Fock Zustand

Ein Quantenzustand, der ein Element eines Fock-Raums mit einer genau definierten Anzahl von Partikeln (oder Quanten) ist.

In der Quantenmechanik, ein Fock Zustand oder Anzahl Zustand ist ein Quantenzustand, der ein Element eines ist Fockraum mit einer gut definierten Anzahl von Partikeln (oder Quanten ). Diese Staaten sind nach dem sowjetischen Physiker Wladimir Fock benannt. Fockzustände spielen eine wichtige Rolle bei der zweiten Quantisierungsformulierung der Quantenmechanik.

Die Teilchendarstellung wurde zuerst von Paul Dirac für Bosonen und von Pascual Jordan und Eugene Wigner für Fermionen ausführlich behandelt. Die Fock-Zustände von Bosonen und Fermionen gehorchen nützlichen Beziehungen in Bezug auf die Fock- Raumerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

Inhalt

• 1 Definition
• 2 Beispiel mit zwei Partikeln
• 3 Bosonischer Fock-Staat
  • 3.1 Boson-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
    • 3.1.1 Nicht-Hermitizität von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren
    • 3.1.2 Bedieneridentitäten
  • 3,2 N Bosonische Basiszustände$$|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}...n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle}
  • 3.3 Aktion auf bestimmte Fock-Zustände
  • 3.4 Aktion von Zahlenoperatoren
  • 3.5 Symmetrisches Verhalten von bosonischen Fock-Zuständen
• 4 Fermionischer Fockzustand
  • 4.1 Fermion-Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren
    • 4.1.1 Bedieneridentitäten
  • 4.2 Aktion von Zahlenoperatoren
    • 4.2.1 Maximale Beschäftigungszahl
  • 4.3 N fermionische Basiszustände$$|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}},... \ right \ rangle}
  • 4.4 Aktion auf bestimmte Fock-Zustände
  • 4.5 Antisymmetrisches Verhalten des Fermionic Fock-Zustands
• 5 Fockzustände sind im Allgemeinen keine Energieeigenzustände
• 6 Vakuumschwankungen
• 7 Multi-Mode-Fock-Zustände
• 8 Quelle des Einzelphotonenzustands
• 9 Nicht klassisches Verhalten
• 10 Siehe auch
• 11 Referenzen
• 12 Externe Links

Definition

Man spezifiziert einen Mehrteilchenzustand von N nicht wechselwirkenden identischen Teilchen, indem man den Zustand als Summe von Tensorprodukten von N Einteilchenzuständen schreibt. Zusätzlich müssen die Tensorprodukte abhängig von der Integrität des Spin der Teilchen alternierende (antisymmetrische) oder symmetrische Produkte des zugrunde liegenden Hilbert-Raums mit einem Teilchen sein. Speziell:

• Fermionen, die einen halb-ganzzahligen Spin haben und dem Pauli-Ausschlussprinzip folgen, entsprechen antisymmetrischen Tensorprodukten.
• Bosonen, die einen ganzzahligen Spin besitzen (und nicht dem Ausschlussprinzip unterliegen), entsprechen symmetrischen Tensorprodukten.

Wenn die Anzahl der Partikel variabel ist, konstruiert man den Fock-Raum als direkte Summe der Hilbert-Räume des Tensorprodukts für jede Partikelanzahl. Im Fock-Raum ist es möglich, denselben Zustand in einer neuen Notation, der Belegungsnummernnotation, anzugeben, indem die Anzahl der Partikel in jedem möglichen Einteilchenzustand angegeben wird.

Sei eine orthonormale Basis von Zuständen im zugrunde liegenden Hilbert-Raum mit einem Teilchen. Dies induziert eine entsprechende Basis des Fock-Raums, die als "Belegungsnummernbasis" bezeichnet wird. Ein Quantenzustand im Fock-Raum wird als Fock-Zustand bezeichnet, wenn er ein Element der Belegungsnummernbasis ist.$$

B.={kich}}ich∈ich {\ textstyle {\ boldsymbol {B}} = \ left \ {\ mathbf {k} _ {i} \ right \} _ {i \ in I}}

Ein Fock-Zustand erfüllt ein wichtiges Kriterium: Für jedes i ist der Zustand ein Eigenzustand des Teilchenzahloperators, der dem i- ten Elementarzustand k i entspricht. Der entsprechende Eigenwert gibt die Anzahl der Partikel im Zustand an. Dieses Kriterium definiert nahezu die Fock-Zustände (man muss zusätzlich einen Phasenfaktor auswählen).$$

N.kich^ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}

Ein gegebener Fock-Zustand wird mit bezeichnet. In diesem Ausdruck bezeichnet die Anzahl der Teilchen im i-ten Zustand k i, und der Teilchenzahloperator für den i-ten Zustand wirkt auf den Fock-Zustand auf folgende Weise:$$

|nk1,nk2,..nkich...⟩ {\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}},.. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}... \ rangle}$$nkich {\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}$$N.kich^ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}}

$$N.kich^|nk1,nk2,..nkich...⟩=nkich|nk1,nk2,..nkich...⟩ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}},.. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}},.. n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}... \ rangle}

Daher ist der Fock-Zustand ein Eigenzustand des Zahlenoperators mit Eigenwert.$$

nkich {\ displaystyle n _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}

Fock-Zustände bilden die bequemste Basis eines Fock-Raums. Elemente eines Fock-Raums, die Überlagerungen von Zuständen unterschiedlicher Teilchenzahl (und damit keine Eigenzustände des Zahlenoperators) sind, sind keine Fock-Zustände. Aus diesem Grund werden nicht alle Elemente eines Fock-Raums als "Fock-Zustände" bezeichnet.

Wenn wir den Aggregatteilchenzahloperator als definieren$$

N.^ {\ textstyle {\ widehat {N}}}

$$N.^=∑ichN.kich^, {\ displaystyle {\ widehat {N}} = \ sum _ {i} {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {i}}}},}

Die Definition des Fock-Zustands stellt sicher, dass die Varianz der Messung, dh die Messung der Anzahl der Partikel in einem Fock-Zustand, immer einen bestimmten Wert ohne Schwankung zurückgibt.$$

Var⁡(N.^)=0 {\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left ({\ widehat {N}} \ right) = 0}

Beispiel mit zwei Partikeln

Für jeden Endzustand, jeden Fock-Zustand von zwei identischen Partikeln, der von gegeben ist, und jeden Operator haben wir die folgende Bedingung für die Ununterscheidbarkeit :$$

|f⟩ {\ displaystyle | f \ rangle}$$|1k1,1k2⟩ {\ displaystyle | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ rangle} $$Ö^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}

$$|⟨f|Ö^|1k1,1k2⟩|2=|⟨f|Ö^|1k2,1k1⟩|2 {\ displaystyle \ left | \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ { 2}} \ right \ rangle \ right | ^ {2} = \ left | \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ right | ^ {2}}.

Also müssen wir haben $$

⟨f|Ö^|1k1,1k2⟩=eichδ⟨f|Ö^|1k2,1k1⟩ {\ displaystyle \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = e ^ {i \ delta} \ left \ langle f \ left | {\ widehat {\ mathbb {O}}} \ right | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle}

wo für Bosonen und für Fermionen. Da und sind willkürlich, können wir sagen,$$

eichδ=+1 {\ displaystyle e ^ {i \ delta} = + 1} $$- -1 {\ displaystyle -1} $$⟨f| {\ displaystyle \ langle f |}$$Ö^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {O}}}}

$$|1k1,1k2⟩=+|1k2,1k1⟩ {\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = + \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle} für Bosonen und

$$|1k1,1k2⟩=- -|1k2,1k1⟩ {\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle = - \ left | 1 _ {\ mathbf {k} _ {2 }}, 1 _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle} für Fermionen.

Beachten Sie, dass der Zahlenoperator Bosonen nicht von Fermionen unterscheidet. in der Tat zählt es nur Teilchen ohne Rücksicht auf ihren Symmetrietyp. Um einen Unterschied zwischen ihnen wahrzunehmen, benötigen wir andere Operatoren, nämlich die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren.

Bosonischer Fock-Staat

Bosonen, die Teilchen mit ganzzahligem Spin sind, folgen einer einfachen Regel: Ihr zusammengesetzter Eigenzustand ist unter Betrieb durch einen Austauschoperator symmetrisch. Zum Beispiel in einem Zwei-Teilchen-System in der Tensorproduktdarstellung haben wir.$$

P.^|x1,x2⟩=|x2,x1⟩ {\ displaystyle {\ hat {P}} \ left | x_ {1}, x_ {2} \ right \ rangle = \ left | x_ {2}, x_ {1} \ right \ rangle}

Boson-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Wir sollten in der Lage sein, dieselbe symmetrische Eigenschaft in dieser neuen Fock-Raumdarstellung auszudrücken. Dazu stellen wir nicht hermitischen bosonischen Erzeuger und Vernichter, bezeichnet mit und jeweils. Die Wirkung dieser Operatoren auf einen Fock-Zustand wird durch die folgenden zwei Gleichungen gegeben:$$

b† {\ displaystyle b ^ {\ dagger}}$$b {\ displaystyle b}

• Erstellungsoperator:$$bkl† {\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger}}

  $$bkl†|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl+1|nk1,nk2,nk3...nkl+1,...⟩ {\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1,... \ rangle}

• Vernichtungsoperator:$$bkl {\ textstyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}

  $$bkl|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...⟩ {\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} }... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1,... \ rangle}

Nicht-Hermitizität von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren

Die bosonischen Fock-Zustandserstellungs- und Vernichtungsoperatoren sind keine hermitischen Operatoren.

Beweis, dass Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren nicht hermitisch sind.

Für einen Fock Zustand,$$|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf { k} _ {l}},... \ rangle} $$⟨nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...|bkl|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl⟨nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...|nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...⟩(⟨nk1,nk2,nk3...nkl,...|bkl|nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...⟩)∗=⟨nk1,nk2,nk3...nkl- -1...|bkl†|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl+1⟨nk1,nk2,nk3...nkl- -1...|nk1,nk2,nk3...nkl+1...⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3} }... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1,... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1 }}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}},... \ right \ rangle amp; = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}} \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1,... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1,... \ right \ rangle \\ [6pt] \ left (\ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}...n _ {\ mathbf {k} _ {l}},... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ { \ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1,... \ right \ rangle \ right) ^ {*} amp; = \ left \ langle n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}...n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1... \ left | b _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dagger} \ right | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathb f {k} _ {l}},... \ right \ rangle \\ amp; = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}} + 1}} \ left \ langle n _ {\ mathbf { k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1... | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf { k} _ {l}} + 1... \ right \ rangle \ end {align}}} Daher ist es klar, dass der Operator "Adjoint of Creation" (Vernichtung) nicht in sich selbst geht. Daher sind sie keine hermitianischen Operatoren. Der Zusatz des Erstellungsoperators (Vernichtung) ist jedoch der Vernichtungsoperator (Erstellungsoperator).

Betreiberidentitäten

Die Kommutierungsbeziehungen von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren in einem Bosonischen System sind

$$[bich,bj†]]≡bichbj†- -bj†bich=δichj, {\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\ dagger} \ right] \ equiv b_ {i} ^ {\,} b_ {j} ^ {\ dagger} -b_ {j} ^ {\ dagger} b_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}

$$[bich†,bj†]]=[bich,bj]]=0, {\ displaystyle \ left [b_ {i} ^ {\ dagger}, b_ {j} ^ {\ dagger} \ right] = \ left [b_ {i} ^ {\,}, b_ {j} ^ {\, } \ right] = 0,}

Wo ist der Kommutator und ist das Kronecker Delta. $$

[,]] {\ displaystyle [\ \, \ \]} $$δichj {\ displaystyle \ delta _ {ij}}

N Bosonische Basiszustände $$|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}...n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle}

Anzahl der Partikel (N)	Bosonische Basisstaaten
0	$$|0,0,0...⟩ {\ displaystyle | 0,0,0... \ rangle}
1	$$|1,0,0...⟩ {\ displaystyle | 1,0,0... \ rangle},,,...$$|0,1,0...⟩ {\ displaystyle | 0,1,0... \ rangle}$$|0,0,1...⟩ {\ displaystyle | 0,0,1... \ rangle}
2	$$|2,0,0...⟩ {\ displaystyle | 2,0,0... \ rangle},,,...$$|1,1,0...⟩ {\ displaystyle | 1,1,0... \ rangle}$$|0,2,0...⟩ {\ displaystyle | 0,2,0... \ rangle}
...	...

Aktion auf bestimmte Fock-Zustände

• Für einen Vakuumzustand - in keinem Zustand befindet sich ein Teilchen - ausgedrückt als: Wir haben:$$|0k1,0k2,0k3...0kl,...⟩ {\ displaystyle | 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}...0 _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle}

  $$bkl†|0k1,0k2,0k3...0kl,...⟩=|0k1,0k2,0k3...1kl,...⟩ {\ displaystyle b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle = | 0 _ {{\ mathbf {k} } _ {1}}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, 0 _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... 1 _ {{\ mathbf {k}} _ { l}},... \ rangle}

  und,. Das heißt, der l- te Erzeugungsoperator erzeugt ein Teilchen im l- ten Zustand k l, und der Vakuumzustand ist ein fester Punkt von Vernichtungsoperatoren, da es keine zu vernichtenden Teilchen gibt.$$bkl|0k1,0k2,0k3...0kl,...⟩=0 {\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {l}} | 0 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 0 _ {\ mathbf {k} _ {2}}, 0 _ {\ mathbf {k} _ {3}}... 0 _ {\ mathbf {k} _ {l}},... \ rangle = 0}
• Wir können jeden Fock-Zustand erzeugen, indem wir den Vakuumzustand mit einer geeigneten Anzahl von Erstellungsoperatoren bearbeiten:

  $$|nk1,nk2...⟩=(bk1†)nk1nk1!(bk2†)nk2nk2!...|0k1,0k2,...⟩ {\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}... \ rangle = {\ frac {\ left (b _ {\ mathbf {k} _ {1}} ^ {\ Dolch} \ rechts) ^ {n _ {\ mathbf {k} _ {1}}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {1}}!}} {\ frac {\ left (b _ {\ mathbf {k} _ {2}} ^ {\ dagger} \ right) ^ {n _ {\ mathbf {k} _ {2}}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf { k} _ {2}}!}}}... | 0 _ {\ mathbf {k} _ {1}}, 0 _ {\ mathbf {k} _ {2}},... \ rangle}

• Für einen Single - Mode - Fock - Zustand, ausgedrückt als,,$$|nk⟩ {\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k}} \ rangle}
  $$bk†|nk⟩=nk+1|nk+1⟩ {\ displaystyle b _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} | n _ {\ mathbf {k}} \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k}} +1}} | n _ {\ mathbf { k}} +1 \ rangle} und,
  $$bk|nk⟩=nk|nk- -1⟩ {\ displaystyle b _ {\ mathbf {k}} | n _ {\ mathbf {k}} \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k}}} | n _ {\ mathbf {k}} -1 \ rangle }}

Aktion von Zahlenoperatoren

Die Zahlenoperatoren für ein Bosonisches System sind gegeben durch, wobei$$

N.kl^ {\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}$$N.kl^=bkl†bkl {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}} = b _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} b _ {{\ mathbf {k }} _ {l}}}$$N.kl^|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle}

Zahlenoperatoren sind hermitische Operatoren.

Symmetrisches Verhalten von bosonischen Fock-Zuständen

Die Kommutierungsbeziehungen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren stellen sicher, dass die bosonischen Fock-Zustände unter Partikelaustausch das entsprechende symmetrische Verhalten aufweisen. Hier erfolgt der Austausch von Partikeln zwischen zwei Zuständen (z. B. l und m), indem ein Partikel im Zustand l vernichtet und eines im Zustand m erzeugt wird. Wenn wir mit einem Fock-Zustand beginnen und ein Partikel von Zustand zu Zustand verschieben möchten, betreiben wir den Fock-Zustand folgendermaßen:$$

|ψ⟩=|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle}$$kl {\ displaystyle k_ {l}}$$km {\ displaystyle k_ {m}}$$bkm†bkl {\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} b _ {\ mathbf {k} _ {l}}}

Unter Verwendung der Kommutierungsbeziehung, die wir haben, $$

bkm†.bkl=bkl.bkm† {\ displaystyle b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}.b _ {\ mathbf {k} _ {l}} = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}}

$$bkm†.bkl|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=bkl.bkm†|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=nkm+1nkl|nk1,nk2,....nkm+1...nkl- -1...⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}.b _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle amp; = b _ {\ mathbf {k} _ {l}}. b _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ { 1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle \\ amp; = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1... n _ {\ mathbf {k} _ {l}} - 1... \ right \ rangle \ end {align}}}

Der Bosonic Fock-Zustand verhält sich also unter Betrieb durch den Exchange-Operator symmetrisch.

• 

  Wigner Funktion von $$

  |0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}

• 

  Wigner Funktion von $$

  |1⟩ {\ displaystyle | 1 \ rangle}

• 

  Wigner Funktion von $$

  |2⟩ {\ displaystyle | 2 \ rangle}

• 

  Wigner Funktion von $$

  |3⟩ {\ displaystyle | 3 \ rangle}

• 

  Wigner Funktion von $$

  |4⟩ {\ displaystyle | 4 \ rangle}

Fermionischer Fockzustand

Operatoren zur Erzeugung und Vernichtung von Fermionen

Um das antisymmetrische Verhalten von Fermionen beizubehalten, führen wir für Fermionic Fock-Zustände nicht-hermitische Fermion-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein, die für einen Fermionic Fock-Zustand definiert sind als:$$

|ψ⟩=|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle}

• Der Erstellungsoperatorfungiert als:$$ckl† {\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger}}

  $$ckl†|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl+1|nk1,nk2,nk3...nkl+1,...⟩ {\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2 }}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1,... \ rangle}

• Der Vernichtungsoperatorfungiert als:$$ckl {\ textstyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}

  $$ckl|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...⟩ {\ displaystyle c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n_ { {\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3} }... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1,... \ rangle}

Diese beiden Aktionen werden antisymmetrisch ausgeführt, worauf wir später noch eingehen werden.

Betreiberidentitäten

Die Antikommutationsbeziehungen von Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren in einem fermionischen System sind:

$${cich,cj†}}≡cichcj†+cj†cich=δichj,{cich†,cj†}}={cich,cj}}=0, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\ dagger} \ right \} \ equiv c_ {i} ^ {\,} c_ {j } ^ {\ dagger} + c_ {j} ^ {\ dagger} c_ {i} ^ {\,} amp; = \ delta _ {ij}, \\\ left \ {c_ {i} ^ {\ dagger}, c_ {j} ^ {\ Dolch} \ rechts \} = \ links \ {c_ {i} ^ {\,}, c_ {j} ^ {\,} \ rechts \} amp; = 0, \ end {ausgerichtet} }}

Wo ist der Antikommutator und ist das Kronecker-Delta. Diese Antikommutationsbeziehungen können verwendet werden, um das antisymmetrische Verhalten von Fermionic Fock-Zuständen zu zeigen.$$

{,}} {\ displaystyle {\ {\, \ \}}} $$δichj {\ displaystyle \ delta _ {ij}}

Aktion von Zahlenoperatoren

Zahlenoperatoren für Fermionen sind gegeben durch.$$

N.kl^ {\ textstyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}} $$N.kl^=ckl†.ckl {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}} = c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger}.c _ {{\ mathbf { k}} _ {l}}}

$$N.kl^|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle = n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle}

Maximale Beschäftigungszahl

Die Aktion des Zahlenoperators sowie der Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren scheint dieselbe zu sein wie die der Bosonischen, aber die eigentliche Wendung ergibt sich aus der maximalen Belegungszahl jedes Zustands im fermionischen Fock-Zustand. Wenn wir das obige fermionische 2-Teilchen-Beispiel erweitern, müssen wir uns zunächst davon überzeugen, dass ein fermionischer Fock-Zustand erhalten wird, indem eine bestimmte Summe von Permutationsoperatoren wie folgt auf das Tensorprodukt von Eigenkets angewendet wird:$$

|ψ⟩=|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle}

$$|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩=S.- -|ich1,ich2,ich3...ichl...⟩=1N.!||ich1⟩1⋯|ich1⟩N.⋮⋱⋮|ichN.⟩1⋯|ichN.⟩N.| {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle = S _ {-} \ left | i_ {1}, i_ {2}, i_ {3}... i_ {l}... \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ begin {vmatrix} \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {1} amp; \ cdots amp; \ left | i_ {1} \ right \ rangle _ {N} \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\\ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {1} amp; \ cdots amp; \ left | i_ {N} \ right \ rangle _ {N} \ end {vmatrix}}}

Diese Determinante wird als Slater-Determinante bezeichnet. Wenn einer der Einzelteilchenzustände gleich wäre, wären zwei Reihen der Slater-Determinante gleich und daher wäre die Determinante Null. Daher dürfen zwei identische Fermionen nicht denselben Zustand einnehmen (eine Erklärung des Pauli-Ausschlussprinzips ). Daher ist die Belegungszahl eines einzelnen Zustands entweder 0 oder 1. Der dem fermionischen Fock-Zustand zugeordnete Eigenwert muss entweder 0 oder 1 sein.$$

N.kl^ {\ displaystyle {\ widehat {N _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}}}

N fermionische Basiszustände $$|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩ {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}},... \ right \ rangle}

Anzahl der Partikel (N)	Fermionische Basiszustände
0	$$|0,0,0...⟩ {\ displaystyle | 0,0,0... \ rangle}
1	$$|1,0,0...⟩ {\ displaystyle | 1,0,0... \ rangle},,,...$$|0,1,0...⟩ {\ displaystyle | 0,1,0... \ rangle}$$|0,0,1...⟩ {\ displaystyle | 0,0,1... \ rangle}
2	$$|1,1,0...⟩ {\ displaystyle | 1,1,0... \ rangle},,,...$$|0,1,1...⟩ {\ displaystyle | 0,1,1... \ rangle}$$|0,1,0,1...⟩ {\ displaystyle | 0,1,0,1... \ rangle}$$|1,0,1,0...⟩ {\ displaystyle | 1,0,1,0... \ rangle}
...	...

Aktion auf bestimmte Fock-Zustände

• Für einen fermionischen Singlemode-Fock-Zustand, ausgedrückt als,$$|0k⟩ {\ displaystyle \ left | 0 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle}

  $$ck†|0k⟩=|1k⟩ {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ left | 0 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle = \ left | 1 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle}

  und da die maximale Besatzungszahl eines Staates 1 beträgt, kann nicht mehr als 1 Fermion denselben Staat besetzen, wie im Pauli-Ausschlussprinzip angegeben. $$ck†|1k⟩=0 {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ left | 1 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle = 0}
• Für einen fermionischen Singlemode-Fock-Zustand, ausgedrückt als,$$|1k⟩ {\ displaystyle \ left | 1 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle}

  $$ck|1k⟩=|0k⟩ {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k}} \ left | 1 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle = \ left | 0 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle}

  und da die Teilchenzahl nicht kleiner als Null sein kann.$$ck|0k⟩=0 {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k}} \ left | 0 _ {\ mathbf {k}} \ right \ rangle = 0}
• Für einen fermionischen Multimode-Fock-Zustand, ausgedrückt als, $$|nk1,nk2,...nkβ,nkα,...⟩ {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},... n _ {\ mathbf {k} _ {\ beta}}, n_ {\ mathbf {k} _ {\ alpha}},... \ right \ rangle}

  $$ckα|nk1,nk2,...nkβ,nkα,...⟩=(- -1)∑βlt;αnβ|nk1,nk2,...nkβ,1- -nkα,...⟩ {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {\ alpha}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},... n_ { \ mathbf {k} _ {\ beta}}, n _ {\ mathbf {k} _ {\ alpha}},... \ right \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ {\ beta lt;\ alpha} n _ {\ beta}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},... n _ {\ mathbf {k} _ {\ beta} }, 1-n _ {\ mathbf {k} _ {\ alpha}},... \ right \ rangle},

  Dabei wird die Jordan-Wigner-Zeichenfolge genannt, die von der Reihenfolge der beteiligten Einzelteilchenzustände und der Addition der Fermion-Besatzungsnummern aller vorhergehenden Zustände abhängt.$$(- -1)∑βlt;αnβ {\ displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {\ beta lt;\ alpha} n _ {\ beta}}}

Antisymmetrisches Verhalten des fermionischen Fock-Zustands

Das antisymmetrische Verhalten fermionischer Zustände unter dem Exchange-Operator wird für die Antikommutationsbeziehungen berücksichtigt. Hier erfolgt der Austausch von Partikeln zwischen zwei Zuständen, indem ein Partikel in einem Zustand vernichtet und eines in einem anderen erzeugt wird. Wenn wir mit einem Fock-Zustand beginnen und ein Partikel von Zustand zu Zustand verschieben möchten, betreiben wir den Fock-Zustand folgendermaßen:$$

|ψ⟩=|nk1,nk2,...nkm...nkl...⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},... n _ {\ mathbf {k} _ { m}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle}$$kl {\ displaystyle k_ {l}}$$km {\ displaystyle k_ {m}}$$ckm†.ckl {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}.c _ {\ mathbf {k} _ {l}}}

Unter Verwendung der Antikommutationsbeziehung, die wir haben

$$ckm†.ckl=- -ckl.ckm† {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}.c _ {\ mathbf {k} _ {l}} = - c _ {\ mathbf {k} _ {l}}. c_ { \ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}}

$$ckm†.ckl|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=nkm+1nkl|nk1,nk2,....nkm+1...nkl- -1...⟩ {\ displaystyle c _ {\ mathbf {k} _ {m}} ^ {\ dagger}.c _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n_ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1}} {\ sqrt {n _ {\ mathbf {k} _ {l}}} \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}},.... n _ {\ mathbf {k} _ {m}} + 1... n _ {\ mathbf {k} _ {l} } -1... \ right \ rangle}

aber,

$$$$ckl.ckm†|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=- -ckm†.ckl|nk1,nk2,....nkm...nkl...⟩=- -nkm+1nkl|nk1,nk2,....nkm+1...nkl- -1...⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} amp; c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}. c _ {{\ mathbf {k}} _ {m}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf { k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}},.... n _ {{\ mathbf {k}} _ {m}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle \\ = {} - amp; c _ {{\ mathbf {k}} _ {m}} ^ {\ dagger}.c _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}},.... n _ {{\ mathbf {k}} _ { m}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}... \ rangle \\ = {} - amp; {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {m}} +1}} {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}},.... n _ {{\ mathbf {k}} _ {m}} + 1... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1... \ rangle \ Ende {ausgerichtet}}}

Somit sind fermionische Fock-Zustände unter Betrieb durch Partikelaustauschoperatoren antisymmetrisch.

Fockzustände sind im Allgemeinen keine Energieeigenzustände

In der zweiten Quantisierungstheorie ist die Hamiltonsche Dichtefunktion gegeben durch

$$H.=12m∇ichψ∗(x)∇ichψ(x) {\ displaystyle {\ mathfrak {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ nabla _ {i} \ psi ^ {*} (x) \, \ nabla _ {i} \ psi (x)}

Der gesamte Hamilton-Wert ist gegeben durch

$$H.=∫d3xH.=∫d3xψ∗(x)(- -∇22m)ψ(x)∴H.=- -∇22m {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} amp; = \ int d ^ {3} x \, {\ mathfrak {H}} = \ int d ^ {3} x \ psi ^ {*} (x) \ left (- {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ right) \ psi (x) \\\ daher {\ mathfrak {H}} amp; = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ end {align}}}

In der freien Schrödinger-Theorie

$$H.ψn(+)(x)=- -∇22mψn(+)(x)=E.n0ψn(+)(x) {\ displaystyle {\ mathfrak {H}} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) = - {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} \ psi _ {n} ^ { (+)} (x) = E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}

und

$$∫d3xψn(+)∗(x)ψn'(+)(x)=δnn' {\ displaystyle \ int d ^ {3} x \, \ psi _ {n} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, \ psi _ {n '} ^ {(+)} (x) = \ delta _ {nn '}}

und

$$ψ(x)=∑neinnψn(+)(x) {\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)},

Wo ist der Vernichtungsoperator?$$

einn {\ displaystyle a_ {n}}

$$∴H.=∑n,n'∫d3xeinn'†ψn'(+)∗(x)H.einnψn(+)(x) {\ displaystyle \ also {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dagger} \ psi _ {n '} ^ {(+) ^ {*}} (x) \, {\ mathfrak {H}} a_ {n} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x)}

Nur für nicht wechselwirkende Partikel tun und pendeln; im Allgemeinen pendeln sie nicht. Für nicht wechselwirkende Partikel,$$

H. {\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$$einn {\ displaystyle a_ {n}}

$$H.=∑n,n'∫d3xeinn'†ψn'(+)∗(x)E.n0ψn(+)(x)einn=∑n,n'E.n0einn'†einnδnn'=∑nE.n0einn†einn=∑nE.n0N.^ {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ sum _ {n, n '} \ int d ^ {3} x \, a_ {n'} ^ {\ dagger} \ psi _ {n '} ^ {( +) ^ {*}} (x) \, E_ {n} ^ {0} \ psi _ {n} ^ {(+)} (x) a_ {n} = \ sum _ {n, n '} E_ {n} ^ {0} a_ {n '} ^ {\ dagger} a_ {n} \ delta _ {nn'} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} a_ {n} ^ {\ Dolch} a_ {n} = \ sum _ {n} E_ {n} ^ {0} {\ widehat {N}}}

Wenn sie nicht pendeln, hat der Hamiltonianer den obigen Ausdruck nicht. Daher sind Fock-Zustände im Allgemeinen keine Energieeigenzustände eines Systems.

Vakuumschwankungen

Der Vakuumzustand oder ist der Zustand niedrigster Energie und die Erwartungswerte von und verschwinden in diesem Zustand:$$

|0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$$ein {\ displaystyle a}$$ein† {\ displaystyle a ^ {\ dagger}}

$$ein|0⟩=0=⟨0|ein† {\ displaystyle a | 0 \ rangle = 0 = \ langle 0 | a ^ {\ dagger}}

Die elektrischen und magnetischen Felder und das Vektorpotential haben die Modenerweiterung der gleichen allgemeinen Form:

$$F.(r→,t)=εeineichk→x- -ωt+h⋅c {\ displaystyle F \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = \ varepsilon ae ^ {i {\ vec {k}} x- \ omega t} + h \ cdot c}

Somit ist leicht zu erkennen, dass die Erwartungswerte dieser Feldoperatoren im Vakuumzustand verschwinden:

$$⟨0|F.|0⟩=0 {\ displaystyle \ langle 0 | F | 0 \ rangle = 0}

Es kann jedoch gezeigt werden, dass die Erwartungswerte des Quadrats dieser Feldoperatoren ungleich Null sind. Somit gibt es Feldschwankungen um den Null-Ensemble-Durchschnitt. Diese Vakuumschwankungen sind für viele interessante Phänomene verantwortlich, einschließlich der Lamb-Verschiebung in der Quantenoptik.

Multi-Mode-Fock-Zustände

In einem Multi-Mode-Feld arbeitet jeder Erstellungs- und Vernichtungsoperator in seinem eigenen Modus. Also und wird nur weiterarbeiten. Da Operatoren, die verschiedenen Modi entsprechen, in verschiedenen Unterräumen des Hilbert-Raums arbeiten, ist das gesamte Feld ein direktes Produkt über alle Modi:$$

einkl {\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}}}$$einkl† {\ displaystyle a _ {\ mathbf {k} _ {l}} ^ {\ dagger}}$$|nkl⟩ {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ right \ rangle}$$|nkl⟩ {\ displaystyle | n _ {\ mathbf {k} _ {l}} \ rangle}

$$|nk1⟩|nk2⟩|nk3⟩…≡|nk1,nk2,nk3...nkl...⟩≡|{nk}}⟩ {\ displaystyle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {2}} \ right \ rangle \ left | n _ {\ mathbf {k } _ {3}} \ right \ rangle \ ldots \ equiv \ left | n _ {\ mathbf {k} _ {1}}, n _ {\ mathbf {k} _ {2}}, n _ {\ mathbf {k} _ {3}}... n _ {\ mathbf {k} _ {l}}... \ right \ rangle \ equiv \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle}

Die Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren arbeiten im Multimodus-Status, indem sie nur den Nummernstatus ihres eigenen Modus erhöhen oder verringern:

$$einkl|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl|nk1,nk2,nk3...nkl- -1,...⟩einkl†|nk1,nk2,nk3...nkl,...⟩=nkl+1|nk1,nk2,nk3...nkl+1,...⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ { 2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle amp; = {\ sqrt {n _ {{ \ mathbf {k}} _ {l}}}} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf { k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} - 1,... \ rangle \\ a _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} ^ {\ dagger} | n _ {{\ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}...n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}},... \ rangle amp; = {\ sqrt {n _ {{\ mathbf {k}} _ {l}} + 1}} | n _ {{ \ mathbf {k}} _ {1}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {2}}, n _ {{\ mathbf {k}} _ {3}}... n _ {{\ mathbf { k}} _ {l}} + 1,... \ rangle \ end {align}}}

Wir definieren auch die Gesamtzahl Operator für das Feld, das eine Summe von Anzahl Betreibern jeden Modus ist:

$$n^k=∑n^kl {\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} = \ sum {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k} _ {l}}}

Der Multimode-Fock-Zustand ist ein Eigenvektor des Gesamtzahloperators, dessen Eigenwert die Gesamtbelegungszahl aller Modi ist

$$n^k|{nk}}⟩=(∑nkl)|{nk}}⟩ {\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ mathbf {k}} | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle = \ left (\ sum n _ {\ mathbf {k} _ {l} } \ right) | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ rangle}

Im Falle nicht wechselwirkender Teilchen pendeln Zahlenoperator und Hamilton-Operator miteinander und daher werden Multimode-Fock-Zustände zu Eigenzuständen des Multimode-Hamilton-Operators

$$H.^|{nk}}⟩=(∑ℏω(nkl+12))|{nk}}⟩ {\ displaystyle {\ hat {H}} \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle = \ left (\ sum \ hbar \ omega \ left (n _ {\ mathbf {k} _) {l}} + {\ frac {1} {2}} \ right) \ right) \ left | \ {n _ {\ mathbf {k}} \} \ right \ rangle}

Quelle des Einzelphotonenzustands

Einzelphotonen werden routinemäßig mit Einzelemittern (Atome, Stickstoffleerstellenzentrum, Quantenpunkt ) erzeugt. Diese Quellen sind jedoch nicht immer sehr effizient und weisen häufig eine geringe Wahrscheinlichkeit auf, tatsächlich ein einzelnes Photon bei Bedarf zu erhalten. und oft komplex und ungeeignet für eine Laborumgebung.

Es werden üblicherweise andere Quellen verwendet, die diese Probleme auf Kosten eines nicht deterministischen Verhaltens überwinden. Angekündigte Einzelphotonenquellen sind probabilistische Zwei-Photonen-Quellen, von denen das Paar getrennt ist und die Detektion eines Photons die Anwesenheit des verbleibenden ankündigt. Diese Quellen beruhen normalerweise auf der optischen Nichtlinearität einiger Materialien wie beispielsweise periodisch gepoltem Lithiumniobat ( spontane parametrische Abwärtskonvertierung) oder Silizium (spontanes Vierwellenmischen ).

Nicht klassisches Verhalten

Die Glauber-Sudarshan-P-Darstellung von Fock-Zuständen zeigt, dass diese Zustände rein quantenmechanisch sind und kein klassisches Gegenstück haben. Der dieser Zustände in der Darstellung ist eine '-te Ableitung der Dirac-Delta-Funktion und daher keine klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung.$$

φ(α) {\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi (\ alpha) \,}$$2n {\ displaystyle 2n}

Siehe auch

• Kohärente Zustände
• Heisenberg-Grenze
• Nichtklassisches Licht

Verweise

Externe Links

• Vladan Vuletic vom MIT hat ein Ensemble von Atomen verwendet, um eine Quelle im Fock-Zustand (auch bekannt als Einzelphoton) (PDF) zu erzeugen.
• Erzeugen und messen Sie einen einzelnen Photonenzustand (Fock-Zustand) mit einem interaktiven Experiment QuantumLab