In der Mathematik ist eine Elementarmatrix eine Matrix, die sich von der Identitätsmatrix durch eine einzelne Elementarzeilenoperation unterscheidet.Die Elementarmatrizen erzeugen die allgemeine lineare Gruppe GL n ( F), wenn F ein Feld ist.Die linke Multiplikation (Vormultiplikation) mit einer Elementarmatrix repräsentiert elementare Zeilenoperationen, während die rechte Multiplikation (Nachmultiplikation) elementare Spaltenoperationen repräsentiert.
Es gibt drei Arten von Elementarmatrizen, die drei Arten von Zeilenoperationen (bzw. Spaltenoperationen) entsprechen:
Zeilenumschaltung
Eine Zeile innerhalb der Matrix kann durch eine andere Zeile ersetzt werden.
Zeilenmultiplikation
Jedes Element in einer Zeile kann mit einer Nicht-Null-Konstante multipliziert werden.Es wird auch als Skalieren einer Zeile bezeichnet.
Zeilenzusatz
Eine Zeile kann durch die Summe dieser Zeile und ein Vielfaches einer anderen Zeile ersetzt werden.
Wenn E eine Elementarmatrix ist, wie nachstehend beschrieben, um die Elementarzeilenoperation auf eine Matrix A anzuwenden, multipliziert man A mit der Elementarmatrix links EA. Die Elementarmatrix für jede Zeilenoperation wird erhalten, indem die Operation auf der Identitätsmatrix ausgeführt wird. Diese Tatsache kann als ein Beispiel für das Yoneda-Lemma verstanden werden, das auf die Kategorie der Matrizen angewendet wird.
Die erste Art der Zeilenoperation in einer Matrix A schaltet alle Matrixelemente in Zeile i mit ihren Gegenstücken in Zeile j um. Die entsprechende Elementarmatrix wird durch Vertauschen von Zeile i und Zeile j der Identitätsmatrix erhalten.