Hawaiianischer Ohrring

topologischer Raum definiert durch die Vereinigung von Kreisen Der hawaiianische Ohrring.Es werden nur die zehn größten Kreise angezeigt.

In der Mathematik ist der hawaiianische Ohrring der topologische Raum, der durch die Vereinigung von Kreisen in der euklidischen Ebene mit Mittelpunktund Radiusfürdie Subraumtopologie definiert ist :$$

H. {\ displaystyle \ mathbb {H}} $$ R. 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$$ (( 1 n, 0) {\ displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {n}}, 0 \ right)}$$ 1 n {\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$$ n = 1, 2, 3, … {\ displaystyle n = 1,2,3, \ ldots}

$$ H. = ⋃ n = 1 ∞ { (( x, y) ∈ R. 2 ∣ (( x - - 1 n) 2 + y 2 = (( 1 n) 2 }} {\ displaystyle \ mathbb {H} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid \ left (x- { \ frac {1} {n}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) ^ {2} \ right \}}

Der Raumist homöomorph zur Ein-Punkt-Verdichtung der Vereinigung einer zählbaren Familie disjunkter offener Intervalle. $$

H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}

Der hawaiianische Ohrring ist ein eindimensionaler, kompakter, lokal pfadverbundener messbarer Raum.Obwohllokal homöomorph ist, auf allen Nicht-Ursprungspunktenist nicht halb-lokal einfach angeschlossen an.Hatdaher keinen einfach verbundenen Abdeckungsraum und wird üblicherweise als einfachstes Beispiel für einen Raum mit dieser Komplikation angegeben.$$

H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}$$ R. {\ displaystyle \ mathbb {R}}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}} $$ (( 0, 0) {\ displaystyle (0,0)}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}

Der hawaiianische Ohrring sieht der Keilsumme von unendlich vielen Kreisensehr ähnlich;das heißt, die Rose mit unendlich vielen Blütenblättern, aber diese beiden Räume sind nicht homöomorph.Der Unterschied zwischen ihren Topologien zeigt sich in der Tatsache, dass im hawaiianischen Ohrring jede offene Nachbarschaft des Schnittpunkts der Kreise alle bis auf endlich viele Kreise enthält (ein ε- Ball um (0, 0) enthält jeden Kreis dessen Radius kleiner als ε / 2 ist);In der Rose enthält eine Nachbarschaft des Schnittpunkts möglicherweise keinen der Kreise vollständig.Außerdem ist die Rose nicht kompakt: Das Komplement des Unterscheidungspunktes ist eine unendliche Vereinigung offener Intervalle;FügenSie dazu eine kleine offene Nachbarschaft desmarkiertenPunkts hinzu, um eine offene Abdeckung ohne endliche Unterabdeckung zu erhalten.

Inhalt

• 1 Grundgruppe
• 2 Erste singuläre Homologie
• 3 Höhere Dimensionen
• 4 Siehe auch
• 5 Referenzen
• 6 Weiterführende Literatur

Grundgruppe

Der hawaiianische Ohrring ist weder einfach verbunden noch semilokal einfach verbunden, da für alleSchleifen, die den n- ten Kreisparametrisieren,keine Homotopie zu einer trivialen Schleife besteht.Somithat eine nicht triviale Grundgruppe manchmal als hawaiianische Ohrringgruppe bezeichnet.Die hawaiianische Ohrringgruppeist unzählig und keine freie Gruppe.Istjedoch lokal frei in dem Sinne, dass jede endlich erzeugte Untergruppe vonfrei ist.$$

n ≥ 1, {\ displaystyle n \ geq 1,}$$ ℓ n {\ displaystyle \ ell _ {n}}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}} $$ G = π 1 (( H., (( 0, 0)), {\ displaystyle G = \ pi _ {1} (\ mathbb {H}, (0,0)),}$$ G {\ displaystyle G}$$ G {\ displaystyle G}$$ G {\ displaystyle G}

Die Homotopieklassen der einzelnen Schleifenerzeugen die freie Gruppe auf einer zählbar unendlichen Anzahl von Generatoren, die eine geeignete Untergruppe von bildet.Die unzähligen anderen Elementeentstehen aus Schleifen, deren Bild nicht in endlich vielen Kreisen des hawaiianischen Ohrrings enthalten ist;in der Tat sind einige von ihnen surjektiv.Zum Beispiel der Pfad, der in dem Intervallden n- ten Kreisumrundet.Allgemeiner kann man unendliche Produkte der Schleifen bilden,die über jede zählbare lineare Ordnung indiziert sind, vorausgesetzt, dass für jededie Schleifeund ihre Umkehrung nur endlich viele Male innerhalb des Produkts erscheinen.$$

ℓ n {\ displaystyle \ ell _ {n}} $$ ⟨ [ ℓ n ]] ∣ n ≥ 1 ⟩ {\ displaystyle \ langle [\ ell _ {n}] \ mid n \ geq 1 \ rangle}$$ G {\ displaystyle G}$$ G {\ displaystyle G}$$ [ 2 - - n, 2 - - n + 1 ]] {\ displaystyle [2 ^ {- n}, 2 ^ {- n + 1}]}$$ ℓ n {\ displaystyle \ ell _ {n}}$$ n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$$ ℓ n {\ displaystyle \ ell _ {n}}

Es ist ein Ergebnis von John Morgan und Ian Morrison, das sichin die inverse Grenze der freien Gruppen mit n Generatoren einbettet, wobei die Bindungskarte vonbiseinfach den letzten Generator von tötet.Istjedoch eine geeignete Untergruppe der inversen Grenze, da jede Schleife injedem Kreisnur endlich viele Maledurchlaufen kann.Ein Beispiel für ein Element der inversen Grenze, das keinem Element von entspricht,ist ein unendliches Produkt von Kommutatoren, das formal als die Sequenzin der inversen Grenze erscheint.$$

G {\ displaystyle G} $$ lim ← ⁡ F. n {\ displaystyle \ varprojlim F_ {n}}$$ F. n {\ displaystyle F_ {n}}$$ F. n {\ displaystyle F_ {n}}$$ F. n - - 1 {\ displaystyle F_ {n-1}}$$ F. n {\ displaystyle F_ {n}}$$ G {\ displaystyle G}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}$$ G {\ displaystyle G}$$ ∏ n = 2 ∞ [ ℓ 1 ℓ n ℓ 1 - - 1 ℓ n - - 1 ]] {\ displaystyle \ prod _ {n = 2} ^ {\ infty} [\ ell _ {1} \ ell _ {n} \ ell _ {1} ^ {- 1} \ ell _ {n} ^ {- 1 }]}$$ (( 1, [ ℓ 1 ]] [ ℓ 2 ]] [ ℓ 1 ]] - - 1 [ ℓ 2 ]] - - 1, [ ℓ 1 ]] [ ℓ 2 ]] [ ℓ 1 ]] - - 1 [ ℓ 2 ]] - - 1 [ ℓ 1 ]] [ ℓ 3 ]] [ ℓ 1 ]] - - 1 [ ℓ 3 ]] - - 1, …) {\ displaystyle \ left (1, [\ ell _ {1}] [\ ell _ {2}] [\ ell _ {1}] ^ {- 1} [\ ell _ {2}] ^ {- 1}, [\ ell _ {1}] [\ ell _ {2}] [\ ell _ {1}] ^ {- 1} [\ ell _ {2}] ^ {- 1} [\ ell _ {1} ] [\ ell _ {3}] [\ ell _ {1}] ^ {- 1} [\ ell _ {3}] ^ {- 1}, \ dots \ right)}$$ lim ← ⁡ F. n {\ displaystyle \ varprojlim F_ {n}}

Erste singuläre Homologie

Katsuya Eda und Kazuhiro Kawamura bewiesen,dass die abelianisation vonund damit die erste singuläre Homologiegruppe ist isomorph zur Gruppe$$

G, {\ displaystyle G,} $$ H. 1 (( H.) {\ displaystyle H_ {1} (\ mathbb {H})}

$$

(( ∏ ich = 1 ∞ Z.) ⊕ (( ∏ ich = 1 ∞ Z. /. ⨁ ich = 1 ∞ Z.) {\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} \ right) \ oplus \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} {\ Big /} \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} \ right)}.

Der erste Summandist das direkte Produkt von unendlich vielen Kopien der unendlichen zyklischen Gruppe (der Baer-Specker-Gruppe ).Dieser Faktor stellt die singulären Homologieklassen von Schleifen dar, die nichtum jeden Kreiseine Wicklungszahl haben,und ist genau die erste Cech Singular-Homologiegruppe. Darüber hinauskann als die unendliche Abelianisierung von betrachtet werden, da jedes Element im Kern des natürlichen Homomorphismusdurch ein unendliches Produkt von Kommutatoren dargestellt wird.Der zweite Summand vonbesteht aus Homologieklassen, die durch Schleifen dargestellt werden, deren Wicklungszahl um jeden Kreis vonNull ist, dh der Kern des natürlichen Homomorphismus.Die Existenz des Isomorphismus mitwird abstrakt unter Verwendung der unendlichen abelschen Gruppentheorie bewiesen und hat keine geometrische Interpretation.$$

∏ ich = 1 ∞ Z., {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z},} $$ 0 {\ displaystyle 0}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}} $$ H. ˇ 1 (( H.) {\ displaystyle {\ check {H}} _ {1} (\ mathbb {H})}$$ ∏ ich = 1 ∞ Z., {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z},}$$ G {\ displaystyle G}$$ G → ∏ ich = 1 ∞ Z. {\ displaystyle G \ to \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z}}$$ H. 1 (( H.) {\ displaystyle H_ {1} (\ mathbb {H})}$$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}$$ H. 1 (( H.) → ∏ ich = 1 ∞ Z. {\ displaystyle H_ {1} (\ mathbb {H}) \ to \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z}}$$ ∏ ich = 1 ∞ Z. /. ⨁ ich = 1 ∞ Z. {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} {\ Big /} \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z}}

Höhere Dimensionen

Es ist bekannt, dasses sich um einen asphärischen Raum handelt, dh alle höheren Homotopie- und Homologiegruppen vonsind trivial.$$

H. {\ displaystyle \ mathbb {H}} $$ H. {\ displaystyle \ mathbb {H}}

Der hawaiianische Ohrring kann auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden.Eine solche Verallgemeinerung wurde von Michael Barratt und John Milnor verwendet, um Beispiele für kompakte, endlich dimensionale Räume mit nichttrivialen singulären Homologiegruppen in Dimensionenbereitzustellen, diegrößer als die des Raums sind.Dereindimensionale hawaiianische Ohrring ist definiert als$$

k {\ displaystyle k}

$$ H. k = ⋃ n ∈ N. { (( x 0, x 1, …, x k) ∈ R. k + 1:: (( x 0 - - 1 n) 2 + x 1 2 + ⋯ + x k 2 = 1 n 2 }}. {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {k} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left \ {(x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \ in \ mathbb {R} ^ {k + 1}: \ left (x_ {0} - {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right \}.}

Daherist eine zählbare Vereinigung von k- Kugeln, die einen einzigen Punkt gemeinsam haben, und die Topologie ist durch eine Metrik gegeben, in der die Durchmesser der Kugel gegen Null konvergieren.]]Alternativkann sie als Alexandrov-Verdichtung einer zählbaren Vereinigungkonstruiert werdenvon disjunktens.Rekursiv besteht eine, dieaus einer konvergenten Sequenz besteht,der ursprüngliche hawaiianische Ohrring ist undhomöomorph zur reduzierten Suspension ist. $$

H. k {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {k}} $$ n → ∞. {\ displaystyle n \ to \ infty.}$$ H. k {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {k}} $$ R. k {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$$ H. 0 {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {0}}$$ H. 1 {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {1}}$$ H. k + 1 {\ displaystyle \ mathbb {H} _ {k + 1}} $$ Σ H. k {\ displaystyle \ Sigma \ mathbb {H} _ {k}}

Denndereindimensionale hawaiianische Ohrring ist kompakt, verbunden und lokal verbunden. Dennes ist bekannt, dasses zur Baer-Specker-Gruppe isomorph ist $$

k ≥ 1 {\ displaystyle k \ geq 1}$$ k {\ displaystyle k} $$ (( k - - 1) {\ displaystyle (k-1)} $$ (( k - - 1) {\ displaystyle (k-1)} $$ k ≥ 2 {\ displaystyle k \ geq 2}$$ π k (( H. k) {\ displaystyle \ pi _ {k} (\ mathbb {H} _ {k})}$$ ∏ ich = 1 ∞ Z.. {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z}.}

ForundBarratt und Milnor zeigten, dass die einzelnen Homologiegruppen nicht trivial sind - in der Tat unzählig. $$

q ≡ 1 mod (( k - - 1) {\ displaystyle q \ equiv 1 {\ bmod {(}} k-1)}$$ q gt; 1, {\ displaystyle qgt; 1,} $$ H. q (( H. k ;; Q.) {\ displaystyle H_ {q} (\ mathbb {H} _ {k}; \ mathbb {Q})}

Siehe auch

• Liste der Topologien

Verweise

Weiterführende Literatur

• Cannon, James W. ;Conner, Gregory R. (2000), "Die große Grundgruppe, die großen hawaiianischen Ohrringe und die großen freien Gruppen", Topology and Its Applications, 106 (3): 273–291, doi : 10.1016 / S0166-8641 (99) 00104-2, MR 1775710 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link ).
• Conner, Gregory;Spencer, K. (2005), "Anomales Verhalten der hawaiianischen Ohrringgruppe", Journal of Group Theory, 8 (2): 223–227, doi : 10.1515 / jgth.2005.8.2.223, MR 2126731.
• Eda, Katsuya (2002), "Die grundlegenden Gruppen eindimensionaler wilder Räume und der hawaiianische Ohrring" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 130 (5): 1515–1522, doi : 10.1090 / S0002-9939- 01-06431-0, MR 1879978 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link ).
• Eda, Katsuya ;Kawamura, Kazuhiro (2000), "Die singuläre Homologie des hawaiianischen Ohrrings", Journal of the London Mathematical Society, 62 (1): 305–310, doi : 10.1112 / S0024610700001071, MR 1772189 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link ).
• Fabel, Paul (2005), "Die topologische hawaiianische Ohrringgruppe ist nicht in die inverse Grenze freier Gruppen eingebettet", Algebraic amp; Geometric Topology, 5 (4): 1585–1587, arXiv : math / 0501482, Bibcode : 2005math...... 1482F, doi : 10.2140 / agt.2005.5.1585, MR 2186111.
• Morgan, John W. ;Morrison, Ian (1986), "Ein Van-Kampen-Theorem für schwache Verbindungen", Proceedings of the London Mathematical Society, 53 (3): 562–576, doi : 10.1112 / plms / s3-53.3.562, MR 0868459.