Herbrandisierung

Die Herbrandization einer logischen Formel (benannt nach Jacques Herbrand ) ist eine Konstruktion, die ist dual zu der Skolemisierung einer Formel. Thoralf Skolem hatte die Skolemisierungen von Formeln in Prenex-Form als Teil seines Beweises des Löwenheim-Skolem-Theorems (Skolem 1920) betrachtet. Herbrand arbeitete mit diesem doppelten Begriff der Herbrandisierung, der verallgemeinert wurde, um auch auf Nicht-Prenex-Formeln anzuwenden, um Herbrands Theorem zu beweisen (Herbrand 1930).

Die resultierende Formel entspricht nicht unbedingt der ursprünglichen. Wie bei Skolemization, bei dem nur die Erfüllbarkeit erhalten bleibt, behält Herbrandization als Skolemization-Dual die Gültigkeit : Die resultierende Formel ist genau dann gültig, wenn die ursprüngliche Formel vorliegt.

Definition und Beispiele

Sei eine Formel in der Sprache der Logik erster Ordnung. Wir können annehmen, dass keine Variable enthalten ist, die durch zwei verschiedene Quantifizierervorkommen gebunden ist, und dass keine Variable sowohl gebunden als auch frei auftritt. (Das heißt, könnte neu beschriftet werden, um diese Bedingungen so zu gewährleisten, dass das Ergebnis eine äquivalente Formel ist).$$

Die Herbrandisierung von wird dann wie folgt erhalten:$$

• Ersetzen Sie zunächst alle freien Variablen durch konstante Symbole.$$F. {\ displaystyle F}
• Zweitens löschen Sie alle Quantifizierer für Variablen, die entweder (1) universell quantifiziert und innerhalb einer geraden Anzahl von Negationszeichen oder (2) existenziell quantifiziert und innerhalb einer ungeraden Anzahl von Negationszeichen sind.
• Ersetzen Sie schließlich jede dieser Variablen durch ein Funktionssymbol, in dem sich die noch quantifizierten Variablen befinden und deren Quantifizierer maßgeblich sind.$$v {\ displaystyle v}$$fv(x1,…,xk) {\ displaystyle f_ {v} (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}$$x1,…,xk {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {k}}$$v {\ displaystyle v}

Betrachten Sie zum Beispiel die Formel. Es sind keine freien Variablen zu ersetzen. Die Variablen sind die Art, die wir für den zweiten Schritt berücksichtigen, also löschen wir die Quantifizierer und. Schließlich ersetzen wir durch eine Konstante (da keine anderen Quantifizierer maßgeblich waren) und durch ein Funktionssymbol:$$

$$F.H.=∃x[R.(cy,x)∧¬S.(x,fz(x))]]. {\ displaystyle F ^ {H} = \ existiert x [R (c_ {y}, x) \ Keil \ neg S (x, f_ {z} (x))].}

Die Skolemisierung einer Formel wird auf ähnliche Weise erhalten, mit der Ausnahme, dass wir im obigen zweiten Schritt Quantifizierer für Variablen löschen würden, die entweder (1) existenziell quantifiziert und innerhalb einer geraden Anzahl von Negationen oder (2) universell quantifiziert und innerhalb einer ungeraden Anzahl sind von Negationen. Wenn man dasselbe von oben betrachtet, wäre seine Skolemisierung also:$$

$$F.S.=∀y[R.(y,fx(y))∧¬∃zS.(fx(y),z)]]. {\ displaystyle F ^ {S} = \ forall y [R (y, f_ {x} (y)) \ wedge \ neg \ existiert zS (f_ {x} (y), z)].}

Um die Bedeutung dieser Konstruktionen zu verstehen, siehe Herbrands Theorem oder das Löwenheim-Skolem-Theorem.

Siehe auch

• Prädikat-Funktorlogik

Verweise

• Skolem, T. "Logisch-kombinatorische Untersuchungen zur Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze: Ein vereinfachter Beweis eines Satzes von L. Löwenheim und Verallgemeinerungen des Satzes". (In van Heijenoort 1967, 252-63.)
• Herbrand, J. "Untersuchungen in der Beweistheorie: Die Eigenschaften wahrer Sätze". (In van Heijenoort 1967, 525-81.)
• van Heijenoort, J.Von Frege nach Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879-1931. Harvard University Press, 1967.