Galiläische Transformation

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Transformiere zwischen den Koordinaten zweier Referenzrahmen, die sich nur durch konstante Relativbewegung innerhalb der Konstrukte der Newtonschen Physik unterscheiden

In der Physik wird eine galiläische Transformation verwendet, um zwischen den Koordinaten zweier Referenzrahmen zu transformieren , die sich nur durch konstante Relativbewegung innerhalb der Konstrukte der Newtonschen Physik unterscheiden. Diese Transformationen bilden zusammen mit räumlichen Rotationen und Translationen in Raum und Zeit die inhomogene galiläische Gruppe (im Folgenden weiter unten angenommen).Ohne die räumlichen und zeitlichen Übersetzungen ist die Gruppe die homogene galiläische Gruppe. Die galiläische Gruppe ist die Gruppe von Bewegungen der galiläischen Relativitätstheorie, die auf die vier Dimensionen von Raum und Zeit einwirken und die galiläische Geometrie bilden. Dies ist derGesichtspunktder passiven Transformation. In der speziellen Relativitätstheorie werden die homogenen und inhomogenen galiläischen Transformationen durch die Lorentz-Transformationen und die Poincaré-Transformationen ersetzt. Umgekehrtergibtdie Gruppenkontraktion in der klassischen Grenze c → ∞ von Poincaré-Transformationen galiläische Transformationen.

Die folgenden Gleichungen sind nur in einem Newtonschen Rahmen physikalisch gültig und gelten nicht für Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander mit Geschwindigkeiten bewegen, die sich der Lichtgeschwindigkeit nähern.

Galileo formulierte diese Konzepte in seiner Beschreibung der gleichmäßigen Bewegung. Das Thema wurde von seiner Beschreibung der Bewegung eines motivierten Ball rollt eine Rampe, durch denen er den Zahlenwert für die gemessene Beschleunigung der Schwerkraft in derNähe der Oberfläche der Erde.

Inhalt

1 Übersetzung
2 Galiläische Transformationen
3 Galiläische Gruppe
4 Ursprung in der Gruppenkontraktion
5 Zentrale Erweiterung der galiläischen Gruppe
6 Siehe auch
7 Hinweise
8 Referenzen

Übersetzung

Standardkonfiguration von Koordinatensystemen für galiläische Transformationen.

Obwohl die Transformationen nach Galileo benannt sind, ist es die absolute Zeit und der absolute Raum, wie sie von Isaac Newton konzipiert wurden, die ihren Definitionsbereich bilden.Im Wesentlichen verkörpern die galiläischen Transformationen den intuitiven Begriff der Addition und Subtraktion von Geschwindigkeiten als Vektoren.

Die folgende Notation beschreibt die Beziehung unter der galiläischen Transformation zwischen den Koordinaten ( x, y, z, t) und ( x ', y ', z ', t ') eines einzelnen beliebigen Ereignisses, gemessen in zwei Koordinatensystemen S und S ' in gleichmäßiger Relativbewegung ( Geschwindigkeit v) in ihren gemeinsamen x- und x' - Richtungen, wobei ihre räumlichen Ursprünge zum Zeitpunkt t = t ' = 0 zusammenfallen:

x'=x-vt

x ' = x - - v t

{\ displaystyle x '= x-vt}

x '= x-vt

y'=y

y ' = y

{\ displaystyle y '= y}

y '= y

z'=z

z ' = z

{\ displaystyle z '= z}

z '= z

t'=t.

t ' = t.

{\ displaystyle t '= t.}

t '= t.

Beachten Sie, dass die letzte Gleichung für alle galiläischen Transformationen bis zur Addition einer Konstanten gilt und die Annahme einer universellen Zeit unabhängig von der Relativbewegung verschiedener Beobachter ausdrückt.

In der Sprache der linearen Algebra wird diese Transformation als Scherkartierung betrachtet und mit einer Matrix beschrieben, die auf einen Vektor einwirkt.Bei einer Bewegung parallel zur x- Achse wirkt die Transformation nur auf zwei Komponenten:

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1amp;-v\\0amp;1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}

((

x ' t ') = ((

1 - - v 0 1) ((

x t)

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ t' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; -v \\ 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}}

{\ begin {pmatrix} x '\\ t' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; -v \\ 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end { pmatrix}}

Obwohl Matrixdarstellungen für die galiläische Transformation nicht unbedingt erforderlich sind, bieten sie die Möglichkeit zum direkten Vergleich mit Transformationsmethoden in spezieller Relativitätstheorie.

Galiläische Transformationen

Die galiläischen Symmetrien können eindeutig als Zusammensetzung einer Rotation, einer Translation und einer gleichmäßigen Bewegung der Raumzeit geschrieben werden.Lassen Sie x einen Punkt im dreidimensionalen Raum darstellen, und t einen Punkt in dereindimensionalen Zeit.Ein allgemeiner Punkt in der Raumzeit ist durch ein geordnetes Paar ( x, t) gegeben.

Eine gleichmäßige Bewegung mit der Geschwindigkeit v ist gegeben durch

(\mathbf {x},t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v},t),

(( x, t) ↦ (( x + t v, t),

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}, t),}

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}, t),}

wo v ∈ R³.Eine Übersetzung ist gegeben durch

(\mathbf {x},t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a},t+s),

(( x, t) ↦ (( x + ein, t + s),

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + \ mathbf {a}, t + s),}

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + \ mathbf {a}, t + s),}

wo a ∈ R³und s ∈ R. Eine Rotation ist gegeben durch

(\mathbf {x},t)\mapsto (G\mathbf {x},t),

(( x, t) ↦ (( G x, t),

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (G \ mathbf {x}, t),}

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (G \ mathbf {x}, t),}

wobei G: R³→ R³eine orthogonale Transformation ist.

Als Lie-Gruppe hat die Gruppe der galiläischen Transformationen die Dimension 10.

Galiläische Gruppe

Zwei Galilei-Transformation G ( R, V, a, s) und G ( R ' v', a‘, s') compose eine dritte Galilean Transformation zu bilden,

G ( R ', v', a ', s') G ( R, v, a, s) = G ( R 'R, R' v + v ', R' a + a ' + v' s, s ' + s).

Die Menge aller galiläischen Transformationen Gal (3) bildet eine Gruppe mit Zusammensetzung als Gruppenoperation.

Die Gruppe wird manchmal als eine Matrixgruppe mit dargestelltem Raum -Zeit - Ereignissen ( x, t, 1) als Vektoren wo t real ist und x ∈ R³ist eine Position im Raum.Die Aktion ist gegeben durch

{\begin{pmatrix}Ramp;vamp;a\\0amp;1amp;s\\0amp;0amp;1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},

((

R. v ein 0 1 s 0 0 1) ((

x t 1) = ((

R. x + v t + ein t + s 1),

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R amp; v amp; a \\ 0 amp; 1 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} Rx + vt + a \\ t + s \\ 1 \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R amp; v amp; a \\ 0 amp; 1 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} Rx + vt + a \\ t + s \\ 1 \ end {pmatrix}},}

wobei s reell ist und v, x, a ∈ R³und R eine Rotationsmatrix ist. Die Zusammensetzung der Transformationen wird dann durch Matrixmultiplikation erreicht. Bei der Diskussion muss darauf geachtet werden, ob man sich auf die verbundene Komponentengruppe der orthogonalen Transformationen beschränkt.

Gal (3) hat Untergruppen benannt.Die Identitätskomponente wird als SGal (3) bezeichnet.

Es sei m die Transformationsmatrix mit den Parametern v, R, s, a:

$\{m:R=I_{3}\},$ { m:: R. = ich 3 }},
{\ displaystyle \ {m: R = I_ {3} \},} ${\ displaystyle \ {m: R = I_ {3} \},}$ anisotrope Transformationen.
$\{m:s=0\},$ { m:: s = 0 }},
{\ displaystyle \ {m: s = 0 \},} ${\ displaystyle \ {m: s = 0 \},}$ isochrone Transformationen.
$\{m:s=0,v=0\},$ { m:: s = 0, v = 0 }},
{\ displaystyle \ {m: s = 0, v = 0 \},} ${\ displaystyle \ {m: s = 0, v = 0 \},}$ räumliche euklidische Transformationen.
$G_{1}=\{m:s=0,a=0\},$ G 1 = { m:: s = 0, ein = 0 }},
{\ displaystyle G_ {1} = \ {m: s = 0, a = 0 \},} ${\ displaystyle G_ {1} = \ {m: s = 0, a = 0 \},}$ einheitlich spezielle Transformationen / homogene Transformationen, isomorph zu euklidischen Transformationen.
$G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong (\mathbf {R} ^{4},+),$ G 2 = { m:: v = 0, R. = ich 3 }} ≅ (( R. 4, +),
{\ displaystyle G_ {2} = \ {m: v = 0, R = I_ {3} \} \ cong (\ mathbf {R} ^ {4}, +),} $G_ {2} = \ {m: v = 0, R = I_ {3} \} \ cong ({\ mathbf {R}} ^ {4}, +),$ Verschiebungen des Ursprungs / der Übersetzung in der Newtonschen Raumzeit.
$G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),$ G 3 = { m:: s = 0, ein = 0, v = 0 }} ≅ S. Ö (( 3),
{\ displaystyle G_ {3} = \ {m: s = 0, a = 0, v = 0 \} \ cong \ mathrm {SO} (3),} ${\ displaystyle G_ {3} = \ {m: s = 0, a = 0, v = 0 \} \ cong \ mathrm {SO} (3),}$ Rotationen (des Referenzrahmens) (siehe SO (3) ), eine kompakte Gruppe.
$G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong (\mathbf {R} ^{3},+),$ G 4 = { m:: s = 0, ein = 0, R. = ich 3 }} ≅ (( R. 3, +),
{\ displaystyle G_ {4} = \ {m: s = 0, a = 0, R = I_ {3} \} \ cong (\ mathbf {R} ^ {3}, +),} ${\ displaystyle G_ {4} = \ {m: s = 0, a = 0, R = I_ {3} \} \ cong (\ mathbf {R} ^ {3}, +),}$ gleichmäßige Rahmenbewegungen / Boosts.

Der Parameter s, v, R, eine Spanne vonzehn Dimensionen.Da die Transformationen kontinuierlich von s, v, R, a abhängen, ist Gal (3) eine kontinuierliche Gruppe, die auch als topologische Gruppe bezeichnet wird.

Die Struktur von Gal (3) kann durch Rekonstruktion aus Untergruppen verstanden werden.Die halbdirekte Produktkombination () von Gruppen ist erforderlich. $A\rtimes B$

EIN ⋊ B.

{\ displaystyle A \ rtimes B}

A \ rtimes B.

$G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)$ G 2 ◃ S. G ein l (( 3)
{\ displaystyle G_ {2} \ triangleleft \ mathrm {SGal} (3)} $G_ {2} \ triangleleft {\ mathrm {SGal}} (3)$ ( G 2 ist eine normale Untergruppe )
$\mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}$ S. G ein l (( 3) ≅ G 2 ⋊ G 1
{\ displaystyle \ mathrm {SGal} (3) \ cong G_ {2} \ rtimes G_ {1}} ${\ mathrm {SGal}} (3) \ cong G_ {2} \ rtimes G_ {1}$
$G_{4}\trianglelefteq G_{1}$ G 4 ⊴ G 1
{\ displaystyle G_ {4} \ trianglelefteq G_ {1}} $G_4 \ trianglelefteq G_1$
$G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}$ G 1 ≅ G 4 ⋊ G 3
{\ displaystyle G_ {1} \ cong G_ {4} \ rtimes G_ {3}} $G_ {1} \ cong G_ {4} \ rtimes G_ {3}$
$\mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).$ S. G ein l (( 3) ≅ R. 4 ⋊ (( R. 3 ⋊ S. Ö (( 3)).
{\ displaystyle \ mathrm {SGal} (3) \ cong \ mathbf {R} ^ {4} \ rtimes (\ mathbf {R} ^ {3} \ rtimes \ mathrm {SO} (3)).} ${\ mathrm {SGal}} (3) \ cong {\ mathbf {R}} ^ {4} \ rtimes ({\ mathbf {R}} ^ {3} \ rtimes {\ mathrm {SO}} (3)).$

Ursprung in der Gruppenkontraktion

Die Lie-Algebra der galiläischen Gruppe wirdvon H, P i, C i und L ij (einem antisymmetrischen Tensor ) überspannt, die Kommutierungsbeziehungen unterliegen, wobei

[H,P_{i}]=0

[ H., P. ich ]] = 0

{\ displaystyle [H, P_ {i}] = 0}

[H, P_ {i}] = 0

[P_{i},P_{j}]=0

[ P. ich, P. j ]] = 0

{\ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}

[P_ {i}, P_ {j}] = 0

[L_{ij},H]=0

[ L. ich j, H. ]] = 0

{\ displaystyle [L_ {ij}, H] = 0}

[L _ {{ij}}, H] = 0

[C_{i},C_{j}]=0

[ C. ich, C. j ]] = 0

{\ displaystyle [C_ {i}, C_ {j}] = 0}

[C_ {i}, C_ {j}] = 0

[L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]

[ L. ich j, L. k l ]] = ich [ δ ich k L. j l - - δ ich l L. j k - - δ j k L. ich l + δ j l L. ich k ]]

{\ displaystyle [L_ {ij}, L_ {kl}] = i [\ delta _ {ik} L_ {jl} - \ delta _ {il} L_ {jk} - \ delta _ {jk} L_ {il} + \ delta _ {jl} L_ {ik}]}

[L _ {{ij}}, L _ {{kl}}] = i [\ delta _ {{ik}} L _ {{jl}} - \ delta _ {{il}} L _ {{jk}} - \ delta _ {{jk}} L _ {{il}} + \ delta _ {{jl}} L _ {{ik}}]

[L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]

[ L. ich j, P. k ]] = ich [ δ ich k P. j - - δ j k P. ich ]]

{\ displaystyle [L_ {ij}, P_ {k}] = i [\ delta _ {ik} P_ {j} - \ delta _ {jk} P_ {i}]}

[L _ {{ij}}, P_ {k}] = i [\ delta _ {{ik}} P_ {j} - \ delta _ {{jk}} P_ {i}]

[L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]

[ L. ich j, C. k ]] = ich [ δ ich k C. j - - δ j k C. ich ]]

{\ displaystyle [L_ {ij}, C_ {k}] = i [\ delta _ {ik} C_ {j} - \ delta _ {jk} C_ {i}]}

[L _ {{ij}}, C_ {k}] = i [\ delta _ {{ik}} C_ {j} - \ delta _ {{jk}} C_ {i}]

[C_{i},H]=iP_{i}\,\!

[ C. ich, H. ]] = ich P. ich

{\ displaystyle [C_ {i}, H] = iP_ {i} \, \!}

[C_i, H] = i P_i \, \!

[C_{i},P_{j}]=0~.

[ C. ich, P. j ]] = 0.

{\ displaystyle [C_ {i}, P_ {j}] = 0 ~.}

[C_i, P_j] = 0 ~.

H ist der Generator für Zeitübersetzungen ( Hamiltonian ), P i ist der Generator für Übersetzungen ( Impulsoperator ), C i ist der Generator für rotationslose galiläische Transformationen (Galileian Boosts) und L ij steht für einen Generator für Rotationen ( Drehimpulsoperator) ).

Diese Lie-Algebra wird als eine spezielle klassische Grenze der Algebra der Poincaré-Gruppe in der Grenze c → ∞ angesehen.Technisch gesehen ist die galiläische Gruppe eine gefeierte Gruppenkontraktion der Poincaré-Gruppe (die wiederum eine Gruppenkontraktion der de Sitter-Gruppe SO ist (1,4)).Formal Umbenennung der Generatoren von Dynamik und Schub der letzteren wie in

P 0 ↦ H / c

K i ↦ c ⋅ C i,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit (oder eine unbegrenzte Funktion davon) ist, nehmen die Kommutierungsrelationen (Strukturkonstanten) in der Grenze c → ∞ die Relationen der ersteren an.Generatoren von Zeitübersetzungen und Rotationen werden identifiziert.Beachten Sie auch die Gruppeninvarianten L mn L^mnund P i Pⁱ.

In Matrixform kann man für d = 3 die reguläre Darstellung (eingebettet in GL (5; R), aus der sie durch eine einzelne Gruppenkontraktion unter Umgehung der Poincaré-Gruppe abgeleitet werden könnte) betrachten.

$iH=\left({\begin{array}{ccccc}0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;1\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\\end{array}}\right),\qquad$

ich H. = ((

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0),

{\ displaystyle iH = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ end {array}} \ right), \ qquad}

{\ displaystyle iH = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ end {array}} \ right), \ qquad}

i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0amp;0amp;0amp;0amp;a_{1}\\0amp;0amp;0amp;0amp;a_{2}\\0amp;0amp;0amp;0amp;a_{3}\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\\end{array}}\right),\qquad

ich ein → ⋅ P. → = ((

0 0 0 0 ein 1 0 0 0 0 ein 2 0 0 0 0 ein 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0),

{\ displaystyle i {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {P}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {1} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {2} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {3} \ \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad}

{\ displaystyle i {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {P}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {1} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {2} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; a_ {3} \ \ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad}

i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0amp;0amp;0amp;v_{1}amp;0\\0amp;0amp;0amp;v_{2}amp;0\\0amp;0amp;0amp;v_{3}amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\\end{array}}\right),\qquad

ich v → ⋅ C. → = ((

0 0 0 v 1 0 0 0 0 v 2 0 0 0 0 v 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0),

{\ displaystyle i {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {C}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {1} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {3 } amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad}

{\ displaystyle i {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {C}} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {1} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {2} amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; v_ {3 } amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right), \ qquad}

i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0amp;\theta _{3}amp;-\theta _{2}amp;0amp;0\\-\theta _{3}amp;0amp;\theta _{1}amp;0amp;0\\\theta _{2}amp;-\theta _{1}amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\\end{array}}\right)~.

ich θ ich ϵ ich j k L. j k = ((

0 θ 3 - - θ 2 0 0 - - θ 3 0 θ 1 0 0 θ 2 - - θ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0).

{\ displaystyle i \ theta _ {i} \ epsilon ^ {ijk} L_ {jk} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ theta _ {3} amp; - \ theta _ {2} amp; 0 amp; 0 \ \ - \ theta _ {3} amp; 0 amp; \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 \\\ theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) ~.}

{\ displaystyle i \ theta _ {i} \ epsilon ^ {ijk} L_ {jk} = \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ theta _ {3} amp; - \ theta _ {2} amp; 0 amp; 0 \ \ - \ theta _ {3} amp; 0 amp; \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 \\\ theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) ~.}

Das infinitesimale Gruppenelement ist dann

G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0amp;\theta _{3}amp;-\theta _{2}amp;v_{1}amp;a_{1}\\-\theta _{3}amp;0amp;\theta _{1}amp;v_{1}amp;a_{2}\\\theta _{2}amp;-\theta _{1}amp;0amp;v_{1}amp;a_{3}\\0amp;0amp;0amp;0amp;s\\0amp;0amp;0amp;0amp;0\\\end{array}}\right)+\...~.

G (( R., v →, ein →, s) = 1 1 5 + ((

0 θ 3 - - θ 2 v 1 ein 1 - - θ 3 0 θ 1 v 1 ein 2 θ 2 - - θ 1 0 v 1 ein 3 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0) +....

{\ displaystyle G (R, {\ vec {v}}, {\ vec {a}}, s) = 1 \! \! 1_ {5} + \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ Theta _ {3} amp; - \ Theta _ {2} amp; v_ {1} amp; a_ {1} \\ - \ Theta _ {3} amp; 0 amp; \ Theta _ {1} amp; v_ {1} amp; a_ {2} \\\ Theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; v_ {1} amp; a_ {3} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) + \... ~.}

{\ displaystyle G (R, {\ vec {v}}, {\ vec {a}}, s) = 1 \! \! 1_ {5} + \ left ({\ begin {array} {ccccc} 0 amp; \ Theta _ {3} amp; - \ Theta _ {2} amp; v_ {1} amp; a_ {1} \\ - \ Theta _ {3} amp; 0 amp; \ Theta _ {1} amp; v_ {1} amp; a_ {2} \\\ Theta _ {2} amp; - \ theta _ {1} amp; 0 amp; v_ {1} amp; a_ {3} \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; s \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\\ end {array}} \ right) + \... ~.}

Zentrale Erweiterung der galiläischen Gruppe

Man kann eine zentrale Erweiterung der Lie-Algebra der galiläischen Gruppe betrachten, die von H ', P ' i, C ' i, L ' ij und einem Operator M überspannt wird: Die sogenannte Bargmann-Algebra wird durch Auferlegen erhalten, so dass M. liegt in der Mitte, dh pendelt mit allen anderen Betreibern. $[C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}$

[ C. ich ', P. j ' ]] = ich M. δ ich j

{\ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM \ delta _ {ij}}

In vollem Umfang ist diese Algebra gegeben als

[H',P'_{i}]=0\,\!

[ H. ', P. ich ' ]] = 0

{\ displaystyle [H ', P' _ {i}] = 0 \, \!}

[H ', P'_i] = 0 \, \!

[P'_{i},P'_{j}]=0\,\!

[ P. ich ', P. j ' ]] = 0

{\ displaystyle [P '_ {i}, P' _ {j}] = 0 \, \!}

[P'_i, P'_j] = 0 \, \!

[L'_{ij},H']=0\,\!

[ L. ich j ', H. ' ]] = 0

{\ displaystyle [L '_ {ij}, H'] = 0 \, \!}

[L '_ {ij}, H'] = 0 \, \!

[C'_{i},C'_{j}]=0\,\!

[ C. ich ', C. j ' ]] = 0

{\ displaystyle [C '_ {i}, C' _ {j}] = 0 \, \!}

[C'_i, C'_j] = 0 \, \!

[L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!

[ L. ich j ', L. k l ' ]] = ich [ δ ich k L. j l ' - - δ ich l L. j k ' - - δ j k L. ich l ' + δ j l L. ich k ' ]]

{\ displaystyle [L '_ {ij}, L' _ {kl}] = i [\ delta _ {ik} L '_ {jl} - \ delta _ {il} L' _ {jk} - \ delta _ {jk} L '_ {il} + \ delta _ {jl} L' _ {ik}] \, \!}

[L '_ {ij}, L' _ {kl}] = i [\ delta_ {ik} L '_ {jl} - \ delta_ {il} L' _ {jk} - \ delta_ {jk} L'_ {il} + \ delta_ {jl} L '_ {ik}] \, \!

[L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!

[ L. ich j ', P. k ' ]] = ich [ δ ich k P. j ' - - δ j k P. ich ' ]]

{\ displaystyle [L '_ {ij}, P' _ {k}] = i [\ delta _ {ik} P '_ {j} - \ delta _ {jk} P' _ {i}] \, \ !}

[L '_ {ij}, P'_k] = i [\ delta_ {ik} P'_j- \ delta_ {jk} P'_i] \, \!

[L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!

[ L. ich j ', C. k ' ]] = ich [ δ ich k C. j ' - - δ j k C. ich ' ]]

{\ displaystyle [L '_ {ij}, C' _ {k}] = i [\ delta _ {ik} C '_ {j} - \ delta _ {jk} C' _ {i}] \, \ !}

[L '_ {ij}, C'_k] = i [\ delta_ {ik} C'_j- \ delta_ {jk} C'_i] \, \!

[C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!

[ C. ich ', H. ' ]] = ich P. ich '

{\ displaystyle [C '_ {i}, H'] = iP '_ {i} \, \!}

[C'_i, H '] = i P'_i \, \!

und schlussendlich

[C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.

[ C. ich ', P. j ' ]] = ich M. δ ich j.

{\ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM \ delta _ {ij} ~.}

[C'_i, P'_j] = i M \ delta_ {ij} ~.

wo der neue Parameterangezeigt wird.Diese Erweiterung und projektive Darstellungen, die dies ermöglicht, werden durch die Gruppenkohomologie bestimmt.

{\ displaystyle M}

M.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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