Exzentrizitätsvektor

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In der Himmelsmechanik ist der Exzentrizitätsvektor einer Kepler-Umlaufbahn der dimensionslose Vektor mit einer Richtung, die von der Apoapsis zur Periapsis zeigt und deren Größe der skalaren Exzentrizität der Umlaufbahn entspricht.Für Kepler-Bahnen ist der Exzentrizitätsvektor eine Bewegungskonstante.Seine Hauptanwendung liegt in der Analyse fast kreisförmiger Bahnen, da störende (nicht keplerianische) Kräfte auf eine tatsächliche Bahn bewirken, dass sich der oszillierende Exzentrizitätsvektor kontinuierlich ändert.Für die Exzentrizität und das Argument der Periapsis- Parameter entspricht die Exzentrizität Null (Kreisbahn) einer Singularität.Die Größe des Exzentrizitätsvektors repräsentiert die Exzentrizität der Umlaufbahn.Es ist zu beachten, dass die Geschwindigkeits- und Positionsvektoren relativ zum Trägheitsrahmen des Zentralkörpers sein müssen.

Berechnung

Der Exzentrizitätsvektor ist: $\mathbf {e} \,$

{\ displaystyle \ mathbf {e} \,}

\ mathbf {e} \,

\mathbf {e} ={\mathbf {v} \times \mathbf {h}\over {\mu }}-{\mathbf {r}\over {\left|\mathbf {r} \right|}}=\left({\mathbf {\left|v\right|} ^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\right)\mathbf {r} -{\mathbf {r} \cdot \mathbf {v}\over {\mu }}\mathbf {v}

e = v × h μ - - r | r | = (( | v | 2 μ - - 1 | r |) r - - r ⋅ v μ v

{\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {h} \ over {\ mu}} - {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right | }} = \ left ({\ mathbf {\ left | v \ right |} ^ {2} \ over {\ mu}} - {1 \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} \ right) \ mathbf {r} - {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} \ over {\ mu}} \ mathbf {v}}

\ mathbf {e} = {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {h} \ over {\ mu}} - {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} = \ left ({\ mathbf {\ left | v \ right |} ^ 2 \ over {\ mu}} - {1 \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} \ right) \ mathbf {r } - {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} \ over {\ mu}} \ mathbf {v}

was unmittelbar aus der Vektoridentität folgt:

\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v}

v × (( r × v) = (( v ⋅ v) r - - (( r ⋅ v) v

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ times \ left (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ right) = \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf { r} - \ left (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {v}}

\ mathbf {v} \ times \ left (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ right) = \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {r} - \ left (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {v}

wo:

$\mathbf {v} \,\!$ v
{\ displaystyle \ mathbf {v} \, \!} $\ mathbf {v} \, \!$ ist der Geschwindigkeitsvektor
$\mathbf {h} \,\!$ h
{\ displaystyle \ mathbf {h} \, \!} $\ mathbf {h} \, \!$ ist ein spezifischer Drehimpulsvektor (gleich) $\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ r × v
{\ displaystyle \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} $\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}$
$\mathbf {r} \,\!$ r
{\ displaystyle \ mathbf {r} \, \!} $\ mathbf {r} \, \!$ ist der Positionsvektor
$\mu \,\!$ μ
{\ displaystyle \ mu \, \!} $\ mu \, \!$ ist der Standard-Gravitationsparameter

Exzentrizitätsvektor

Berechnung

Siehe auch

Verweise