Grundausdruck

In der mathematischen Logik ist ein Grundbegriff eines formalen Systems ein Begriff, der keine Variablen enthält. Ebenso ist eine Grundformel eine Formel, die keine Variablen enthält.

In der Logik erster Ordnung mit Identität ist der Satz Q ( a ) ∨ P ( b ) eine Grundformel, wobei a und b konstante Symbole sind. Ein Grundausdruck ist ein Grundbegriff oder eine Grundformel.

Inhalt

• 1 Beispiele
• 2 Formale Definition
  • 2.1 Grundbegriffe
  • 2.2 Grundatom
  • 2.3 Grundformel
• 3 Referenzen

Beispiele

Betrachten Sie die folgenden Ausdrücke in der Logik erster Ordnung über einer Signatur, die ein konstantes Symbol 0 für die Zahl 0, ein unäres Funktionssymbol s für die Nachfolgerfunktion und ein binäres Funktionssymbol + für die Addition enthält.

• s (0), s ( s (0)), s ( s ( s (0))),... sind Grundbegriffe,
• 0 + 1, 0 + 1 + 1,... sind Grundbegriffe,
• x  +  s (1) und s ( x ) sind Begriffe, aber keine Grundbegriffe,
• s (0) = 1 und 0 + 0 = 0 sind Grundformeln,

Formale Definition

Was folgt, ist eine formale Definition für Sprachen erster Ordnung. Es sei eine Sprache erster Ordnung gegeben, wobei C die Menge der konstanten Symbole, V die Menge der (einzelnen) Variablen, F die Menge der Funktionsoperatoren und P die Menge der Prädikatsymbole ist.

Grundbegriffe

Grundbegriffe sind Begriffe, die keine Variablen enthalten. Sie können durch logische Rekursion (Formelrekursion) definiert werden:

1. Elemente von C sind Grundbegriffe;
2. Wenn f ∈ F ein n- faches Funktionssymbol ist und α 1, α 2,..., α n Grundterme sind, dann ist f (α 1, α 2,..., α n ) ein Grundterm.
3. Jeder Grundbegriff kann durch eine endliche Anwendung der beiden oben genannten Regeln angegeben werden (es gibt keine anderen Grundbegriffe; insbesondere können Prädikate keine Grundbegriffe sein).

Grob gesagt ist das Herbrand-Universum die Menge aller Grundbegriffe.

Grundatom

Ein Grundprädikat, ein Grundatom oder ein Grundliteral ist eine Atomformel, deren Argumentbegriffe alle Grundbegriffe sind.

Wenn p ∈ P ein n- faches Prädikatsymbol ist und α 1, α 2,..., α n Grundterme sind, dann ist p (α 1, α 2,..., α n ) ein Grundprädikat oder Grund Atom.

Grob gesagt ist die Herbrand-Basis die Menge aller Grundatome, während eine Herbrand-Interpretation jedem Grundatom in der Basis einen Wahrheitswert zuweist.

Grundformel

Eine Grundformel oder Grundklausel ist eine Formel ohne Variablen.

Formeln mit freien Variablen können durch syntaktische Rekursion wie folgt definiert werden:

1. Die freien Variablen eines ungemahlenen Atoms sind alle darin vorkommenden Variablen.
2. Die freien Variablen von ¬ p sind die gleichen wie die von p. Die freien Variablen von p ∨ q, p ∧ q, p → q sind die freien Variablen von p oder die freien Variablen von q.
3. Die freien Variablen von ∀ x   p und ∃ x   p sind die freien Variablen von p mit Ausnahme von x.

Verweise

• Dalal, M. (2000), "Logic-based Computer Programming Paradigms", in Rosen, KH; Michaels, JG (Hrsg.), Handbuch der diskreten und kombinatorischen Mathematik, p. 68
• Hodges, Wilfrid (1997), Eine kürzere Modelltheorie, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-58713-6
• Logik erster Ordnung: Syntax und Semantik