Jet (Mathematik)

In der Mathematik ist der Jet eine Operation, die eine differenzierbare Funktion f übernimmt und an jedem Punkt ihrer Domäne ein Polynom erzeugt, das abgeschnittene Taylor-Polynom von f. Obwohl dies die Definition eines Jets ist, betrachtet die Theorie der Jets diese Polynome eher als abstrakte Polynome als als Polynomfunktionen.

In diesem Artikel wird zunächst der Begriff eines Strahls einer reellen Wertfunktion in einer reellen Variablen untersucht, gefolgt von einer Diskussion der Verallgemeinerungen auf mehrere reelle Variablen. Es gibt dann eine rigorose Konstruktion von Jets und Jet-Räumen zwischen euklidischen Räumen. Es schließt mit einer Beschreibung der Düsen zwischen Verteilern und wie diese Düsen intrinsisch aufgebaut werden können. In diesem allgemeineren Kontext werden einige Anwendungen von Jets auf die Differentialgeometrie und die Theorie der Differentialgleichungen zusammengefasst.

Inhalt

• 1 Funktionsstrahlen zwischen euklidischen Räumen
  • 1.1 Eindimensionaler Fall
  • 1.2 Zuordnungen von einem euklidischen Raum zu einem anderen
  • 1.3 Algebraische Eigenschaften von Jets
• 2 Jets an einem Punkt im euklidischen Raum: strenge Definitionen
  • 2.1 Analytische Definition
  • 2.2 Algebro-geometrische Definition
  • 2.3 Taylors Satz
  • 2.4 Jet Spaces von einem Punkt zu einem Punkt
• 3 Funktionsstrahlen zwischen zwei Verteilern
  • 3.1 Funktionsstrahlen von der realen Linie zu einem Verteiler
  • 3.2 Funktionsstrahlen von einem Verteiler zu einem Verteiler
  • 3.3 Multijets
• 4 Jets von Abschnitten
  • 4.1 Differentialoperatoren zwischen Vektorbündeln
• 5 Siehe auch
• 6 Referenzen

Funktionsstrahlen zwischen euklidischen Räumen

Bevor Sie einen Jet genau definieren, sollten Sie einige Sonderfälle untersuchen.

Eindimensionaler Fall

Angenommen, dies ist eine reelle Funktion mit mindestens k + 1 Ableitungen in einer Nachbarschaft U des Punktes. Dann nach Taylors Theorem,$$

f::R.→R. {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}} $$x0 {\ displaystyle x_ {0}}

$$f((x)=f((x0)+f'((x0)((x- -x0)+⋯+f((k)((x0)k!((x- -x0)k+R.k+1((x)((k+1)!((x- -x0)k+1 {\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + \ cdots + {\ frac {f ^ {(k)} (x_ { 0})} {k!}} (X-x_ {0}) ^ {k} + {\ frac {R_ {k + 1} (x)} {(k + 1)!}} (X-x_ { 0}) ^ {k + 1}}

wo

$$|R.k+1((x)|≤supx∈U.|f((k+1)((x)|. {\ displaystyle | R_ {k + 1} (x) | \ leq \ sup _ {x \ in U} | f ^ {(k + 1)} (x) |.}

Dann wird der k- Strahl von f am Punkt als Polynom definiert$$

x0 {\ displaystyle x_ {0}}

$$((J.x0kf)((z)=∑ich=0kf((ich)((x0)ich!zich=f((x0)+f'((x0)z+⋯+f((k)((x0)k!zk. {\ displaystyle (J_ {x_ {0}} ^ {k} f) (z) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {\ frac {f ^ {(i)} (x_ {0}) } {i!}} z ^ {i} = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) z + \ cdots + {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0})} {k!}} z ^ {k}.}

Jets werden normalerweise als abstrakte Polynome in der Variablen z betrachtet, nicht als tatsächliche Polynomfunktionen in dieser Variablen. Mit anderen Worten, z ist eine unbestimmte Variable, die es einem ermöglicht, verschiedene algebraische Operationen unter den Jets auszuführen. Es ist in der Tat der Basispunkt, von dem Jets ihre funktionale Abhängigkeit ableiten. Durch Variieren des Basispunkts ergibt ein Strahl an jedem Punkt ein Polynom der Ordnung von höchstens k. Dies markiert eine wichtige konzeptionelle Unterscheidung zwischen Jets und abgeschnittenen Taylor-Reihen: Normalerweise wird eine Taylor-Reihe als funktional abhängig von ihrer Variablen und nicht von ihrem Basispunkt angesehen. Jets hingegen trennen die algebraischen Eigenschaften von Taylor-Reihen von ihren funktionellen Eigenschaften. Wir werden uns später in diesem Artikel mit den Gründen und Anwendungen dieser Trennung befassen.$$

x0 {\ displaystyle x_ {0}}

Abbildungen von einem euklidischen Raum zum anderen

Angenommen, dies ist eine Funktion von einem euklidischen Raum zu einem anderen mit mindestens ( k + 1) Ableitungen. In diesem Fall behauptet Taylors Theorem dies $$

f::R.n→R.m {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}

$$f((x)=f((x0)+((D.f((x0))⋅((x- -x0)+12((D.2f((x0))⋅((x- -x0)⊗2+⋯⋯+D.kf((x0)k!⋅((x- -x0)⊗k+R.k+1((x)((k+1)!⋅((x- -x0)⊗((k+1). {\ displaystyle {\ begin {align} f (x) = f (x_ {0}) + (Df (x_ {0})) \ cdot (x-x_ {0}) + {} amp; {\ frac {1 } {2}} (D ^ {2} f (x_ {0})) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes 2} + \ cdots \\ [4pt] amp; \ cdots + {\ frac {D ^ {k} f (x_ {0})} {k!}} \ Cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes k} + {\ frac {R_ {k + 1} (x)} {(k + 1)!}} \ cdot (x-x_ {0}) ^ {\ otimes (k + 1)}. \ end {align}}}

Der k- Strahl von f wird dann als Polynom definiert

$$((J.x0kf)((z)=f((x0)+((D.f((x0))⋅z+12((D.2f((x0))⋅z⊗2+⋯+D.kf((x0)k!⋅z⊗k {\ displaystyle (J_ {x_ {0}} ^ {k} f) (z) = f (x_ {0}) + (Df (x_ {0})) \ cdot z + {\ frac {1} {2} } (D ^ {2} f (x_ {0})) \ cdot z ^ {\ otimes 2} + \ cdots + {\ frac {D ^ {k} f (x_ {0})} {k!}} \ cdot z ^ {\ otimes k}}

in, wo.$$

R.[z]] {\ displaystyle {\ mathbb {R}} [z]}$$z=((z1,…,zn) {\ displaystyle z = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n})}

Algebraische Eigenschaften von Jets

Es gibt zwei grundlegende algebraische Strukturen, die Jets tragen können. Die erste ist eine Produktstruktur, obwohl sich diese letztendlich als die am wenigsten wichtige herausstellt. Das zweite ist die Struktur der Zusammensetzung der Jets.

Wenn es sich um zwei reelle Funktionen handelt, können wir das Produkt ihrer Jets über definieren$$

f,G::R.n→R. {\ displaystyle f, g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}

$$J.x0kf⋅J.x0kG=J.x0k((f⋅G). {\ displaystyle J_ {x_ {0}} ^ {k} f \ cdot J_ {x_ {0}} ^ {k} g = J_ {x_ {0}} ^ {k} (f \ cdot g).}

Hier haben wir das unbestimmte z unterdrückt, da es sich versteht, dass Jets formale Polynome sind. Dieses Produkt ist nur das Produkt gewöhnlicher Polynome in z, modulo. Mit anderen Worten, es ist eine Multiplikation im Ring, wobei das Ideal durch Polynome erzeugt wird, die homogen in der Größenordnung ≥ k + 1 sind.$$

zk+1 {\ displaystyle z ^ {k + 1}}$$R.[z]]/.((zk+1) {\ displaystyle {\ mathbb {R}} [z] / (z ^ {k + 1})}$$((zk+1) {\ displaystyle (z ^ {k + 1})}

Wir gehen nun zur Zusammensetzung der Jets über. Um unnötige technische Details zu vermeiden, betrachten wir Funktionsstrahlen, die den Ursprung dem Ursprung zuordnen. Wenn und mit f (0) = 0 und g (0) = 0, dann. Die Zusammensetzung von Jets wird definiert durchEs kann leicht unter Verwendung der Kettenregel überprüft werden, dass dies eine assoziative nichtkommutative Operation auf dem Raum von Jets am Ursprung darstellt.$$

f::R.m→R.ℓ {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {m} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}$$G::R.n→R.m {\ displaystyle g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$$f∘G::R.n→R.ℓ {\ displaystyle f \ circ g: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}$$J.0kf∘J.0kG=J.0k((f∘G). {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f \ circ J_ {0} ^ {k} g = J_ {0} ^ {k} (f \ circ g).}

Tatsächlich ist die Zusammensetzung von k- Jets nichts anderes als die Zusammensetzung von Polynomen modulo, dem Ideal von Polynomen, die in der Ordnung homogen sind.$$

gt;k {\ displaystylegt; k}

Beispiele:

• In einer Dimension lassen Sie und. Dann$$f((x)=Log⁡((1- -x) {\ displaystyle f (x) = \ log (1-x)}$$G((x)=Sündex {\ displaystyle g (x) = \ sin \, x}

$$((J.03f)((x)=- -x- -x22- -x33 {\ displaystyle (J_ {0} ^ {3} f) (x) = - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {3}} }}

$$((J.03G)((x)=x- -x36 {\ displaystyle (J_ {0} ^ {3} g) (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {6}}}

und

$$((J.03f)∘((J.03G)=- -((x- -x36)- -12((x- -x36)2- -13((x- -x36)3((modx4)=- -x- -x22- -x36 {\ displaystyle {\ begin {align} amp; (J_ {0} ^ {3} f) \ circ (J_ {0} ^ {3} g) = - \ left (x - {\ frac {x ^ {3} } {6}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right) ^ {2} - {\ frac { 1} {3}} \ left (x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right) ^ {3} {\ pmod {x ^ {4}}} \\ [4pt] = { } amp; - x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {3}} {6}} \ end {align}}}

Jets an einem Punkt im euklidischen Raum: strenge Definitionen

Analytische Definition

Die folgende Definition verwendet Ideen aus der mathematischen Analyse, um Jets und Jet Spaces zu definieren. Es kann verallgemeinert werden, um Funktionen zwischen Banach-Räumen, analytische Funktionen zwischen realen oder komplexen Domänen, p-adische Analysen und andere Analysebereiche zu glätten.

Lassen Sie das sein Vektorraum von glatten Funktionen. Sei k eine nicht negative ganze Zahl und sei p ein Punkt von. Wir definieren eine Äquivalenzbeziehung in diesem Raum, indem wir erklären, dass zwei Funktionen f und g der Ordnung k äquivalent sind, wenn f und g bei p den gleichen Wert haben und alle ihre partiellen Ableitungen bei p bis zu (und einschließlich) ihrem k - übereinstimmen. Derivate th-Ordnung. Kurz gesagt, iff bis k- te Ordnung.$$

C.∞((R.n,R.m) {\ displaystyle C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})} $$f::R.n→R.m {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$$R.n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}} $$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}} $$f∼G {\ displaystyle f \ sim g \, \!}$$f- -G=0 {\ displaystyle fg = 0}

Der Strahlraum k- ter Ordnung von at p ist definiert als die Menge von Äquivalenzklassen von und wird mit bezeichnet.$$

C.∞((R.n,R.m) {\ displaystyle C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$J.pk((R.n,R.m) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}

Der Strahl k- ter Ordnung bei p einer glatten Funktion ist definiert als die Äquivalenzklasse von f in.$$

f∈C.∞((R.n,R.m) {\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$$J.pk((R.n,R.m) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}

Algebro-geometrische Definition

Die folgende Definition verwendet Ideen aus der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra, um den Begriff eines Jets und eines Jetraums zu etablieren. Obwohl diese Definition für die Verwendung in der algebraischen Geometrie an sich nicht besonders geeignet ist, kann sie leicht auf solche Verwendungen zugeschnitten werden, da sie in die glatte Kategorie gegossen wird.

Lassen Sie das seinen Vektorraum von Keimen von glatten Funktionen an einem Punkt p in. Sei das Ideal, das aus Keimen von Funktionen besteht, die bei p verschwinden. (Dies ist das maximale Ideal für den lokalen Ring. ) Dann besteht das Ideal aus allen Funktionskeimen, die verschwinden, um k bei p zu ordnen. Wir können nun den Jetraum bei p durch definieren$$

C.p∞((R.n,R.m) {\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})} $$f::R.n→R.m {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$$R.n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$$mp {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p}} $$C.p∞((R.n,R.m) {\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$$mpk+1 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}

$$J.pk((R.n,R.m)=C.p∞((R.n,R.m)/.mpk+1 {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) = C_ {p} ^ {\ infty} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) / {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}

Wenn es sich um eine glatte Funktion handelt, können wir den k- Strahl von f bei p als das Element von durch Setzen definieren$$

f::R.n→R.m {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}$$J.pk((R.n,R.m) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}

$$J.pkf=f((modmpk+1) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} f = f {\ pmod {{\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}}

Dies ist eine allgemeinere Konstruktion. Für eine -Raum, lassen Sie die seinen Stiel der Struktur Garbe auf und läßt das seine maximale Ideal des lokalen Rings. Der k-te Strahlraum bei ist definiert als der Ring ( ist das Produkt von Idealen ). $$

F. {\ displaystyle \ mathbb {F}} $$M. {\ displaystyle M}$$F.p {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}} $$p {\ displaystyle p}$$mp {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p}} $$F.p {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}}$$p {\ displaystyle p}$$J.pk((M.)=F.p/.mpk+1 {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} (M) = {\ mathcal {F}} _ {p} / {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}$$mpk+1 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}

Taylors Satz

Unabhängig von der Definition legt Taylors Theorem einen kanonischen Isomorphismus von Vektorräumen zwischen und fest. Im euklidischen Kontext werden Jets unter diesem Isomorphismus typischerweise mit ihren Polynomvertretern identifiziert.$$

J.pk((R.n,R.m) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$$R.m[z1,…,zn]]/.((z1,…,zn)k+1 {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {m} [z_ {1}, \ dotsc, z_ {n}] / (z_ {1}, \ dotsc, z_ {n}) ^ {k + 1}}

Jet Spaces von einem Punkt zu einem Punkt

Wir haben den Raum der Jets an einem Punkt definiert. Der Unterraum davon besteht aus Strahlen von Funktionen f, so dass f ( p) = q mit bezeichnet ist$$

J.pk((R.n,R.m) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m})}$$p∈R.n {\ displaystyle p \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}

$$J.pk((R.n,R.m)q={J.kf∈J.pk((R.n,R.m)∣f((p)=q}} {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) _ {q} = \ left \ {J ^ {k} f \ in J_ {p} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {m}) \ mid f (p) = q \ right \}}

Funktionsstrahlen zwischen zwei Verteilern

Wenn M und N zwei glatte Verteiler sind, wie definieren wir den Strahl einer Funktion ? Wir könnten vielleicht versuchen, einen solchen Jet durch Verwendung lokaler Koordinaten auf M und N zu definieren. Dies hat den Nachteil, dass Jets nicht invariant definiert werden können. Jets verwandeln sich nicht als Tensoren. Stattdessen gehören Funktionsstrahlen zwischen zwei Verteilern zu einem Strahlbündel. $$

f::M.→N. {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}

Funktionsstrahlen von der realen Linie bis zu einem Verteiler

Angenommen, M ist ein glatter Verteiler, der einen Punkt p enthält. Wir werden die Strahlen von definieren Kurven durch p, von denen wir nun an mittlere glatte Funktionen, so daß f (0) = p. Definieren Sie eine Äquivalenzbeziehung wie folgt. Sei f und g ein Kurvenpaar durch p. Wir werden dann sagen, dass f und g äquivalent zur Ordnung k bei p sind, wenn es eine Nachbarschaft U von p gibt, so dass für jede glatte Funktion,. Beachten Sie, dass diese Jets seit den zusammengesetzten Funktionen gut definiert sind und nur Zuordnungen von der realen Linie zu sich selbst sind. Diese Äquivalenzbeziehung wird manchmal als die des Kontakts k- ter Ordnung zwischen Kurven bei p bezeichnet.$$

f::R.→M. {\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow M}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}} $$φ::U.→R. {\ displaystyle \ varphi: U \ rightarrow {\ mathbb {R}}}$$J.0k((φ∘f)=J.0k((φ∘G) {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} (\ varphi \ circ f) = J_ {0} ^ {k} (\ varphi \ circ g)}$$φ∘f {\ displaystyle \ varphi \ circ f}$$φ∘G {\ displaystyle \ varphi \ circ g}

Wir definieren nun den k - Jet einer Kurve f durch p die Äquivalenzklasse sein f unter bezeichneten oder. Der k - te Ordnung Strahlraum ist dann die Menge von k -Jets bei p.$$

E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$J.kf {\ displaystyle J ^ {k} \! f \,}$$J.0kf {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f} $$J.0k((R.,M.)p {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}}

Da p über M variiert, bildet es ein Faserbündel über M: das Tangentenbündel k- ter Ordnung, das in der Literatur häufig mit T ^k M bezeichnet wird (obwohl diese Notation gelegentlich zu Verwirrung führen kann). Im Fall k = 1 ist das Tangentenbündel erster Ordnung das übliche Tangentenbündel: T ¹M = TM.$$

J.0k((R.,M.)p {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}}

Um zu beweisen, dass T ^k M tatsächlich ein Faserbündel ist, ist es lehrreich, die Eigenschaften in lokalen Koordinaten zu untersuchen. Sei ( x ⁱ) = ( x ¹,..., x ⁿ) ein lokales Koordinatensystem für M in einer Nachbarschaft U von p. Wenn wir die Notation leicht missbrauchen, können wir ( x ⁱ) als lokalen Diffeomorphismus betrachten. $$

J.0k((R.,M.)p {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}}, M) _ {p}} $$((xich)::M.→R.n {\ displaystyle (x ^ {i}): M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}

Anspruch. Zwei Kurven f und g bis p sind genau dann äquivalent modulo, wenn.$$

E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$J.0k((((xich)∘f)=J.0k((((xich)∘G) {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ left ((x ^ {i}) \ circ f \ right) = J_ {0} ^ {k} \ left ((x ^ {i}) \ circ g \ Recht)}

In der Tat ist der einzige Teil klar, da jede der n Funktionen x ¹,..., x ⁿ eine glatte Funktion von M bis ist. Nach der Definition der Äquivalenzbeziehung müssen also zwei äquivalente Kurven haben.$$R. {\ displaystyle {\ mathbb {R}}}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$J.0k((xich∘f)=J.0k((xich∘G) {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} (x ^ {i} \ circ f) = J_ {0} ^ {k} (x ^ {i} \ circ g)}

Nehmen wir umgekehrt an, dass ; ist eine glatte reelle Funktion auf M in einer Nachbarschaft von p. Da jede glatte Funktion einen lokalen Koordinatenausdruck hat, können wir ausdrücken ; als Funktion in den Koordinaten. Insbesondere wenn q ein Punkt von M in der Nähe von p ist, dann$$φ {\ displaystyle \ varphi}$$φ {\ displaystyle \ varphi}

$$φ((q)=ψ((x1((q),…,xn((q)) {\ displaystyle \ varphi (q) = \ psi (x ^ {1} (q), \ dots, x ^ {n} (q))}

für eine glatte reelle Funktion ψ von n reellen Variablen. Daher haben wir für zwei Kurven f und g bis p

$$φ∘f=ψ((x1∘f,…,xn∘f) {\ displaystyle \ varphi \ circ f = \ psi (x ^ {1} \ circ f, \ dots, x ^ {n} \ circ f)}

$$φ∘G=ψ((x1∘G,…,xn∘G) {\ displaystyle \ varphi \ circ g = \ psi (x ^ {1} \ circ g, \ dots, x ^ {n} \ circ g)}

Die Kettenregel legt nun den if- Teil des Anspruchs fest. Wenn zum Beispiel f und g Funktionen der reellen Variablen t sind, dann

$$ddt((φ∘f)((t)|t=0=∑ich=1nddt((xich∘f)((t)|t=0((D.ichψ)∘f((0) {\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ left (\ varphi \ circ f \ right) (t) \ right | _ {t = 0} = \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ left. {\ frac {d} {dt}} (x ^ {i} \ circ f) (t) \ right | _ {t = 0} \ (D_ {i} \ psi) \ circ f ( 0)}

die den gleichen Ausdruck gleich ist, wenn sie gegen ausgewertet g anstelle von f, das unter Hinweis auf f (0) = g (0) = p und f und g sind in k -te Ordnung Kontakt in dem Koordinatensystem ( x ⁱ).

Daher lässt das angebliche Faserbündel T ^k M eine lokale Trivialisierung in jeder Koordinatenumgebung zu. Um zu beweisen, dass dieses angebliche Faserbündel tatsächlich ein Faserbündel ist, genügt es an dieser Stelle festzustellen, dass es bei einer Änderung der Koordinaten nicht singuläre Übergangsfunktionen hat. Sei ein anderes Koordinatensystem und sei die damit verbundene Änderung der Koordinaten- Diffeomorphie des euklidischen Raums zu sich selbst. Durch eine affine Transformation von können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass ρ (0) = 0 ist. Mit dieser Annahme genügt es zu beweisen, dass es sich um eine invertierbare Transformation unter Jet-Zusammensetzung handelt. (Siehe auch Jet-Gruppen. ) Da ρ jedoch ein Diffeomorphismus ist, ist auch eine glatte Abbildung möglich. Daher,$$

((yich)::M.→R.n {\ displaystyle (y ^ {i}): M \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}}$$ρ=((xich)∘((yich)- -1::R.n→R.n {\ displaystyle \ rho = (x ^ {i}) \ circ (y ^ {i}) ^ {- 1}: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ { n}} $$R.n {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}} $$J.0kρ::J.0k((R.n,R.n)→J.0k((R.n,R.n) {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho: J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {n}) \ rightarrow J_ {0} ^ {k} ({\ mathbb {R}} ^ {n}, {\ mathbb {R}} ^ {n})} $$ρ- -1 {\ displaystyle \ rho ^ {- 1}}

$$ich=J.0kich=J.0k((ρ∘ρ- -1)=J.0k((ρ)∘J.0k((ρ- -1) {\ displaystyle I = J_ {0} ^ {k} I = J_ {0} ^ {k} (\ rho \ circ \ rho ^ {- 1}) = J_ {0} ^ {k} (\ rho) \ circ J_ {0} ^ {k} (\ rho ^ {- 1})}

was beweist, dass das nicht singulär ist. Darüber hinaus ist es glatt, obwohl wir diese Tatsache hier nicht beweisen.$$

J.0kρ {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho}

Intuitiv bedeutet dies, dass wir den Strahl einer Kurve durch p in Form ihrer Taylor-Reihe in lokalen Koordinaten auf M ausdrücken können.

Beispiele in lokalen Koordinaten:

• Wie zuvor angegeben, ist der 1-Strahl einer Kurve durch p ein Tangentenvektor. Ein Tangentenvektor bei p ist ein Differentialoperator erster Ordnung , der auf glatte reelle Funktionen bei p wirkt. In lokalen Koordinaten hat jeder Tangentenvektor die Form

$$v=∑ichvich∂∂xich {\ displaystyle v = \ sum _ {i} v ^ {i} {\ frac {\ partiell} {\ partiell x ^ {i}}}}

Bei einem solchen Tangentenvektor v sei f die Kurve, die im x ⁱ -Koordinatensystem durch gegeben ist. Wenn φ eine glatte Funktion in einer Nachbarschaft von p mit φ ( p) = 0 ist, dann$$xich∘f((t)=tvich {\ displaystyle x ^ {i} \ circ f (t) = tv ^ {i}}

$$φ∘f::R.→R. {\ displaystyle \ varphi \ circ f: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}

ist eine glatte reelle Funktion einer Variablen, deren 1-Jet gegeben ist durch

$$J.01((φ∘f)((t)=∑ichtvich∂ϕ∂xich((p). {\ displaystyle J_ {0} ^ {1} (\ varphi \ circ f) (t) = \ sum _ {i} tv ^ {i} {\ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle x ^ {i} }} (p).}

was beweist, dass man auf natürliche Weise Tangentenvektoren an einem Punkt mit den 1-Düsen von Kurven durch diesen Punkt identifizieren kann.

• Der Raum von 2 Düsen von Kurven durch einen Punkt.

In einem lokalen Koordinatensystem x ^i, das an einem Punkt p zentriert ist, können wir das Taylor-Polynom zweiter Ordnung einer Kurve f ( t) durch p durch ausdrücken

$$J.02((xich((f))((t)=tdxich((f)dt((0)+t22d2xich((f)dt2((0). {\ displaystyle J_ {0} ^ {2} (x ^ {i} (f)) (t) = t {\ frac {dx ^ {i} (f)} {dt}} (0) + {\ frac {t ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {2} x ^ {i} (f)} {dt ^ {2}}} (0).}

Im x- Koordinatensystem wird also der 2-Strahl einer Kurve durch p mit einer Liste von reellen Zahlen identifiziert. Wie bei den Tangentenvektoren (1-Düsen von Kurven) an einem Punkt gehorchen 2-Düsen von Kurven bei Anwendung der Koordinatenübergangsfunktionen einem Transformationsgesetz.$$((x˙ich,x¨ich) {\ displaystyle ({\ dot {x}} ^ {i}, {\ ddot {x}} ^ {i})}

Sei ( y ⁱ) ein anderes Koordinatensystem. Nach der Kettenregel

$$ddtyich((f((t))=∑j∂yich∂xj((f((t))d)dtxj((f((t))d2dt2yich((f((t))=∑j,k∂2yich∂xj∂xk((f((t))ddtxj((f((t))ddtxk((f((t))+∑j∂yich∂xj((f((t))d2dt2xj((f((t)) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} y ^ {i} (f (t)) amp; = \ sum _ {j} {\ frac {\ partielle y ^ {i}} {\ partielle x ^ {j}}} (f (t)) {\ frac {d)} {dt}} x ^ {j} (f (t)) \\ [5pt] {\ frac {d ^ { 2}} {dt ^ {2}}} y ^ {i} (f (t)) amp; = \ sum _ {j, k} {\ frac {\ partiell ^ {2} y ^ {i}} {\ partielles x ^ {j} \, \ partielles x ^ {k}}} (f (t)) {\ frac {d} {dt}} x ^ {j} (f (t)) {\ frac {d} {dt}} x ^ {k} (f (t)) + \ sum _ {j} {\ frac {\ partiell y ^ {i}} {\ partiell x ^ {j}}} (f (t)) {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} x ^ {j} (f (t)) \ end {align}}}

Daher ist das Transformationsgesetz gegeben, indem diese beiden Ausdrücke bei t = 0 ausgewertet werden.

$$y˙ich=∑j∂yich∂xj((0)x˙jy¨ich=∑j,k∂2yich∂xj∂xk((0)x˙jx˙k+∑j∂yich∂xj((0)x¨j. {\ displaystyle {\ begin {align} amp; {\ dot {y}} ^ {i} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partielle y ^ {i}} {\ partielle x ^ {j}}} (0) {\ dot {x}} ^ {j} \\ [5pt] amp; {\ ddot {y}} ^ {i} = \ sum _ {j, k} {\ frac {\ partiell ^ {2} y ^ {i}} {\ partielle x ^ {j} \, \ partielle x ^ {k}} (0) {\ dot {x}} ^ {j} {\ dot {x}} ^ {k} + \ sum _ {j} {\ frac {\ partiell y ^ {i}} {\ partiell x ^ {j}}} (0) {\ ddot {x}} ^ {j}. \ end {align}} }}

Beachten Sie, dass das Transformationsgesetz für 2-Jets in den Koordinatenübergangsfunktionen zweiter Ordnung ist.

Funktionsstrahlen von einem Verteiler zu einem Verteiler

Wir sind nun bereit, den Strahl einer Funktion von einem Verteiler zu einem Verteiler zu definieren.

Angenommen, M und N sind zwei glatte Verteiler. Lassen Sie p ein Punkt sein, M. Betrachten Sie den Raum, der aus glatten Karten besteht, die in einer Nachbarschaft von p definiert sind. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf wie folgt. Zwei Karten f und g werden als äquivalent bezeichnet, wenn wir für jede Kurve γ bis p (denken Sie daran, dass dies nach unseren Konventionen eine solche Abbildung ist) eine Nachbarschaft von 0 haben.$$

C.p∞((M.,N.) {\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$$f::M.→N. {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$C.p∞((M.,N.) {\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$$γ::R.→M. {\ displaystyle \ gamma: {\ mathbb {R}} \ rightarrow M}$$γ((0)=p {\ displaystyle \ gamma (0) = p}$$J.0k((f∘γ)=J.0k((G∘γ) {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} (f \ circ \ gamma) = J_ {0} ^ {k} (g \ circ \ gamma)}

Der Strahlraum wird dann definiert als die Menge von Äquivalenzklassen von Modulo der Äquivalenzbeziehung. Es ist zu beachten, dass, da der Zielraum N keine algebraische Struktur besitzen muss, auch keine solche Struktur vorhanden sein muss. Dies ist in der Tat ein scharfer Kontrast zum Fall der euklidischen Räume.$$

J.pk((M.,N.) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, N)}$$C.p∞((M.,N.) {\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty} (M, N)}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}$$J.pk((M.,N.) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, N)}

Wenn eine glatte Funktion in der Nähe von p definiert ist, definieren wir den k- Strahl von f bei p, als die Äquivalenzklasse von f modulo.$$

f::M.→N. {\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$$J.pkf {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} f}$$E.pk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}

Multijets

John Mather führte den Begriff Multijet ein. Ein Multijet ist eine endliche Liste von Jets über verschiedene Basispunkte. Mather bewies den Multijet- Transversalitätssatz, den er bei seiner Untersuchung stabiler Abbildungen verwendete.

Jets von Abschnitten

Angenommen, E ist ein endlichdimensionales glattes Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit M mit Projektion. Dann Abschnitte von E glatten Funktionen, so dass die Identität Automorphismus von M. Der Strahl eines Abschnitts s über einer Nachbarschaft eines Punktes p ist nur der Strahl dieser glatten Funktion von M nach E bei p.$$

π::E.→M. {\ displaystyle \ pi: E \ rightarrow M}$$s::M.→E. {\ displaystyle s: M \ rightarrow E}$$π∘s {\ displaystyle \ pi \ circ s}

Der Raum der Düsen von Abschnitten bei p ist mit bezeichnet. Obwohl diese Notation zu Verwechslungen mit den allgemeineren Jet-Funktionsräumen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten führen kann, beseitigt der Kontext typischerweise eine solche Mehrdeutigkeit.$$

J.pk((M.,E.) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, E)}

Im Gegensatz zu Funktionsstrahlen von einem Verteiler zu einem anderen Verteiler trägt der Raum von Abschnittsstrahlen bei p die Struktur eines Vektorraums, der von der Vektorraumstruktur auf den Abschnitten selbst geerbt wurde. Da p über M variiert, bilden die Strahlräume ein Vektorbündel über M, das mit J ^k ( E)bezeichnete Strahlbündel k- ter Ordnung von E.$$

J.pk((M.,E.) {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} (M, E)}

• Beispiel: Das Strahlbündel erster Ordnung des Tangentenbündels.

Wir arbeiten an einem Punkt in lokalen Koordinaten und verwenden die Einstein-Notation. Betrachten Sie ein Vektorfeld

$$v=vich((x)∂/.∂xich {\ displaystyle v = v ^ {i} (x) \ teilweise / \ teilweise x ^ {i}}

in einer Umgebung von p in M. Der 1-Strahl von v wird erhalten, indem das Taylor-Polynom erster Ordnung der Koeffizienten des Vektorfeldes genommen wird:

$$J.01vich((x)=vich((0)+xj∂vich∂xj((0)=vich+vjichxj. {\ displaystyle J_ {0} ^ {1} v ^ {i} (x) = v ^ {i} (0) + x ^ {j} {\ frac {\ partielle v ^ {i}} {\ partielle x ^ {j}}} (0) = v ^ {i} + v_ {j} ^ {i} x ^ {j}.}

In den x- Koordinaten kann der 1-Jet an einem Punkt mit einer Liste von reellen Zahlen identifiziert werden. Ebenso wie ein Tangentenvektor an einem Punkt mit der Liste ( v ⁱ) identifiziert werden kann, müssen wir wissen, wie die Liste von einem Übergang betroffen ist, vorbehaltlich eines bestimmten Transformationsgesetzes unter Koordinatenübergängen.$$((vich,vjich) {\ displaystyle (v ^ {i}, v_ {j} ^ {i})}$$((vich,vjich) {\ displaystyle (v ^ {i}, v_ {j} ^ {i})}

Betrachten Sie also das Transformationsgesetz beim Übergang zu einem anderen Koordinatensystem y ⁱ. Sei w ^k die Koeffizienten des Vektorfeldes v in den y- Koordinaten. Dann ist in den y- Koordinaten der 1-Strahl von v eine neue Liste von reellen Zahlen. Schon seit$$((wich,wjich) {\ displaystyle (w ^ {i}, w_ {j} ^ {i})}

$$v=wk((y)∂/.∂yk=vich((x)∂/.∂xich, {\ displaystyle v = w ^ {k} (y) \ partiell / \ partiell y ^ {k} = v ^ {i} (x) \ partiell / \ partiell x ^ {i},}

es folgt dem

$$wk((y)=vich((x)∂yk∂xich((x). {\ displaystyle w ^ {k} (y) = v ^ {i} (x) {\ frac {\ partielle y ^ {k}} {\ partielle x ^ {i}}} (x).}

Damit

$$wk((0)+yj∂wk∂yj((0)=((vich((0)+xj∂vich∂xj)∂yk∂xich((x) {\ displaystyle w ^ {k} (0) + y ^ {j} {\ frac {\ partiell w ^ {k}} {\ partiell y ^ {j}}} (0) = \ left (v ^ {i } (0) + x ^ {j} {\ frac {\ partiell v ^ {i}} {\ partiell x ^ {j}}} \ rechts) {\ frac {\ partiell y ^ {k}} {\ partiell x ^ {i}}} (x)}

Wir haben um eine Taylor-Reihe erweitert

$$wk=∂yk∂xich((0)vich {\ displaystyle w ^ {k} = {\ frac {\ partielle y ^ {k}} {\ partielle x ^ {i}}} (0) v ^ {i}}

$$wjk=vich∂2yk∂xich∂xj+vjich∂yk∂xich. {\ displaystyle w_ {j} ^ {k} = v ^ {i} {\ frac {\ partiell ^ {2} y ^ {k}} {\ partiell x ^ {i} \, \ partiell x ^ {j} }} + v_ {j} ^ {i} {\ frac {\ partielle y ^ {k}} {\ partielle x ^ {i}}}.}

Beachten Sie, dass das Transformationsgesetz in den Koordinatenübergangsfunktionen zweiter Ordnung ist.

Differentialoperatoren zwischen Vektorbündeln

Weitere Informationen: Differentialoperator § Koordinatenunabhängige Beschreibung

Siehe auch

• Jet-Gruppe
• Jet-Bündel
• Lagrange-System

Verweise

• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], Symmetrien und Erhaltungssätze für Differentialgleichungen der mathematischen Physik, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Natürliche Operationen in der Differentialgeometrie. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Saunders, DJ, Die Geometrie der Jet-Bündel, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Olver, PJ, Äquivalenz, Invarianten und Symmetrie, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Sardanashvily, G., Advanced Differential Geometry for Theoreticians: Faserbündel, Strahlverteiler und Lagrange-Theorie, Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886