Funktionsraum

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X

{\displaystyle X} $X$ →, →, → $\mathbb {N}$ Nein

{\displaystyle \mathbb{N}} $\mathbb{N}$ $\mathbb {N}$ Nein

{\displaystyle \mathbb{N}} $\mathbb{N}$ X

{\displaystyle X} $X$ $\mathbb {N} ^{n}$ Nein nein

{\displaystyle \mathbb{N} ^{n}} $\mathbb{N} ^{n}$ X

{\displaystyle X} $X$
X

{\displaystyle X} $X$ →, → $\mathbb {Z}$ Z

{\displaystyle \mathbb{Z}} $\mathbb{Z}$ $\mathbb {Z}$ Z

{\displaystyle \mathbb{Z}} $\mathbb{Z}$ X

{\displaystyle X} $X$
X

{\displaystyle X} $X$ →, →, → $\mathbb {R}$ R

{\displaystyle\mathbb{R}} $\mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ R

{\displaystyle\mathbb{R}} $\mathbb{R}$ X

{\displaystyle X} $X$ $\mathbb {R} ^{n}$ R nein

{\displaystyle \mathbb{R} ^{n}} $\mathbb{R}^{n}$ X

{\displaystyle X} $X$
X

{\displaystyle X} $X$ →, →, → $\mathbb {C}$ C

{\displaystyle \mathbb{C}} $\mathbb{C}$ $\mathbb {C}$ C

{\displaystyle \mathbb{C}} $\mathbb{C}$ X

{\displaystyle X} $X$ $\mathbb {C} ^{n}$ C nein

{\displaystyle \mathbb{C} ^{n}} $\mathbb{C}^{n}$ X

{\displaystyle X} $X$

In der Mathematik ist ein Funktionsraum eine Menge von Funktionen zwischen zwei festen Mengen. Häufig haben die Domäne und/oder die Co- Domäne eine zusätzliche Struktur, die vom Funktionsraum geerbt wird. Zum Beispiel hat die Menge von Funktionen aus einer beliebigen Menge X in einen Vektorraum eine natürliche Vektorraumstruktur, die durch punktweise Addition und Skalarmultiplikation gegeben ist. In anderen Szenarien kann die Funktion Raum eine erben topologischen oder metrische Struktur, daher der Name Funktion Raum.

Inhalt

1 In linearer Algebra
2 Beispiele
3 Funktionsanalyse
4 Norm
5 Literaturverzeichnis
6 Siehe auch
7 Fußnoten

In der linearen Algebra

Siehe auch: Vektorraum § Funktionsräume

Addition von Funktionen: Die Summe aus Sinus- und Exponentialfunktion ist mit

\sin +\exp:\mathbb {R} \to \mathbb {R}

Sünde+exp: R→ R

{\displaystyle \sin +\exp:\mathbb{R} \to\mathbb{R}}

\sin +\exp:\mathbb{R} \to\mathbb{R}

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

(Sünde+exp)(x)=Sünde⁡(x)+exp⁡(x)

{\displaystyle (\sin +\exp)(x)=\sin(x)+\exp(x)}

(\sin +\exp)(x)=\sin(x)+\exp(x)

Sei V ein Vektorraum über einem Körper F und X eine beliebige Menge. Den Funktionen X → V kann die Struktur eines Vektorraums über F gegeben werden, wobei die Operationen punktweise definiert sind, d. h. für jedes f, g : X → V, jedes x in X und jedes c in F, definiere

{\begin{aligned}(f+g)(x)amp;=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)amp;=c\cdot f(x)\end{aligned}}

( f + G ) ( x ) = f ( x ) + G ( x ) ( c ⋅ f ) ( x ) = c ⋅ f ( x )

{\displaystyle {\begin{ausgerichtet}(f+g)(x)amp;=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)amp;=c\cdot f(x)\end {ausgerichtet}}}

{\begin{ausgerichtet}(f+g)(x)amp;=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)amp;=c\cdot f(x)\end {ausgerichtet}}

Wenn der Bereich X eine zusätzliche Struktur hat, könnte man stattdessen die Teilmenge (oder Unterraum ) all dieser Funktionen betrachten, die diese Struktur respektieren. Wenn beispielsweise X auch ein Vektorraum über F ist, bilden die linearen Abbildungen X → V mit punktweisen Operationen einen Vektorraum über F (oft als Hom ( X, V ) bezeichnet). Ein solcher Raum ist der Dualraum von V: die Menge der linearen Funktionale V → F mit punktweise definierter Addition und skalarer Multiplikation.

Beispiele

Funktionsräume kommen in verschiedenen Bereichen der Mathematik vor:

In der Mengenlehre kann die Menge der Funktionen von X bis Y mit X → Y oder Y ^{X bezeichnet werden}.
- Als Sonderfall kann die Potenzmenge einer Menge X mit der Menge aller Funktionen von X bis {0, 1} identifiziert werden, die mit 2 ^{X bezeichnet wird}.
Die Menge der Bijektionen von X nach Y wird bezeichnet. Die faktorielle Schreibweise X ! kann für Permutationen eines einzelnen Satzes X verwendet werden. $X\leftrightarrow Y$ X↔Ja

{\displaystyle X\leftrightarrow Y} $X\leftrightarrow Y$
In der Funktionsanalyse sieht man das gleiche für kontinuierliche lineare Transformationen, einschließlich Topologien auf den Vektorräumen oben, und viele der wichtigsten Beispiele sind Funktionsräume, die eine Topologie tragen ; die bekanntesten Beispiele sind Hilbert-Räume und Banach-Räume.
In der Funktionalen Analysis wird die Menge aller Funktionen von den natürlichen Zahlen bis zu einer Menge X als Folgenraum bezeichnet. Sie besteht aus der Menge aller möglichen Folgen von Elementen von X.
In der Topologie kann man versuchen, eine Topologie auf den Raum stetiger Funktionen von einem topologischen Raum X zu einem anderen Y zu setzen, mit Nutzen abhängig von der Natur der Räume. Ein häufig verwendetes Beispiel ist die kompakt-offene Topologie, zB Loopspace. Ebenfalls verfügbar ist die Produkttopologie auf dem Raum mengentheoretischer Funktionen (dh nicht unbedingt stetiger Funktionen) Y ^X. In diesem Zusammenhang wird diese Topologie auch als Topologie der punktweisen Konvergenz bezeichnet.
In der algebraischen Topologie ist das Studium der Homotopietheorie im Wesentlichen das von diskreten Invarianten von Funktionsräumen;
In der Theorie der stochastischen Prozesse besteht das grundlegende technische Problem darin, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Funktionsraum von Prozesspfaden (Zeitfunktionen) zu konstruieren ;
In der Kategorientheorie wird der Funktionsraum als Exponentialobjekt oder Kartenobjekt bezeichnet. Es erscheint auf eine Weise als der kanonische Bifunktor der Repräsentation ; aber als (einzelner) Funktor vom Typ [ X, -] erscheint er als adjungierter Funktor zu einem Funktor vom Typ (-× X ) auf Objekten;
In der funktionalen Programmierung und der Lambda-Kalküle werden Funktionstypen verwendet, um die Idee von Funktionen höherer Ordnung auszudrücken.
In der Domänentheorie besteht die Grundidee darin, Konstruktionen aus Teilordnungen zu finden, die die Lambda-Kalküle modellieren können, indem eine kartesische geschlossene Kategorie mit gutem Verhalten erstellt wird.
In der Darstellungstheorie endlicher Gruppen kann man bei zwei endlichdimensionalen Darstellungen V und W einer Gruppe G eine Darstellung von G über den Vektorraum linearer Abbildungen Hom( V, W ) bilden, die Hom-Darstellung genannt wird.

Funktionsanalyse

Die Funktionsanalyse ist um adäquate Techniken herum organisiert, um Funktionsräume als topologische Vektorräume in Reichweite der Ideen zu bringen, die für normierte Räume endlicher Dimension gelten würden. Hier verwenden wir die reelle Gerade als Beispieldomäne, aber die Räume darunter existieren auf geeigneten offenen Teilmengen $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$

Ω⊆ R nein

{\displaystyle \Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}}

\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}

$C(\mathbb {R} )$ C( R)

{\displaystyle C(\mathbb{R})} $C(\mathbb{R})$ stetige Funktionen mit einheitlicher Normtopologie
$C_{c}(\mathbb {R} )$ C c( R)

{\displaystyle C_{c}(\mathbb{R})} $C_{c}(\mathbb{R})$ durchgängige Funktionen mit kompakter Unterstützung
$B(\mathbb {R} )$ B( R)

{\displaystyle B(\mathbb{R})} $B(\mathbb{R})$ beschränkte Funktionen
$C_{0}(\mathbb {R} )$ C 0( R)

{\displaystyle C_{0}(\mathbb{R})} $C_{0}(\mathbb{R})$ stetige Funktionen, die im Unendlichen verschwinden
$C^{r}(\mathbb {R} )$ C r( R)

{\displaystyle C^{r}(\mathbb{R})} $C^{r}(\mathbb{R})$ stetige Funktionen mit stetigen ersten r Ableitungen.
$C^{\infty }(\mathbb {R} )$ C ∞( R)

{\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R})} $C^{\infty}(\mathbb{R})$ reibungslose Funktionen
$C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ C c ∞( R)

{\displaystyle C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})} $C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ reibungslose Funktionen mit kompakter Unterstützung
$C^{\omega }(\mathbb {R} )$ C ω( R)

{\displaystyle C^{\omega}(\mathbb{R})} $C^{\omega}(\mathbb{R})$ echte analytische Funktionen
$L^{p}(\mathbb {R} )$ L p( R)

{\displaystyle L^{p}(\mathbb{R})} $L^{p}(\mathbb{R})$ Für ist der L ^p Raum von meßbaren Funktionen, deren p -Norm ist finite $1\leq p\leq \infty$ 1≤p≤∞

{\displaystyle 1\leq p\leq \infty} $1\leq p\leq \infty$ ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$ ‖f ‖ p= ( ∫ R | f | p ) 1 / p

{\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int_{\mathbb{R}}|f|^{p}\right)^{1/p}} ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int_{\mathbb{R}}|f|^{p}\right)^{1/p}}$
${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ S( R)

{\displaystyle {\mathcal{S}}(\mathbb{R})} ${\mathcal{S}}(\mathbb{R})$ , der Schwartz-Raum der schnell abnehmenden glatten Funktionen und seine stetigen dualen, temperierten Verteilungen ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ S '( R)

{\displaystyle {\mathcal{S}}'(\mathbb{R})} ${\mathcal{S}}'(\mathbb{R})$
$D(\mathbb {R} )$ D( R)

{\displaystyle D(\mathbb{R})} $D(\mathbb{R})$ kompakte Unterstützung in Grenztopologie
$W^{k,p}$ W k , p

{\displaystyle W^{k,p}} $W^{k,p}$ Sobolev-Raum von Funktionen, deren schwache Ableitungen bis zur Ordnung k sind in $L^{p}$ L p

{\displaystyle L^{p}} $L^{p}$
${\mathcal {O}}_{U}$ Ö U

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} ${\mathcal{O}}_{U}$ holomorphe Funktionen
lineare Funktionen
stückweise lineare Funktionen
kontinuierliche Funktionen, kompakte offene Topologie
alle Funktionen, Raum punktweiser Konvergenz
Robuster Raum
Hölder Raum
Càdlàg- Funktionen, auch bekannt als Skorokhod- Raum
${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ Lippe 0( R)

{\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb{R})} ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb{R})$ , der Raum aller Lipschitz- Funktionen auf diesem verschwinden bei Null. $\mathbb {R}$ R

{\displaystyle\mathbb{R}} $\mathbb{R}$

Norm

Wenn Y ein Element der Funktionsfläche ist alle stetigen Funktionen, die auf einem definierten geschlossenes Intervall [ a, b ], die Norm definierter ist der maximale Absolutwert von y ( x ) für ein ≤ x ≤ b, ${\mathcal {C}}(a,b)$

C(ein,b)

{\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}

{\mathcal{C}}(a,b)

\|y\|_{\infty }

‖ja ‖ ∞

{\displaystyle \|y\|_{\infty}}

\|y\|_{\infty}

{\mathcal {C}}(a,b)

C(ein,b)

{\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}

{\mathcal{C}}(a,b)

\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)

‖ja ‖ ∞≡ max ein ≤ x ≤ b |ja(x) | wo ja∈ C(ein,b)

{\displaystyle \|y\|_{\infty}\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{wo}}\ \ y\in {\mathcal {Taxi)}

\|y\|_{\infty}\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{wo}}\ \ y\in {\mathcal {Taxi)

heißt einheitliche Norm oder höchste Norm ('sup-Norm').

Literaturverzeichnis

Kolmogorov, AN, amp; Fomin, SV (1967). Elemente der Funktionstheorie und Funktionalanalysis. Courier Dover Veröffentlichungen.
Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Funktionsanalyse: Eine Einführung in weitere Themen der Analysis. Princeton University Press.