Unendliche Teilbarkeit

Unendliche Teilbarkeit entsteht auf unterschiedliche Weise in Philosophie, Physik, Wirtschaft, Ordnungstheorie (ein Zweig der Mathematik) und Wahrscheinlichkeitstheorie (auch ein Zweig der Mathematik).Man kann von unendlicher Teilbarkeit oder deren Fehlen von Materie, Raum, Zeit, Geld oder abstrakten mathematischen Objekten wie dem Kontinuum sprechen.

Inhalt

• 1 In der Philosophie
• 2 In der Quantenphysik
• 3 In der Wirtschaft
• 4 In der Ordnungstheorie
• 5 In Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• 6 Siehe auch
• 7 Referenzen
• 8 Externe Links

In der Philosophie

Der Ursprung der Idee in der westlichen Tradition lässt sich bis ins 5. Jahrhundert v. Chr. Zurückverfolgen, beginnend mit dem altgriechischen vorsokratischen Philosophen Demokrit und seinem Lehrer Leucippus, der die Teilbarkeit der Materie über das hinaus theoretisierte, was von den Sinnen wahrgenommen werden kann, bis sie schließlich unteilbar endet Atom.Der indische Philosoph Kanada schlug ebenfalls eine atomistische Theorie vor, es gibt jedoch Unklarheiten darüber, wann dieser Philosoph lebte, und zwar zwischen dem 6. und 2. Jahrhundert v. Atomismus in erforschte Plato ‚s Dialog Timaios und auch unterstützt wurde Aristoteles. Andrew Pyle gibt auf den ersten Seiten seines Atomismus und seiner Kritiker einen klaren Bericht über die unendliche Teilbarkeit.Dort zeigt er, wie unendliche Teilbarkeit die Idee beinhaltet, dass es einen erweiterten Gegenstand gibt, wie zum Beispiel einen Apfel, der unendlich oft geteilt werden kann, wobei man sich niemals auf einen Punkt oder auf Atome jeglicher Art aufteilt.Viele professionelle Philosophen behaupten, dass unendliche Teilbarkeit entweder eine Sammlung einer unendlichen Anzahl von Gegenständen (da es unendliche Unterteilungen gibt, muss es eine unendliche Sammlung von Objekten geben) oder (seltener) punktgroße Gegenstände oder beides beinhaltet.Pyle gibt an, dass die Mathematik der unendlich teilbaren Erweiterungen keine dieser beiden beinhaltet - dass es unendliche Unterteilungen gibt, sondern nur endliche Sammlungen von Objekten, und dass sie niemals in Punkte ohne Erweiterung unterteilt werden.

Zeno fragte sich, wie sich ein Pfeil bewegen kann, wenn er in einem Moment hier und bewegungslos ist und in einem späteren Moment woanders und bewegungslos ist.

Zenos Argumentation ist jedoch trügerisch, wenn er sagt, dass der fliegende Pfeil daher bewegungslos ist, wenn alles, wenn es einen gleichen Raum einnimmt, in Ruhe ist und wenn das, was sich in der Fortbewegung befindet, immer einen solchen Raum einnimmt.Dies ist falsch, denn die Zeit besteht nicht mehr aus unteilbaren Momenten als jede andere Größe aus unteilbaren Momenten.

In Bezug auf Zenos Paradoxon des Pfeils im Flugschreibt Alfred North Whitehead, dass "eine unendliche Anzahl von Akten des Werdens in einer endlichen Zeit stattfinden kann, wenn jeder nachfolgende Akt in einer konvergenten Reihe kleiner ist":

Das Argument, soweit es gültig ist, löst einen Widerspruch aus den beiden Prämissen aus: (i) dass in einem Werden etwas ( res vera) wird und (ii) dass jeder Akt des Werdens in frühere und spätere Abschnitte unterteilt werden kann selbst Handlungen des Werdens.Stellen Sie sich zum Beispiel einen Akt des Werdens während einer Sekunde vor.Die Handlung ist in zwei Handlungen teilbar, eine in der ersten Hälfte der Sekunde, die andere in der späteren Hälfte der Sekunde.Das, was während der ganzen Sekunde wird, setzt also das voraus, was während der ersten halben Sekunde wird.Analog setzt das, was während der ersten halben Sekunde wird, das voraus, was während der ersten Viertelsekunde wird, und so weiter auf unbestimmte Zeit.Wenn wir also den Prozess betrachten, bis zum Anfang der fraglichen Sekunde zu kommen, und fragen, was dann wird, kann keine Antwort gegeben werden.Denn jede Kreatur, die wir angeben, setzt eine frühere Kreatur voraus, die nach dem Beginn der zweiten und vor der angegebenen Kreatur wurde.Daher gibt es nichts, was wird, um einen Übergang in die fragliche Sekunde zu bewirken.

In der Quantenphysik

Bis zur Entdeckung der Quantenmechanik wurde nicht zwischen der Frage, ob Materie unendlich teilbar ist, und der Frage, ob Materie ad infinitum in kleinere Teile geschnitten werdenkann, unterschieden.

Infolgedessen wird das griechische Wort átomos ( ἄτομος), das wörtlich "nicht schneidbar" bedeutet, normalerweise als "unteilbar" übersetzt.Während das moderne Atom tatsächlich teilbar ist, ist es tatsächlich nicht zerlegbar: Es gibt keine Raumaufteilung, so dass seine Teile materiellen Teilen des Atoms entsprechen.Mit anderen Worten, die quantenmechanische Beschreibung der Materie entspricht nicht mehr dem Ausstecher-Paradigma.Dies wirft ein neues Licht auf das alte Rätsel der Teilbarkeit der Materie.Die Vielzahl eines materiellen Objekts - die Anzahl seiner Teile - hängt von der Existenz nicht abgrenzender Oberflächen ab, sondern von internen räumlichen Beziehungen (relativen Positionen zwischen Teilen), und diesen fehlen bestimmte Werte.Nach dem Standardmodell der Teilchenphysik sind die Teilchen, aus denen ein Atom besteht - Quarks und Elektronen - Punktteilchen : Sie nehmen keinen Raum ein.Was ein Atom dennoch dazu bringt, Raum einzunehmen, ist kein räumlich ausgedehntes "Zeug", das "Raum einnimmt" und das in immer kleinere Stücke geschnitten werden könnte, sondern die Unbestimmtheit seiner inneren räumlichen Beziehungen.

Der physische Raum wird oft als unendlich teilbar angesehen: Es wird angenommen, dass jede noch so kleine Region im Raum weiter aufgeteilt werden könnte. Zeit wird in ähnlicher Weise als unendlich teilbar angesehen.

Die Pionierarbeit von Max Planck (1858–1947) auf dem Gebiet der Quantenphysik legt jedoch nahe, dass es tatsächlich einen messbaren Mindestabstand gibt (jetzt Planck-Länge genannt, 1.616229 (38) × 10 ^–35Meter) und daher ein minimales Zeitintervall (die Zeit, die Licht benötigt, um diese Strecke im Vakuum zurückzulegen, 5,39116 (13) × 10 ^–44Sekunden, bekannt als Planck-Zeit ), die kleiner ist als das, was eine aussagekräftige Messung unmöglich macht.

In Wirtschaft

Ein Dollar oder ein Euro wird in 100 Cent aufgeteilt;man kann nur in Schritten von einem Cent bezahlen.Es ist durchaus üblich, dass die Preise einiger Waren wie Benzin in Schritten von einem Zehntel Cent pro Gallone oder pro Liter liegen.Wenn Benzin 3,979 US-Dollar pro Gallone kostet und man 10 Gallonen kauft, beträgt das "zusätzliche" 9/10 eines Cent das Zehnfache: "zusätzliche" 9 Cent, sodass der Cent in diesem Fall ausgezahlt wird.Geld ist in dem Sinne unendlich teilbar, dass es auf dem reellen Zahlensystem basiert.Moderne Münzen sind jedoch nicht teilbar (in der Vergangenheit wurden einige Münzen bei jeder Transaktion gewogen und ohne besondere Begrenzung als teilbar angesehen).Bei jeder Transaktion gibt es einen Punkt der Präzision, der nutzlos ist, weil so kleine Geldbeträge für den Menschen unbedeutend sind.Je mehr der Preis multipliziert wird, desto wichtiger kann die Präzision sein.Zum Beispiel könnten Käufer und Verkäufer beim Kauf einer Million Aktien an einem Preisunterschied von einem Zehntel Cent interessiert sein, aber es ist nur eine Wahl.Alles andere in Bezug auf Unternehmensmessung und -auswahl ist in dem Maße, in dem die Parteien interessiert sind, ähnlich teilbar.Beispielsweise können Finanzberichte jährlich, vierteljährlich oder monatlich gemeldet werden.Einige Business Manager führen mehr als einmal pro Tag Cashflow-Berichte durch.

Obwohl die Zeit unendlich teilbar sein kann, werden Daten zu Wertpapierpreisen zu diskreten Zeiten gemeldet.Wenn man sich zum Beispiel Aufzeichnungen über Aktienkurse in den 1920er Jahren ansieht, kann man die Kurse am Ende eines jeden Tages finden, aber vielleicht nicht nach dreihundertstel Sekunden nach 12:47 Uhr.Eine neue Methode könnte jedoch theoretisch mit der doppelten Rate melden, was eine weitere Erhöhung der Berichtsgeschwindigkeit nicht verhindern würde.Vielleicht paradoxerweise ist die auf die Finanzmärkte angewandte technische Mathematik oft einfacher, wenn die unendlich teilbare Zeit als Annäherung verwendet wird.Selbst in diesen Fällen wird eine Genauigkeit gewählt, mit der gearbeitet werden soll, und die Messungen werden auf diese Näherung gerundet.In Bezug auf die menschliche Interaktion sind Geld und Zeit teilbar, jedoch nur bis zu dem Punkt, an dem eine weitere Teilung nicht von Wert ist, wobei dieser Punkt nicht genau bestimmt werden kann.

In der Ordnungstheorie

Zu sagen, dass das Feld der rationalen Zahlen unendlich teilbar ist (dh die Ordnung theoretisch dicht ), bedeutet, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen eine andere rationale Zahl steht.Im Gegensatz dazu ist der Ring von ganzen Zahlen nicht unendlich teilbar.

Unendliche Teilbarkeit bedeutet keine Lückenlosigkeit: Die Rationalen genießen nicht die Eigenschaft der geringsten Obergrenze. Das bedeutet,dass,wenn man waren partitionieren die rationals in zwei nicht-leere Sätze A und B, wo A alle rationals kleiner als eine irrationale Zahl enthält ( π, sagen wir) und B alle rationals größer als sie, dann A keine größte Mitglied hat und B hat kein kleinstes Mitglied.Das Feld der reellen Zahlen ist dagegen sowohl unendlich teilbar als auch lückenlos.Jede linear geordnete Menge, die unendlich teilbar und lückenlos ist und mehr als ein Glied hat, ist unzählig unendlich. Einen Beweis finden Sie in Cantors erstem Unzählbarkeitsnachweis. Unendliche Teilbarkeit allein impliziert Unendlichkeit, aber nicht Unzählbarkeit, wie die rationalen Zahlen veranschaulichen.

In Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zu sagen,dass eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F auf der reellen Achse ist unendlich teilbar bedeutet, wenn X ist einebeliebige Zufallsvariable, deren Verteilung ist F, dann für jede positive ganze Zahl n gibt es n unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen X 1,..., X n deren Summe in der Verteilung gleich X ist (diese n anderen Zufallsvariablen haben normalerweise nicht die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung wie X).

Die Poisson-Verteilung, die stotternde Poisson-Verteilung, die negative Binomialverteilung und die Gamma-Verteilung sind Beispiele für unendlich teilbare Verteilungen - ebenso wie die Normalverteilung, die Cauchy-Verteilung und alle anderen Mitglieder der stabilen Verteilungsfamilie. Die Schrägnormalverteilung ist ein Beispiel für eine nicht unendlich teilbare Verteilung.(Siehe Domínguez-Molina und Rocha Arteaga (2007).)

Jede unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht auf natürliche Weise einem Lévy-Prozess, dh einem stochastischen Prozess { X t: t ≥ 0} mit stationären unabhängigen Inkrementen ( stationär bedeutet, dass für s lt; t die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t - X s gilt hängt nur von t - s ab ; unabhängige Inkremente bedeuten, dass diese Differenz unabhängig von der entsprechenden Differenz in einem Intervall ist, das sich nicht mit [ s, t ]überlappt, und in ähnlicher Weise für eine endliche Anzahl von Intervallen).

Dieses Konzept der unendlichen Teilbarkeit von Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurde 1929 von Bruno de Finetti eingeführt.

Siehe auch

Wikisource enthält den Text des 1905 New International Encyclopedia- Artikels " Divisibility ".

• Teilbare Gruppe, eine mathematische Gruppe, in der jedes Element ein beliebiges Vielfaches eines anderen Elements ist
• Nicht zusammensetzbare Verteilung
• Salami in Scheiben schneiden
• Zenos Paradoxe

Verweise

1. ^ Bildung, Pearson (2016). Die 9. Wissenschaft Springboard. ISBN 9789332585164.
2. ^ Aristoteles. "Physik". Das Internet Classics Archiv.
3. ^ ^{a b} Ross, SD (1983). Perspektive in Whiteheads Metaphysik. Suny Series in der systematischen Philosophie.Staatliche Universität der New Yorker Presse.pp. 182 -183. ISBN 978-0-87395-658-1. LCCN 82008332.
4. ^ Ulrich Mohrhoff (2000)."Quantenmechanik und das Ausstecher-Paradigma". arXiv : quant-ph / 0009001v2.

• Domínguez-Molina, JA;Rocha-Arteaga, A. (2007) "Über die unendliche Teilbarkeit einiger verzerrter symmetrischer Verteilungen". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi : 10.1016 / j.spl.2006.09.014

Externe Links

• Unendliche hierarchische Verschachtelung der Materie (Übersetzung der russischen Wikipedia-Seite)