Fermi Problem

Schätzungsproblem in der Physik- oder IngenieurausbildungDieser Artikel befasst sich mit der Schätztechnik.Zu Fermis Frage nach dem außerirdischen Leben siehe Fermi-Paradoxon.

In der Physik- oder Ingenieurausbildung ist ein Fermi-Problem, ein Fermi-Quiz, eine Fermi-Frage, eine Fermi-Schätzung, ein Größenordnungsproblem, eine Größenordnungsschätzung oder eine Ordnungsschätzung ein Schätzproblem, das entwickelt wurde, um Dimensionsanalyse oder Approximation extremer Wissenschaftzu lehrenBerechnungen, und ein solches Problem ist normalerweise eine Berechnung auf der Rückseite des Umschlags. Die Schätztechnik ist nach dem Physiker Enrico Fermi benannt, der für seine Fähigkeit bekannt war, gute Näherungsberechnungen mit wenigen oder keinen tatsächlichen Daten durchzuführen.Fermi-Probleme beinhalten typischerweise berechtigte Vermutungen über Mengen und deren Varianz oder Unter- und Obergrenzen.In einigen Fällen können Größenordnungsschätzungen auch unter Verwendung einer Dimensionsanalyse abgeleitet werden.

Inhalt

• 1 Historischer Hintergrund
• 2 Beispiele
• 3 Vorteile und Umfang
• 4 Erklärung
• 5 Siehe auch
• 6 Notizen und Referenzen
• 7 Weiterführende Literatur
• 8 Externe Links

Historischer Hintergrund

Ein Beispiel ist Enrico Fermis Schätzung der Stärke der Atombombe, die beim Trinity-Test explodierte, basierend auf der Entfernung, die Papierstücke zurücklegten, die er während der Explosion von seiner Hand fallen ließ.Fermis Schätzung von 10 Kilotonnen TNT lag weit innerhalb einer Größenordnung des jetzt akzeptierten Wertes von 21 Kilotonnen.

Beispiele

Beispiele für Fermi-Fragen sind oft extremer Natur und können normalerweise nicht mit gängigen mathematischen oder wissenschaftlichen Informationen gelöst werden.

Beispielfragen des offiziellen Fermi-Wettbewerbs:

"Wenn die Masse eines Teelöffels Wasser in Form von Wärme vollständig in Energie umgewandelt werden könnte, welches Wasservolumen könnte es zunächst bei Raumtemperatur zum Kochen bringen? (Liter)."

"Wie stark erwärmt sich die Themse beim Überqueren des Fanshawe-Damms ? (Grad Celsius)."

"Wie groß ist die Masse aller Autos, die diesen Monat in Nordamerika verschrottet wurden? (Kilogramm)"

Möglicherweise ist die bekannteste Fermi-Frage die Drake-Gleichung, mit der die Anzahl intelligenter Zivilisationen in der Galaxie geschätzt werden soll.Die grundlegende Frage, warum unsere Zivilisationen, wenn es eine bedeutende Anzahl solcher Zivilisationen gab, noch nie einer anderen begegnet sind, wird als Fermi-Paradox bezeichnet.

Vorteile und Umfang

Wissenschaftler suchen häufig nach Fermi-Schätzungen der Antwort auf ein Problem, bevor sie sich komplexeren Methoden zuwenden, um eine genaue Antwort zu berechnen.Dies bietet eine nützliche Überprüfung der Ergebnisse.Obwohl die Schätzung mit ziemlicher Sicherheit falsch ist, handelt es sich auch um eine einfache Berechnung, die eine einfache Fehlerprüfung ermöglicht und fehlerhafte Annahmen findet, wenn die erzeugte Zahl weit über dem liegt, was wir vernünftigerweise erwarten könnten.Im Gegensatz dazu können präzise Berechnungen äußerst komplex sein, jedoch mit der Erwartung, dass die Antwort, die sie liefern, korrekt ist.Die weitaus größere Anzahl von Faktoren und Operationen kann einen sehr signifikanten Fehler entweder im mathematischen Prozess oder in den Annahmen, auf denen die Gleichung basiert, verschleiern, aber das Ergebnis kann immer noch als richtig angenommen werden, da es aus einer genauen Formel abgeleitet wurde, die wird voraussichtlich gute Ergebnisse liefern.Ohne einen vernünftigen Bezugsrahmen für die Arbeit daraus ist selten klar, ob ein Ergebnis akzeptabel genau ist oder viele Größenordnungen (zehn- oder hundertfach) zu groß oder zu klein ist.Die Fermi-Schätzung bietet eine schnelle und einfache Möglichkeit, diesen Referenzrahmen für das zu erhalten, was vernünftigerweise als Antwort zu erwarten ist.

Solange die anfänglichen Annahmen in der Schätzung vernünftige Größen sind, gibt das erhaltene Ergebnis eine Antwort in derselben Größenordnung wie das korrekte Ergebnis und liefert, falls nicht, eine Grundlage für das Verständnis, warum dies der Fall ist.Angenommen, Sie wurden gebeten, die Anzahl der Klavierstimmer in Chicago zu bestimmen.Wenn Ihre anfängliche Schätzung Ihnen sagte, dass es ungefähr hundert geben sollte, aber die genaue Antwort Ihnen sagt, dass es viele Tausend gibt, dann wissen Sie, dass Sie herausfinden müssen, warum es diese Abweichung vom erwarteten Ergebnis gibt.Zuerst nach Fehlern suchen, dann nach Faktoren, die bei der Schätzung nicht berücksichtigt wurden. Hat Chicago eine Reihe von Musikschulen oder anderen Orten mit einem unverhältnismäßig hohen Verhältnis von Klavieren zu Menschen?Unabhängig davon, ob sie nahe oder sehr weit von den beobachteten Ergebnissen entfernt sind, liefert der Kontext, den die Schätzung liefert, nützliche Informationen sowohl über den Berechnungsprozess als auch über die Annahmen, die zur Betrachtung von Problemen verwendet wurden.

Fermi-Schätzungen sind auch nützlich, um Probleme anzugehen, bei denen die optimale Wahl der Berechnungsmethode von der erwarteten Größe der Antwort abhängt.Beispielsweise könnte eine Fermi-Schätzung anzeigen, ob die inneren Spannungen einer Struktur niedrig genug sind, dass sie durch lineare Elastizität genau beschrieben werden können;oder wenn die Schätzung bereits eine signifikante Beziehung im Maßstab in Bezug auf einen anderen Wert aufweist, z. B. wenn eine Struktur überarbeitet wird, um Belastungen standzuhalten, die um ein Vielfaches höher sind als die Schätzung.

Obwohl Fermi-Berechnungen oft nicht genau sind, da es viele Probleme mit ihren Annahmen geben kann, sagt uns diese Art der Analyse, wonach wir suchen müssen, um eine bessere Antwort zu erhalten.Für das obige Beispiel könnten wir versuchen, eine bessere Schätzung der Anzahl der Klaviere zu finden, die an einem typischen Tag von einem Klavierstimmer gestimmt wurden, oder eine genaue Zahl für die Bevölkerung von Chicago nachschlagen.Es gibt uns auch eine grobe Schätzung, die für einige Zwecke gut genug sein kann: Wenn wir in Chicago ein Geschäft eröffnen möchten, das Klavierstimmgeräte verkauft, und wir berechnen, dass wir 10.000 potenzielle Kunden benötigen, um im Geschäft zu bleiben, können wir dies vernünftigerweise annehmen Die obige Schätzung liegt weit genug unter 10.000, dass wir einen anderen Geschäftsplan in Betracht ziehen sollten (und mit etwas mehr Arbeit könnten wir eine grobe Obergrenze für die Anzahl der Klavierstimmer berechnen, indem wir die extremsten vernünftigen Werteberücksichtigen, diein jedem auftreten könnten unserer Annahmen).

Erläuterung

Fermi-Schätzungen funktionieren im Allgemeinen, da die Schätzungen der einzelnen Begriffe häufig nahezu korrekt sind und Über- und Unterschätzungen dazu beitragen, sich gegenseitig aufzuheben.Das heißt, wenn es keine konsistente Verzerrung gibt, ist eine Fermi-Berechnung, bei der mehrere geschätzte Faktoren (wie die Anzahl der Klavierstimmer in Chicago) multipliziert werden, wahrscheinlich genauer als zunächst angenommen.

Im Detail entspricht das Multiplizieren von Schätzungen dem Addieren ihrer Logarithmen;Auf diese Weise erhält man eine Art Wiener-Prozess oder Zufallslauf auf der logarithmischen Skala, der sich als(in Anzahl der Terme n)diffundiert.Diskret ausgedrückt hat die Anzahl der Überschätzungen minus Unterschätzungen eine Binomialverteilung. Wenn man kontinuierlich eine Fermi-Schätzung von n Schritten mit Standardabweichung σ- Einheiten auf der logarithmischen Skala vom tatsächlichen Wertvornimmt, hat die Gesamtschätzung die Standardabweichung σ, da die Standardabweichung einer Summe wiein der Zahlskaliertvon summands.$$

n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}} ^{$$ n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}}$$ n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}

Wenn man beispielsweise eine 9-stufige Fermi-Schätzung vornimmt und bei jedem Schritt die korrekte Zahl um den Faktor 2 (oder mit einer Standardabweichung 2) überschätzt oder unterschätzt, ist der Standardfehler nach 9 Schritten um einen logarithmischen Faktor gewachsen von= 3, also 2 ³ = 8. Man wird also erwarten, innerhalb des 1 ⁄ 8- bis 8-fachen des korrekten Wertes zu liegen - innerhalb einer Größenordnung und viel weniger als im schlimmsten Fall eines Irrtums um den Faktor 2 ⁹ = 512 (ungefähr 2,71 Größenordnungen).Wenn man eine kürzere Kette hat oder genauer schätzt, ist die Gesamtschätzung entsprechend besser.$$

9 {\ displaystyle {\ sqrt {9}}}

Siehe auch

• Schätzung
• Dead Reckoning
• Winken
• Heuristik
• Approximationsordnungen
• Steins Beispiel
• Sphärische Kuh
• Drake-Gleichung

Anmerkungen und Referenzen

Weiterführende Literatur

Die folgenden Bücher enthalten viele Beispiele für Fermi-Probleme mit Lösungen:

• John Harte, Betrachten Sie eine sphärische Kuh: Ein Kurs zur Lösung von Umweltproblemen an wissenschaftlichen Büchern der Universität.1988. ISBN 0-935702-58-X.
• John Harte, Betrachten Sie eine zylindrische Kuh: Weitere Abenteuer in der Lösung von Umweltproblemen Wissenschaftsbücher der Universität.2001. ISBN 1-891389-17-3.
• Clifford Swartz, Physik auf der Rückseite des Umschlags Johns Hopkins University Press.2003. ISBN 0-8018-7263-4. ISBN 978-0801872631.
• Lawrence Weinstein amp; John A. Adam, Guesstimation: Die Probleme der Welt auf der Rückseite einer Cocktailserviette lösen Princeton University Press.2008. ISBN 0-691-12949-5. ISBN 978-1-4008-2444-1. Ein Lehrbuch über Fermi-Probleme.
• Aaron Santos, wie viele Licks?: Oder wie man verdammt nahe irgendetwas schätzt. Laufende Presse.2009. ISBN 0-7624-3560-7. ISBN 978-0-7624-3560-9.
• Sanjoy Mahajan, Straßenkampfmathematik: Die Kunst des fundierten Ratens und der opportunistischen Problemlösung MIT Press.2010. ISBN 026251429X. ISBN 978-0262514293.
• Göran Grimvall, Quantifizieren!Ein Crashkurs in intelligentem Denken Johns Hopkins University Press.2010. ISBN 0-8018-9717-3. ISBN 978-0-8018-9717-7.
• Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0: Lösung der heutigen Probleme auf dem Rücken einer Serviette Princeton University Press.2012. ISBN 978-0-691-15080-2.
• Sanjoy Mahajan, Die Kunst der Einsicht in Wissenschaft und Technik MIT Press.2014. ISBN 9780262526548.
• Dmitry Budker, Alexander O. Sushkov, Physik an Ihren Füßen.Fragen zur Berkeley Graduate Exam Oxford University Press.2015. ISBN 978-0199681655.
• Rob Eastaway, Mathematik auf der Rückseite eines Umschlags: Clevere Methoden, um HarperCollins (grob) zu berechnen. 2019. ISBN 978-0008324582.

Es gibt eine Reihe von Kursen auf Universitätsniveau, die sich mit der Schätzung und Lösung von Fermi-Problemen befassen.Die Materialien für diese Kurse sind eine gute Quelle für zusätzliche Fermi-Problembeispiele und Material zu Lösungsstrategien:

• 6.055J / 2.038J Die Kunst der Approximation in Wissenschaft und Technik, unterrichtet von Sanjoy Mahajan am Massachusetts Institute of Technology (MIT).
• Physik auf der Rückseite eines Umschlags, unterrichtet von Lawrence Weinstein an der Old Dominion University.
• Physik der Größenordnung, unterrichtet von Sterl Phinney am California Institute of Technology.
• Schätzung der Größenordnung, unterrichtet von Patrick Chuang an der University of California in Santa Cruz.
• Problemlösung in der Größenordnung, unterrichtet von Linda Strubbe an der Universität von Toronto.
• Physik der Größenordnung, unterrichtet von Eugene Chiang an der University of California in Berkeley.
• Kapitel 2: Entdeckungen auf der Rückseite eines Umschlags von Frontiers of Science: Wissenschaftliche Gewohnheiten des Geistes, gelehrt von David Helfand an der Columbia University

Externe Links

• Das Fermi-Projekt unterhält eine regelmäßig aktualisierte Sammlung von Fermi-Problemen.
• Fermi-Fragen: Ein Leitfaden für Lehrer, Schüler und Veranstaltungsleiter von Lloyd Abrams.
• DiePhysik-Bildungsgruppe der Universität von Maryland unterhält eine Sammlung von Fermi-Problemen.
• Ein Beispiel für ein Fermi-Problem in Bezug auf den gesamten Benzinverbrauch von Autos seit der Erfindung von Autos - und den Vergleich mit der Leistung der von der Sonne freigesetzten Energie.
• "Wie soll Nicht-Mathematikern Mathematik beigebracht werden?", Timothy Gowers
• "Was wäre wenn? Malen Sie die Erde" aus dem Buch Was wäre wenn?Ernsthafte wissenschaftliche Antworten auf absurde hypothetische Fragen von Randall Munroe
• Die University of Western Ontario hat eine Webseite mit einer langen Liste von Fermi-Problemen.