Diskreter Laplace-Operator

Für das diskrete Äquivalent der Laplace-Transformation siehe Z-Transformation.

In der Mathematik ist der diskrete Laplace-Operator ein Analogon zum kontinuierlichen Laplace-Operator, der so definiert ist, dass er in einem Diagramm oder einem diskreten Gitter eineBedeutung hat.Für den Fall eines endlichdimensionalen Graphen (mit einer endlichen Anzahl von Kanten und Eckpunkten) wird der diskrete Laplace-Operator üblicherweise als Laplace-Matrix bezeichnet.

Der diskrete Laplace-Operator tritt bei physikalischen Problemen wie dem Ising-Modell und der Schleifenquantengravitation sowie bei der Untersuchung diskreter dynamischer Systeme auf. Es wird auch in der numerischen Analyse als Ersatz für den kontinuierlichen Laplace-Operator verwendet.Zu den gängigen Anwendungen gehören die Bildverarbeitung, die als Laplace-Filter bezeichnet wird, und das maschinelle Lernen für Clustering und halbüberwachtes Lernen in Nachbarschaftsgraphen.

Inhalt

• 1 Definitionen
  • 1.1 Graph Laplace
  • 1.2 Mesh Laplace
  • 1.3 Endliche Unterschiede
  • 1.4 Finite-Elemente-Methode
  • 1.5 Bildverarbeitung
    • 1.5.1 Implementierung über Bedienerdiskretisierung
    • 1.5.2 Implementierung durch kontinuierliche Rekonstruktion
• 2 Spektrum
• 3 Sätze
• 4 Diskreter Schrödinger-Operator
• 5 Diskrete Greensche Funktion
• 6 ADE-Klassifizierung
• 7 Siehe auch
• 8 Referenzen
• 9 Externe Links

Definitionen

Graph Laplace

Es gibt verschiedene Definitionen des diskreten Laplace für Graphen, die sich durch Vorzeichen und Skalierungsfaktor unterscheiden (manchmal mittelt man über die benachbarten Eckpunkte, manchmal summiert man nur; dies macht für einen regulären Graphen keinen Unterschied).Die unten angegebene traditionelle Definition des Graphen Laplace entspricht dem negativen kontinuierlichen Laplace in einer Domäne mit einer freien Grenze.

Seiein Graph mit Eckpunktenund Kanten.Seieine Funktion der Eckpunkte, die Werte in einem Ring annehmen. Dann wird der diskrete Laplace-Effektdefiniert durch$$

G = (( V., E.) {\ displaystyle G = (V, E)}$$ V. {\ displaystyle V}$$ E. {\ displaystyle E}$$ ϕ:: V. → R. {\ displaystyle \ phi \ Doppelpunkt V \ bis R} $$ Δ {\ displaystyle \ Delta}$$ ϕ {\ displaystyle \ phi}

$$ (( Δ ϕ) (( v) = ∑ w:: d (( w, v) = 1 [ ϕ (( v) - - ϕ (( w) ]] {\ displaystyle (\ Delta \ phi) (v) = \ sum _ {w: \, d (w, v) = 1} \ left [\ phi (v) - \ phi (w) \ right]}

woist der Graphabstand zwischen den Eckpunkten w und v. Somit liegt diese Summe über den nächsten Nachbarn des Eckpunkts v.Für einen Graphen mit einer endlichen Anzahl von Kanten und Eckpunkten ist diese Definition identisch mit der der Laplace-Matrix. Das heißt,kann als Spaltenvektor geschrieben werden;und soist das Produkt des Spaltenvektors und der Laplace-Matrix, währendes nur der v- te Eintrag des Produktvektors ist.$$

d (( w, v) {\ displaystyle d (w, v)} $$ ϕ {\ displaystyle \ phi}$$ Δ ϕ {\ displaystyle \ Delta \ phi}$$ (( Δ ϕ) (( v) {\ displaystyle (\ Delta \ phi) (v)}

Wenn der Graph gewichtete Kanten hat, dh eine Gewichtungsfunktionangegeben ist, kann die Definition auf verallgemeinert werden$$

γ:: E. → R. {\ displaystyle \ gamma \ Doppelpunkt E \ bis R}

$$ (( Δ γ ϕ) (( v) = ∑ w:: d (( w, v) = 1 γ w v [ ϕ (( v) - - ϕ (( w) ]] {\ displaystyle (\ Delta _ {\ gamma} \ phi) (v) = \ sum _ {w: \, d (w, v) = 1} \ gamma _ {wv} \ left [\ phi (v) - \ phi (w) \ right]}

Woist der Gewichtswert am Rand.$$

γ w v {\ displaystyle \ gamma _ {wv}}$$ w v ∈ E. {\ displaystyle wv \ in E}

Eng verwandt mit dem diskreten Laplace ist der Mittelungsoperator:

$$ (( M. ϕ) (( v) = 1 Grad ⁡ v ∑ w:: d (( w, v) = 1 ϕ (( w). {\ displaystyle (M \ phi) (v) = {\ frac {1} {\ deg v}} \ sum _ {w: \, d (w, v) = 1} \ phi (w).}

Mesh Laplace

Zusätzlich zur Berücksichtigung der Konnektivität von Knoten und Kanten in einem Diagramm berücksichtigen Netz-Laplace-Operatoren die Geometrie einer Oberfläche (z. B. die Winkel an den Knoten).Für ein vielfältiges Dreiecksnetz kann der Laplace-Beltrami-Operator einer Skalarfunktionan einem Scheitelpunktals angenähert werden$$

u {\ displaystyle u}$$ ich {\ displaystyle i}

$$ (( Δ u) ich ≈ 1 2 EIN ich ∑ j (( Kinderbett ⁡ α ich j + Kinderbett ⁡ β ich j) (( u ich - - u j), {\ displaystyle (\ Delta u) _ {i} \ approx {\ frac {1} {2A_ {i}}} \ sum _ {j} (\ cot \ alpha _ {ij} + \ cot \ beta _ {ij }) (u_ {i} -u_ {j}),}

wobei die Summe über allen benachbarten Scheitelpunktenvonliegtunddie beiden der Kante gegenüberliegenden Winkelsind unddie Scheitelpunktfläche von ist;das heißt, ein Drittel der summierten Flächen von Dreiecken, die auf einfallen.Die obige Kotangensformel kann unter Verwendung vieler verschiedener Methoden abgeleitet werden, darunter stückweise lineare finite Elemente, endliche Volumina (siehe für eine Ableitung) und diskrete Außenrechnung (siehe [1] ).$$

j {\ displaystyle j}$$ ich {\ displaystyle i}$$ α ich j {\ displaystyle \ alpha _ {ij}}$$ β ich j {\ displaystyle \ beta _ {ij}}$$ ich j {\ displaystyle ij}$$ EIN ich {\ displaystyle A_ {i}}$$ ich {\ displaystyle i}$$ ich {\ displaystyle i}

Um die Berechnung zu erleichtern, wird der Laplace in einer Matrixsocodiert,dass.Seidie (spärliche) Kotangensmatrix mit Einträgen$$

L. ∈ R. | V. | × | V. | {\ displaystyle L \ in \ mathbb {R} ^ {| V | \ times | V |}}$$ L. u = (( Δ u) ich {\ displaystyle Lu = (\ Delta u) _ {i}}$$ C. {\ displaystyle C}

$$

C. ich j = { - - 1 2 (( Kinderbett ⁡ α ich j + Kinderbett ⁡ β ich j) ich j ist eine Kante, - - ∑ k ∈ N. (( ich) C. ich k ich = j, 0 Andernfalls, {\ displaystyle C_ {ij} = {\ begin {case} - {\ frac {1} {2}} (\ cot \ alpha _ {ij} + \ cot \ beta _ {ij}) amp; ij {\ text {is eine Kante}}, \\ - \ sum \ begrenzt _ {k \ in N (i)} C_ {ik} amp; i = j, \\ 0 amp; {\ text {sonst}} \ end {Fälle}}}Wobezeichnet die Nachbarschaft von.$$ N. (( ich) {\ displaystyle N (i)}$$ ich {\ displaystyle i}

Und seidie diagonale Massenmatrix, deren-ter Eintrag entlang der Diagonale der Scheitelpunktbereich ist.Dannist die angestrebte Diskretisierung des Laplace.$$

M. {\ displaystyle M} $$ M. {\ displaystyle M}$$ ich {\ displaystyle i}$$ EIN ich {\ displaystyle A_ {i}}$$ L. = M. - - 1 C. {\ displaystyle L = M ^ {- 1} C}

Eine allgemeinere Übersicht über Netzoperatoren finden Sie in.

Endliche Unterschiede

Approximationen des Laplace, die durch die Finite-Differenzen-Methode oder durch die Finite-Elemente-Methode erhalten werden, können auch als diskrete Laplace bezeichnet werden. Zum Beispiel kann der Laplace-Wert in zwei Dimensionen unter Verwendung der Fünf-Punkte-Schablonen- Finite-Differenzen-Methode approximiert werden, was zu

$$ Δ f (( x, y) ≈ f (( x - - h, y) + f (( x + h, y) + f (( x, y - - h) + f (( x, y + h) - - 4 f (( x, y) h 2, {\ Anzeigestil \ Delta f (x, y) \ ungefähr {\ frac {f (xh, y) + f (x + h, y) + f (x, yh) + f (x, y + h) -4f (x, y)} {h ^ {2}}},}

wobei die Gittergrößein beiden Dimensionen h ist, so dass die Fünf-Punkte-Schablone eines Punktes ( x, y) im Gitter ist

$$ { (( x - - h, y), (( x, y), (( x + h, y), (( x, y - - h), (( x, y + h) }}. {\ displaystyle \ {(xh, y), (x, y), (x + h, y), (x, yh), (x, y + h) \}.}

Wenn die Gittergröße h = 1 ist, ist das Ergebnis der negative diskrete Laplace-Wert im Diagramm, bei dem es sich um das quadratische Gitter handelt. Hier gibt es keine Einschränkungen für die Werte der Funktion f ( x, y) an der Grenze des Gittergitters. Dies ist der Fall, wenn keine Quelle an der Grenze vorhanden ist, dh eine Randbedingung ohne Fluss (auch bekannt als Isolierung) oder homogene Neumann-Randbedingung ).Die Steuerung der Zustandsvariablen an der Grenze, wie f ( x, y) an der Grenze des Gitters (auch bekannt als Dirichlet-Randbedingung ), wird für Graph-Laplace-Werte selten verwendet, ist jedoch in anderen Anwendungen üblich.

Mehrdimensionale diskrete Laplace-Werte auf rechteckigen quaderförmigen regulären Gittern haben sehr spezielle Eigenschaften, z. B. sind sie Kronecker-Summen eindimensionaler diskreter Laplace-Werte, siehe Kronecker-Summe diskreter Laplace-Werte. In diesem Fall können alle ihre Eigenwerte und Eigenvektoren explizit berechnet werden.

Finite-Elemente-Methode

Bei diesem Ansatz wird die Domäne in kleinere Elemente diskretisiert, häufig Dreiecke oder Tetraeder, aber auch andere Elemente wie Rechtecke oder Quader sind möglich.Der Lösungsraum wird dann unter Verwendung sogenannter Formfunktionen eines vordefinierten Grades angenähert.Die Differentialgleichung, die den Laplace-Operator enthält, wird dann in eine Variationsformulierung transformiert und ein Gleichungssystem konstruiert (lineare oder Eigenwertprobleme).Die resultierenden Matrizen sind normalerweise sehr spärlich und können mit iterativen Methoden gelöst werden.

Bildverarbeitung

Der diskrete Laplace-Operator wird häufig in der Bildverarbeitung verwendet, z. B. in Kantenerkennungs- und Bewegungsschätzungsanwendungen.Der diskrete Laplace-Wert ist definiert als die Summe der Laplace-Operator-Koordinatenausdrücke der zweiten Ableitungenund wird als Summe der Differenzen über die nächsten Nachbarn des zentralen Pixels berechnet.Da Ableitungsfilter häufig empfindlich auf Rauschen in einem Bild reagieren, wird dem Laplace-Operator häufig ein Glättungsfilter (z. B. ein Gauß-Filter) vorangestellt, um das Rauschen vor der Berechnung der Ableitung zu entfernen.Der Glättungsfilter und der Laplace-Filter werden häufig zu einem einzigen Filter kombiniert.

Implementierung über Operator-Diskretisierung

Für ein-, zwei- und dreidimensionale Signale kann der diskrete Laplace-Wert als Faltung mit den folgenden Kerneln angegeben werden:

1D -Filter:, $$ D. → x 2 = [ 1 - - 2 1 ]] {\ displaystyle {\ vec {D}} _ {x} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; -2 amp; 1 \ end {bmatrix}}}

2D-Filter:. $$ D. x y 2 = [ 0 1 0 1 - - 4 1 0 1 0 ]] {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {xy} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 \\ 1 amp; -4 amp; 1 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}}

$$

D. x y 2 {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {xy} ^ {2}} entspricht derzuvor gezeigten Finite-Differenz-Formel( Fünf-Punkte-Schablone ).Es ist stabil für sehr gleichmäßig variierende Felder, aber für Gleichungen mit schnell variierenden Lösungen ist eine stabilere und isotropere Form des Laplace-Operators erforderlich, wie z. B. die Neun-Punkt-Schablone, die die Diagonalen enthält:

2D -Filter:, $$ D. x y 2 = [ 0,25 0,5 0,25 0,5 - - 3 0,5 0,25 0,5 0,25 ]] {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {xy} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 0,25 amp; 0,5 amp; 0,25 \\ 0,5 amp; -3 amp; 0,5 \\ 0,25 amp; 0,5 amp; 0,25 \ end {bmatrix} }}

3D-Filter: DieVerwendung einer Siebenpunktschablone ist gegeben durch:$$ D. x y z 2 {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {xyz} ^ {2}}

erste Ebene =;zweite Ebene =;dritte Ebene =. $$ [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ]] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}}}$$ [ 0 1 0 1 - - 6 1 0 1 0 ]] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 \\ 1 amp; -6 amp; 1 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \ end {bmatrix}}}$$ [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ]] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 \ end {bmatrix}}}

und mit 27-Punkt-Schablone von:

erste Ebene =;zweite Ebene =;dritte Ebene =. $$ 1 26 [ 2 3 2 3 6 3 2 3 2 ]] {\ displaystyle {\ frac {1} {26}} {\ begin {bmatrix} 2 amp; 3 amp; 2 \\ 3 amp; 6 amp; 3 \\ 2 amp; 3 amp; 2 \ end {bmatrix}}}$$ 1 26 [ 3 6 3 6 - - 88 6 3 6 3 ]] {\ displaystyle {\ frac {1} {26}} {\ begin {bmatrix} 3 amp; 6 amp; 3 \\ 6 amp; -88 amp; 6 \\ 3 amp; 6 amp; 3 \ end {bmatrix}}}$$ 1 26 [ 2 3 2 3 6 3 2 3 2 ]] {\ displaystyle {\ frac {1} {26}} {\ begin {bmatrix} 2 amp; 3 amp; 2 \\ 3 amp; 6 amp; 3 \\ 2 amp; 3 amp; 2 \ end {bmatrix}}}

nD Filter: Für das Element des Kernels $$ ein x 1, x 2, …, x n {\ displaystyle a_ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}}$$ D. x 1, x 2, …, x n 2, {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}} ^ {2},}

$$ ein x 1, x 2, …, x n = { - - 2 n wenn s = n, 1 wenn s = n - - 1, 0 Andernfalls, {\ displaystyle a_ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} -2n amp; {\ text {if}} s = n, \\ 1 amp; {\ text {if}} s = n-1, \\ 0 amp; {\ text {andernfalls}} \ end {array}} \ right.}

Dabei ist x idie Position (entweder -1, 0 oder 1) des Elements im Kernel in der i-ten Richtung und sdie Anzahl der Richtungen i,für die x i= 0 ist.

Beachten Sie, dass die n D -Version, die auf der Graphverallgemeinerung des Laplace basiert, davon ausgeht, dass sich alle Nachbarn in gleichem Abstand befinden, und daher zu dem folgenden 2D-Filter mit eingeschlossenen Diagonalen anstelle der obigen Version führt:

2D-Filter:$$ D. x y 2 = [ 1 1 1 1 - - 8 1 1 1 1 ]]. {\ displaystyle \ mathbf {D} _ {xy} ^ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; -8 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {bmatrix}}.}

Diese Kernel werden unter Verwendung diskreter Differentialquotienten abgeleitet.

Es kann gezeigt werden, dass die folgende diskrete Approximation des zweidimensionalen Laplace-Operators als konvexe Kombination von Differenzoperatoren

$$ ∇ γ 2 = (( 1 - - γ) ∇ 5 2 + γ ∇ × 2 = (( 1 - - γ) [ 0 1 0 1 - - 4 1 0 1 0 ]] + γ [ 1 /. 2 0 1 /. 2 0 - - 2 0 1 /. 2 0 1 /. 2 ]] {\ displaystyle \ nabla _ {\ gamma} ^ {2} = (1- \ gamma) \ nabla _ {5} ^ {2} + \ gamma \ nabla _ {\ times} ^ {2} = (1- \ gamma) {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 \\ 1 amp; -4 amp; 1 \\ 0 amp; 1 amp; 0 \ end {bmatrix}} + \ gamma {\ begin {bmatrix} 1/2 amp; 0 amp; 1/2 \\ 0 amp; -2 amp; 0 \\ 1/2 amp; 0 amp; 1/2 \ end {bmatrix}}}

für γ ist ∈ [0, 1] mit diskreten Skalenraumeigenschaften kompatibel, wobei speziell der Wert γ = 1/3 die beste Annäherung an die Rotationssymmetrie ergibt.In Bezug auf dreidimensionale Signale wird gezeigt, dass der Laplace-Operator durch die Zwei-Parameter-Familie von Differenzoperatoren approximiert werden kann

$$ ∇ γ 1, γ 2 2 = (( 1 - - γ 1 - - γ 2) ∇ 7 2 + γ 1 ∇ + 3 2 + γ 2 ∇ × 3 2), {\ displaystyle \ nabla _ {\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}} ^ {2} = (1- \ gamma _ {1} - \ gamma _ {2}) \, \ nabla _ {7 } ^ {2} + \ gamma _ {1} \, \ nabla _ {+ ^ {3}} ^ {2} + \ gamma _ {2} \, \ nabla _ {\ times ^ {3}} ^ { 2}),}

wo

$$ (( ∇ 7 2 f) 0, 0, 0 = f - - 1, 0, 0 + f + 1, 0, 0 + f 0, - - 1, 0 + f 0, + 1, 0 + f 0, 0, - - 1 + f 0, 0, + 1 - - 6 f 0, 0, 0, {\ displaystyle (\ nabla _ {7} ^ {2} f) _ {0,0,0} = f _ {- 1,0,0} + f _ {+ 1,0,0} + f_ {0, - 1,0} + f_ {0, + 1,0} + f_ {0,0, -1} + f_ {0,0, + 1} -6f_ {0,0,0},}

$$ (( ∇ + 3 2 f) 0, 0, 0 = 1 4 (( f - - 1, - - 1, 0 + f - - 1, + 1, 0 + f + 1, - - 1, 0 + f + 1, + 1, 0 + f - - 1, 0, - - 1 + f - - 1, 0, + 1 + f + 1, 0, - - 1 + f + 1, 0, + 1 + f 0, - - 1, - - 1 + f 0, - - 1, + 1 + f 0, + 1, - - 1 + f 0, + 1, + 1 - - 12 f 0, 0, 0), {\ displaystyle (\ nabla _ {+ ^ {3}} ^ {2} f) _ {0,0,0} = {\ frac {1} {4}} (f _ {- 1, -1,0} + f _ {- 1, + 1,0} + f _ {+ 1, -1,0} + f _ {+ 1, + 1,0} + f _ {- 1,0, -1} + f _ {- 1, 0, + 1} + f _ {+ 1,0, -1} + f _ {+ 1,0, + 1} + f_ {0, -1, -1} + f_ {0, -1, + 1} + f_ {0, + 1, -1} + f_ {0, + 1, + 1} -12f_ {0,0,0}),}

$$ (( ∇ × 3 2 f) 0, 0, 0 = 1 4 (( f - - 1, - - 1, - - 1 + f - - 1, - - 1, + 1 + f - - 1, + 1, - - 1 + f - - 1, + 1, + 1 + f + 1, - - 1, - - 1 + f + 1, - - 1, + 1 + f + 1, + 1, - - 1 + f + 1, + 1, + 1 - - 8 f 0, 0, 0). {\ displaystyle (\ nabla _ {\ times ^ {3}} ^ {2} f) _ {0,0,0} = {\ frac {1} {4}} (f _ {- 1, -1, - 1} + f _ {- 1, -1, + 1} + f _ {- 1, + 1, -1} + f _ {- 1, + 1, + 1} + f _ {+ 1, -1, -1} + f _ {+ 1, -1, + 1} + f _ {+ 1, + 1, -1} + f _ {+ 1, + 1, + 1} -8f_ {0,0,0}).}

Umsetzung durch kontinuierliche Rekonstruktion

Ein diskretes Signal, das Bilder umfasst, kann als diskrete Darstellung einer kontinuierlichen Funktion angesehen werden, bei der der Koordinatenvektorund der Wertebereich real sind.Die Ableitungsoperation ist daher direkt auf die kontinuierliche Funktion anwendbar.Insbesondere kann jedes diskrete Bild mit vernünftigen Annahmen über den Diskretisierungsprozess, z. B. unter der Annahme bandbegrenzter Funktionen oder erweiterbarer Wavelets-Funktionen usw., mittels gut verhaltener Interpolationsfunktionen rekonstruiert werden, die der Rekonstruktionsformulierung zugrunde liegen.$$

f (( r ¯) {\ displaystyle f ({\ bar {r}})}$$ r ¯ ∈ R. n {\ displaystyle {\ bar {r}} \ in R ^ {n}}$$ f ∈ R. {\ displaystyle f \ in R}$$ f {\ displaystyle f}

$$ f (( r ¯) = ∑ k ∈ K. f k μ k (( r ¯) {\ displaystyle f ({\ bar {r}}) = \ sum _ {k \ in K} f_ {k} \ mu _ {k} ({\ bar {r}})}

Dabei handeltes sich um diskrete Darstellungen einesGittersundum gitterspezifische Interpolationsfunktionen.Auf einem einheitlichen Raster, wie Bilder, und für bandbegrenzten Funktionen, Interpolationsfunktionen sind Verschiebung invariant inHöhemiteiner entsprechend geweitet sind sinc Funktion definiert in-Abmessungen dh.Andere Annäherungenan gleichförmige Gitter sind entsprechend erweiterte Gaußsche Funktionen inDimensionen.Dementsprechend wird der diskrete Laplace eine diskrete Version des Laplace des kontinuierlichen $$

f k ∈ R. {\ displaystyle f_ {k} \ in R}$$ f {\ displaystyle f}$$ K. {\ displaystyle K}$$ μ k {\ displaystyle \ mu _ {k}}$$ K. {\ displaystyle K}$$ μ k (( r ¯) = μ (( r ¯ - - r ¯ k) {\ displaystyle \ mu _ {k} ({\ bar {r}}) = \ mu ({\ bar {r}} - {\ bar {r}} _ {k})}$$ μ {\ displaystyle \ mu} $$ n {\ displaystyle n}$$ r ¯ = (( x 1, x 2... x n) T. {\ displaystyle {\ bar {r}} = (x_ {1}, x_ {2}... x_ {n}) ^ {T}}$$ μ {\ displaystyle \ mu} $$ n {\ displaystyle n}$$ f (( r ¯) {\ displaystyle f ({\ bar {r}})}

$$ ∇ 2 f (( r ¯ k) = ∑ k ' ∈ K. f k ' (( ∇ 2 μ (( r ¯ - - r ¯ k ')) | r ¯ = r ¯ k {\ displaystyle \ nabla ^ {2} f ({\ bar {r}} _ {k}) = \ sum _ {k '\ in K} f_ {k'} (\ nabla ^ {2} \ mu ({ \ bar {r}} - {\ bar {r}} _ {k '})) | _ {{\ bar {r}} = {\ bar {r}} _ {k}}}

Dies ist wiederum eine Faltung mit dem Laplace der Interpolationsfunktion auf dem einheitlichen (Bild-) Gitter.Ein Vorteil der Verwendung von Gaußschen als Interpolationsfunktionen besteht darin, dass sie lineare Operatoren, einschließlich Laplace, liefern, die frei von Rotationsartefakten des Koordinatenrahmens sind, in demüber, inDimensionen dargestellt wird, und per Definition frequenzbewusst sind.Ein linearer Operator hat nicht nur einen begrenzten Bereich imBereich, sondern auch einen effektiven Bereich im Frequenzbereich (alternativ Gaußscher Skalenraum), der prinzipiell explizit über die Varianz des Gaußschen gesteuert werden kann.Die resultierende Filterung kann durch trennbare Filter und Dezimierungs- (Signalverarbeitung) / Pyramidendarstellungen (Bildverarbeitung) implementiert werden, um dieRecheneffizienz inDimensionen zuverbessern.Mit anderen Worten, der diskrete Laplace-Filter jeder Größe kann bequem als der abgetastete Laplace-Filter von Gauß mit einer räumlichen Größe erzeugt werden, die den Anforderungen einer bestimmten Anwendung entspricht, wie durch seine Varianz gesteuert.Monome, die nichtlineare Operatoren sind, können auch unter Verwendung eines ähnlichen Rekonstruktions- und Approximationsansatzes implementiert werden, vorausgesetzt, das Signal wird ausreichend überabgetastet.Dadurch können solche nichtlinearen Operatoren, z. B. Strukturtensor und verallgemeinerter Strukturtensor, die bei der Mustererkennung für ihre gesamte Optimalität der kleinsten Quadrate bei der Orientierungsschätzung verwendet werden, realisiert werden.$$

K. {\ displaystyle K}$$ f {\ displaystyle f}$$ f k {\ displaystyle f_ {k}}$$ n {\ displaystyle n}$$ r ¯ {\ displaystyle {\ bar {r}}} $$ n {\ displaystyle n}

Spektrum

Das Spektrum des diskreten Laplace auf einem unendlichen Gitter ist von zentralem Interesse;Da es sich um einen selbstadjunkten Operator handelt, hat es ein reales Spektrum.Für das Übereinkommenüberdas Spektrum liegt innerhalb(wie der Mittelungsoperator Spektralwerte in hat).Dies kann auch durch Anwenden der Fourier-Transformation gesehen werden.Beachten Sie, dass der diskrete Laplace-Wert in einem unendlichen Gitter ein rein absolut kontinuierliches Spektrum aufweist und daher keine Eigenwerte oder Eigenfunktionen aufweist.$$

Δ = ich - - M. {\ displaystyle \ Delta = IM}$$ Z. {\ displaystyle Z}$$ [ 0, 2 ]] {\ displaystyle [0,2]}$$ [ - - 1, 1 ]] {\ displaystyle [-1,1]}

Theoreme

Wenn der Graph ein unendliches quadratisches Gittergitter ist, kann gezeigt werden, dass diese Definition des Laplace-Wertes dem kontinuierlichen Laplace-Wert an der Grenze eines unendlich feinen Gitters entspricht.So haben wir zum Beispiel auf einem eindimensionalen Gitter

$$ ∂ 2 F. ∂ x 2 = lim ϵ → 0 [ F. (( x + ϵ) - - F. (( x) ]] + [ F. (( x - - ϵ) - - F. (( x) ]] ϵ 2. {\ displaystyle {\ frac {\ partiell ^ {2} F} {\ partiell x ^ {2}}} = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {[F (x + \ epsilon) -F ( x)] + [F (x- \ epsilon) -F (x)]} {\ epsilon ^ {2}}}.}

Diese Definition des Laplace wird üblicherweise in der numerischen Analyse und in der Bildverarbeitung verwendet. Bei der Bildverarbeitung wird es als eine Art digitaler Filter angesehen, insbesondere als Kantenfilter, der als Laplace-Filter bezeichnet wird.

Diskreter Schrödinger-Operator

Seieine potentielle Funktion, die in der Grafik definiert ist.Es ist zu beachten, dass P als ein multiplikativer Operator betrachtet werden kann, der diagonal wirkt $$

P.:: V. → R. {\ displaystyle P \ Doppelpunkt V \ rechter Pfeil R} $$ ϕ {\ displaystyle \ phi}

$$ (( P. ϕ) (( v) = P. (( v) ϕ (( v). {\ displaystyle (P \ phi) (v) = P (v) \ phi (v).}

Dannist der diskrete Schrödinger-Operator ein Analogon zum kontinuierlichen Schrödinger-Operator. $$

H. = Δ + P. {\ displaystyle H = \ Delta + P}

Wenn die Anzahl der Kanten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, gleichmäßig begrenzt ist und das Potential begrenzt ist, ist H begrenzt und selbstadjunktierend.

Die spektralen Eigenschaften dieses Hamilton-Operators können mit dem Satz von Stone untersucht werden. Dies ist eine Folge der Dualität zwischen Posets und Booleschen Algebren.

Bei regulären Gittern verfügt der Bediener in der Regel sowohl über Wanderwellen- als auch über Anderson-Lokalisierungslösungen, je nachdem, ob das Potenzial periodisch oder zufällig ist.

Diskrete Greensche Funktion

Die Greensche Funktion des diskreten Schrödinger-Operators ist im auflösenden Formalismus von gegeben

$$ G (( v, w ;; λ) = ⟨ δ v | 1 H. - - λ | δ w ⟩ {\ displaystyle G (v, w; \ lambda) = \ left \ langle \ delta _ {v} \ left | {\ frac {1} {H- \ lambda}} \ right | \ delta _ {w} \ right \ rangle}

wobeidie Kronecker-Delta- Funktion in der Grafik verstanden wird:;das heißt, es ist gleich 1, wenn v = w undandernfalls 0.$$

δ w {\ displaystyle \ delta _ {w}} $$ δ w (( v) = δ w v {\ displaystyle \ delta _ {w} (v) = \ delta _ {wv}}

Für festeundkomplexe Zahlen ist die Greensche Funktion, die als Funktion von v betrachtet wird, die eindeutige Lösung für$$

w ∈ V. {\ displaystyle w \ in V}$$ λ {\ displaystyle \ lambda}

$$ (( H. - - λ) G (( v, w ;; λ) = δ w (( v). {\ displaystyle (H- \ lambda) G (v, w; \ lambda) = \ delta _ {w} (v).}

ADE-Klassifizierung

Weitere Informationen: ADE-Klassifizierung

Bestimmte Gleichungen, an denen der diskrete Laplace-Wert beteiligt ist, haben nur Lösungen für die einfach geschnürten Dynkin-Diagramme (Multiplizität aller Kanten 1) und sind ein Beispiel für die ADE-Klassifizierung. Insbesondere die einzigen positiven Lösungen für die homogene Gleichung:

$$ Δ ϕ = ϕ, {\ displaystyle \ Delta \ phi = \ phi,}

in Worten,

"Zweimal jede Beschriftung ist die Summe der Beschriftungen auf benachbarten Scheitelpunkten."

befinden sich in den erweiterten (affinen) ADE-Dynkin-Diagrammen, von denen es 2 unendliche Familien (A und D) und 3 Ausnahmen (E) gibt.Die resultierende Nummerierung ist bis zur Skalierung eindeutig. Wenn der kleinste Wert auf 1 gesetzt ist, sind die anderen Zahlen Ganzzahlen im Bereich von bis zu 6.

Die normalen ADE-Diagramme sind die einzigen Diagramme, die eine positive Kennzeichnung mit der folgenden Eigenschaft zulassen:

Zweimal jede Beschriftung minus zwei ist die Summe der Beschriftungen auf benachbarten Scheitelpunkten.

In Bezug auf den Laplace sind die positiven Lösungen für die inhomogene Gleichung:

$$ Δ ϕ = ϕ - - 2. {\ displaystyle \ Delta \ phi = \ phi -2.}

Die resultierende Nummerierung ist eindeutig (die Skala wird durch die "2" angegeben) und besteht aus ganzen Zahlen.für E 8 reichen sie von 58 bis 270 und wurden bereits 1968 beobachtet.

Siehe auch

• Spektralformanalyse
• Elektrisches Netz
• Kronecker Summe diskreter Laplace
• Diskreter Kalkül

Verweise

• T. Sunada, Diskrete geometrische Analyse, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (Hrsg. Von P. Exner, JP Keating, P. Kuchment, T. Sunada, A. Teplyaev), 77 (2008), 51-86

Externe Links

• Definition und Anwendung auf die Spektrallücke