u 2 - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) ]] d x + u 2 θ + 2 u 1 θ 1 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} (\ theta _ {1}) amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} ( du_ {1} -u_ {2} dx) \\ amp; = {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} du_ {1} - \ left ({\ mathcal {L}} _ {V ^ { 2}} u_ {2} \ rechts) dx-u_ {2} \ links ({\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} dx \ rechts) \\ amp; = d (V ^ {2} u_ {1}) - V ^ {2} u_ {2} dx-u_ {2} d (V ^ {2} x) \\ amp; = d (1 + u_ {1} u_ {1}) - \ phi ( x, u, u_ {1}, u_ {2}) dx + u_ {2} du \\ amp; = 2u_ {1} du_ {1} - \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) dx + u_ {2} du \\ amp; = 2u_ {1} du_ {1} - \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) dx + u_ {2} (\ theta + u_ { 1} dx) amp; du amp; = \ theta + u_ {1} dx \\ amp; = 2u_ {1} (\ theta _ {1} + u_ {2} dx) - \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) dx + u_ {2} (\ theta + u_ {1} dx) amp; du_ {1} amp; = \ theta _ {1} + u_ {2} dx \\ amp; = [3u_ {1} u_ {2 } - \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2})] dx + u_ {2} \ theta + 2u_ {1} \ theta _ {1} \ end {align}}}

Umdas Kontaktideal zu erhalten, benötigen wir daher$$

L. V. 2 (( θ 1) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V ^ {2}} (\ theta _ {1})}

$$ 3 u 1 u 2 - - ϕ (( x, u, u 1, u 2) = 0 ⇔ ϕ (( x, u, u 1, u 2) = 3 u 1 u 2. {\ displaystyle 3u_ {1} u_ {2} - \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ phi (x, u, u_ {1}, u_ {2}) = 3u_ {1} u_ {2}.}

Und so ist die zweite Verlängerung von V zu einem Vektorfeld auf J ²(π)

$$ V. 2 = x ∂ ∂ u - - u ∂ ∂ x + (( 1 + u 1 u 1) ∂ ∂ u 1 + 3 u 1 u 2 ∂ ∂ u 2. {\ displaystyle V ^ {2} = x {\ frac {\ partiell} {\ partiell u}} - u {\ frac {\ partiell} {\ partiell x}} + (1 + u_ {1} u_ {1}) {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {1}}} + 3u_ {1} u_ {2} {\ frac {\ partiell} {\ partiell u_ {2}}}.}

Es ist zu beachten, dass die erste Verlängerung von V wiederhergestellt werden kann, indem die Terme der zweiten Ableitung in V ²weggelassen werdenoder indem auf J ¹(π) zurückprojiziert wird.

Unendliche Jet-Räume

Die inverse Grenze der Folge von Projektionenführt zum unendlichen Strahlraum J ^∞ (π).Ein Punktist die Äquivalenzklasse von Abschnitten von π, diefür alle Werte von k den gleichen k- Strahl in p wie σ haben.Die natürliche Projektion π ∞ istin p abgebildet.$$

π k + 1, k:: J. k + 1 (( π) → J. k (( π) {\ displaystyle \ pi _ {k + 1, k}: J ^ {k + 1} (\ pi) \ bis J ^ {k} (\ pi)} $$ j p ∞ (( σ) {\ displaystyle j_ {p} ^ {\ infty} (\ sigma)}$$ j p ∞ (( σ) {\ displaystyle j_ {p} ^ {\ infty} (\ sigma)}

Allein durch das Denken in Koordinatenscheint J ^∞(π) ein unendlichdimensionales geometrisches Objekt zu sein.Tatsächlich ist der einfachste Weg, eine differenzierbare Struktur auf J ^∞(π) einzuführen, ohne sich auf differenzierbare Diagramme zu stützen, die Differentialrechnung über kommutative Algebren. Dual zur Folge von Projektionenvon Mannigfaltigkeiten ist die Folge von Injektionenvon kommutativen Algebren.Bezeichnen wireinfach mit.Nehmen Sie jetzt die direkte Grenze der.Es wird eine kommutative Algebra sein, von der angenommen werden kann, dass sie die Algebra der glatten Funktionen über dem geometrischen Objekt J ^∞ (π) ist.Beachten Sie, dassdie Geburt als direkte Grenze eine zusätzliche Struktur aufweist: Es handelt sich um eine gefilterte kommutative Algebra.$$

π k + 1, k:: J. k + 1 (( π) → J. k (( π) {\ displaystyle \ pi _ {k + 1, k}: J ^ {k + 1} (\ pi) \ bis J ^ {k} (\ pi)}$$ π k + 1, k ∗:: C. ∞ (( J. k (( π)) → C. ∞ (( J. k + 1 (( π)) {\ displaystyle \ pi _ {k + 1, k} ^ {*}: C ^ {\ infty} (J ^ {k} (\ pi)) \ bis C ^ {\ infty} \ left (J ^ {k +1} (\ pi) \ right)}$$ C. ∞ (( J. k (( π)) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (J ^ {k} (\ pi))}$$ F. k (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} (\ pi)} $$ F. (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ pi)}$$ F. k (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} (\ pi)}$$ F. (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ pi)}

Grob gesagt wird ein konkretes Elementimmer zu einigen gehören, so dass es eine glatte Funktion auf der endlichdimensionalen Mannigfaltigkeit J ^k (π) im üblichen Sinne ist.$$

φ ∈ F. (( π) {\ displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {F}} (\ pi)}$$ F. k (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} (\ pi)}

Unendlich verlängerte PDEs

Bei einemSystem k- ter Ordnung von PDEs E ⊆ J ^k(π) ist die Sammlung I (E) des Verschwindens auf E glatten Funktionen auf J ^∞(π) ein Ideal in der Algebraund damit auch in der direkten Grenze.$$

F. k (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} (\ pi)}$$ F. (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ pi)}

Verbessern Sie I (E), indem Sie alle möglichen Zusammensetzungen von Gesamtderivaten hinzufügen, dieauf alle seine Elemente angewendet werden.Auf diese Weise erhalten wir ein neues Ideal I vondenen jetzt unter dem Betrieb des Nehmens totale Ableitung geschlossen ist.Diedurch I ausgeschnitteneUntervielfalt E (∞) von J ^∞ (π)wird als unendliche Verlängerung von E bezeichnet.$$

F. (( π) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ pi)}

Geometrisch, E (∞) ist die Mannigfaltigkeit der formalen Lösungen von E. Ein Punktvon E (∞) kann leicht durch einen Abschnitt σ dargestellt werden, dessen k- Jet-Graph E an dem Punktmit beliebig hoher Tangentialordnung tangiert.$$

j p ∞ (( σ) {\ displaystyle j_ {p} ^ {\ infty} (\ sigma)}$$ j p k (( σ) {\ displaystyle j_ {p} ^ {k} (\ sigma)}

Wenn E durch φ = 0 gegeben ist, kann eine formale Lösunganalytischals die Menge von Taylor-Koeffizienten eines Abschnitts σ in einem Punkt p verstanden werden, die die Taylor-Reihe vonam Punkt p verschwinden lassen.$$

φ ∘ j k (( σ) {\ displaystyle \ varphi \ circ j ^ {k} (\ sigma)}

Am wichtigsten ist, dass die Verschlusseigenschaften von I implizieren, dass E (∞) die Kontaktstruktur unendlicher Ordnung auf J ^∞ (π) tangiert,so dass man durch Beschränkungauf E (∞) die Differenz erhältund den assoziierten Vinogradov untersuchen kann (C-spektrale) Sequenz. $$

C. {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$$ C. {\ displaystyle {\ mathcal {C}}} $$ (( E. (( ∞), C. | E. (( ∞)) {\ displaystyle (E _ {(\ infty)}, {\ mathcal {C}} | _ {E _ {(\ infty)}})}

Anmerkung

Dieser Artikel hat Jets lokaler Abschnitte eines Bündels definiert, es ist jedoch möglich, Jets von Funktionen f zu definieren: M → N, wobei M und N Verteiler sind;der Strahl von f entspricht dann nur dem Strahl des Abschnitts

gr f: M → M × N.

gr f (p) = (p, f (p))

( gr f ist bekannt als der Graph der Funktion f) des trivialen Bündels ( M × N, π 1, M).Diese Einschränkung vereinfacht jedoch nicht die Theorie, da die globale Trivialität von π nicht die globale Trivialität von π 1 impliziert.

Siehe auch

• Jet-Gruppe
• Jet (Mathematik)
• Lagrange-System
• Variationsbikomplex

Verweise

Weiterführende Literatur

• Ehresmann, C., "Einführung in die Geschichte der unendlichen Strukturen und der Pseudogruppen von Lie." Geometrie Differentielle, Colloq.Inter.du Center Nat.de la Recherche Scientifique, Straßburg, 1953, 97-127.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natürliche Operationen in der Differentialgeometrie. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Saunders, DJ, "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], "Symmetrien und Erhaltungssätze für Differentialgleichungen der mathematischen Physik", Amer.Mathematik.Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Olver, PJ, "Äquivalenz, Invarianten und Symmetrie", Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., "Advanced Classical Field Theory", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7
• Sardanashvily, G., Fortgeschrittene Differentialgeometrie für Theoretiker.Faserbündel, Strahlverteiler und Lagrange-Theorie ", Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886