Algebraische Struktur → Ringtheorie Ringtheorie |
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Grundlegendes Konzept Ringe
Verwandte Strukturen
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Kommutative Algebra Kommutative Ringe
p- adische Zahlentheorie und Dezimalstellen
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Nichtkommutative Algebra Nicht kommutative Ringe Nichtkommutative algebraische Geometrie Operatoralgebra |
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In der Mathematik, insbesondere im Bereich der abstrakten Algebra, die als Ringtheorie bekannt ist, ist eine freie Algebra das nichtkommutative Analogon eines Polynomrings, da seine Elemente als "Polynome" mit nicht pendelnden Variablen beschrieben werden können. Ebenso kann der Polynomring als freie kommutative Algebra angesehen werden.
Für R einen kommutativen Ring ist die freie ( assoziative, unitale ) Algebra auf n unbestimmt { X 1,..., X n } das freie R- Modul mit einer Basis, die aus allen Wörtern über dem Alphabet { X 1,.. besteht.., X n } (einschließlich des leeren Wortes, das die Einheit der freien Algebra ist). Dieses R- Modul wird zu einer R- Algebra, indem eine Multiplikation wie folgt definiert wird: Das Produkt zweier Basiselemente ist die Verkettung der entsprechenden Wörter:
und das Produkt der zwei beliebige R -Modul Elemente ist somit eindeutig bestimmt (da die Multiplikation in einem R -Algebra müssen R -bilinear). Diese R -Algebra bezeichnet ist R ⟨ X 1,..., X n ⟩. Diese Konstruktion kann leicht auf eine beliebige Menge X von Unbestimmten verallgemeinert werden.
Kurz gesagt, für eine beliebige Menge, die freie ( assoziative, unital ) R - Algebra auf X ist
mit der R- bilinearen Multiplikation, die eine Verkettung von Wörtern ist, wobei X * das freie Monoid auf X bezeichnet (dh Wörter auf den Buchstaben X i ), die externe direkte Summe bezeichnet und Rw das freie R- Modul auf 1 Element bezeichnet, das Wort w.
Zum Beispiel in R ⟨ X 1, X 2, X 3, X 4 ⟩, für Skalare a, β, γ, amp; dgr; ∈ R, ein konkretes Beispiel für ein Produkt von zwei Elementen ist,
.
Der nicht kommutative Polynomring kann mit dem Monoidring über R des freien Monoids aller endlichen Wörter im X i identifiziert werden.
Da die Worte über das Alphabet { X 1,..., X n } bildet eine Basis von R ⟨ X 1,..., X n ⟩, es ist klar, dass jedes Element von R ⟨ X 1,..., X n ⟩ kann eindeutig in der Form geschrieben werden:
wo sind Elemente von R und alle bis auf endlich viele dieser Elemente sind Null. Dies erklärt, warum die Elemente von R ⟨ X 1,..., X n ⟩ werden häufig bezeichnet als "nicht-kommutative Polynome" in dem "Variablen" (oder "indeterminates") X 1,..., X n ; die Elemente sind, die „Koeffizienten“ dieser Polynome und sein R -Algebra R ⟨ X 1,..., X n ⟩ wird als „nicht-kommutative Polynomalgebra über R in n indeterminates“. Beachten Sie, dass die Variablen im Gegensatz zu einem tatsächlichen Polynomring nicht pendeln. Zum Beispiel ist X 1 X 2 nicht gleich X 2 X 1.
Allgemeiner gesagt, kann man die freie Algebra konstruiert R ⟨ E ⟩ auf jede Menge E von Generatoren. Da Ringe als angesehen werden kann Z -Algebren, ein Frei - Ring - on E kann als die freie Algebra definiert werden Z ⟨ E ⟩.
Über einem Feld kann die freie Algebra auf n unbestimmten als Tensoralgebra auf einem n- dimensionalen Vektorraum konstruiert werden. Für einen allgemeineren Koeffizientenring funktioniert dieselbe Konstruktion, wenn wir das freie Modul für n Generatoren verwenden.
Die Konstruktion der freien Algebra auf E ist funktionaler Natur und erfüllt eine entsprechende universelle Eigenschaft. Der freie Algebra-Funktor wird neben dem vergesslichen Funktor von der Kategorie der R- Algebren bis zur Kategorie der Mengen belassen.
Freie Algebren über Teilungsringen sind freie ideale Ringe.