f ' (( x ) = 4 x (( 4 - - 1 ) + d (( x 2 ) d x cos (( x 2 ) - - d (( ln x ) d x e x - - ln (( x ) d (( e x ) d x + 0 = 4 x 3 + 2 x cos (( x 2 ) - - 1 x e x - - ln (( x ) e x .
{\ displaystyle {\ begin {align} f '(x) amp; = 4x ^ {(4-1)} + {\ frac {d \ left (x ^ {2} \ right)} {dx}} \ cos \ links (x ^ {2} \ rechts) - {\ frac {d \ links (\ ln {x} \ rechts)} {dx}} e ^ {x} - \ ln (x) {\ frac {d \ links (e ^ {x} \ right)} {dx}} + 0 \\ amp; = 4x ^ {3} + 2x \ cos \ left (x ^ {2} \ right) - {\ frac {1} {x} } e ^ {x} - \ ln (x) e ^ {x}. \ end {align}}} Hier wurde der zweite Term unter Verwendung der Kettenregel und der dritte unter Verwendung der Produktregel berechnet.Die bekannten Ableitungen der Elementarfunktionen x 2 , x 4 , sin ( x), ln ( x) und exp ( x) = e x sowie die Konstante 7 wurden ebenfalls verwendet.
In höheren Dimensionen Siehe auch: Vektorrechnung und multivariable Rechnung Vektorwertige Funktionen Eine vektorwertige Funktion y einer reellen Variablen sendet reelle Zahlen an Vektoren in einem Vektorraum R n .Eine vektorwertige Funktion kann in ihre Koordinatenfunktionen y 1 ( t), y 2 ( t),..., y n ( t) aufgeteilt werden, was bedeutet, dass y ( t) = ( y 1 ( t),..., y n ( t)).Dies schließt beispielsweise parametrische Kurven in R 2 oder R 3 ein .Die Koordinatenfunktionen sind reelle Funktionen, daher gilt für sie die obige Definition der Ableitung.Die Ableitung von y ( t) ist definiert als der Vektor , der als Tangentenvektor bezeichnet wird und dessen Koordinaten die Ableitungen der Koordinatenfunktionen sind.Das ist,
y ' (( t ) = (( y 1 ' (( t ) , … , y n ' (( t ) ) .
{\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = (y' _ {1} (t), \ ldots, y '_ {n} (t)).} Gleichermaßen
y ' (( t ) = lim h → 0 y (( t + h ) - - y (( t ) h ,
{\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = \ lim _ {h \ bis 0} {\ frac {\ mathbf {y} (t + h) - \ mathbf {y} (t)} {h}},} wenn das Limit existiert.Die Subtraktion im Zähler ist die Subtraktion von Vektoren, nicht von Skalaren.Wenn die Ableitung von y für jeden Wert von t existiert, dann ist y 'eine andere vektorwertige Funktion.
Wenn e 1,..., e n die Standardbasis für R n ist , kann y ( t) auch als y 1 ( t) e 1 + ⋯ + y n ( t) e n geschrieben werden. Wenn wir annehmen, dass die Ableitung einer vektorwertigen Funktion die Linearitätseigenschaft beibehält, muss die Ableitung von y ( t) sein
y 1 ' (( t ) e 1 + ⋯ + y n ' (( t ) e n
{\ displaystyle y '_ {1} (t) \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + y' _ {n} (t) \ mathbf {e} _ {n}} weil jeder der Basisvektoren eine Konstante ist.
Diese Verallgemeinerung ist beispielsweise nützlich, wenn y ( t) der Positionsvektor eines Teilchens zum Zeitpunkt t ist ;dann ist die Ableitung y '( t) der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens zum Zeitpunkt t.
Teilderivate Hauptartikel: Teilableitung Angenommen, f ist eine Funktion, die von mehr als einer Variablen abhängt, z.
f (( x , y ) = x 2 + x y + y 2 .
{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.} f kann als eine Familie von Funktionen einer Variablen interpretiert werden, die durch die anderen Variablen indiziert wird:
f (( x , y ) = f x (( y ) = x 2 + x y + y 2 .
{\ displaystyle f (x, y) = f_ {x} (y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.} Mit anderen Worten, jeder Wert von x wählt eine mit f x bezeichnete Funktion, die eine Funktion einer reellen Zahl ist.Das ist,
{\ displaystyle x \ mapsto f_ {x},} f x (( y ) = x 2 + x y + y 2 .
{\ displaystyle f_ {x} (y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.} Sobald ein Wert von x gewählt ist, sagen wir a, dann bestimmt f ( x, y) eine Funktion f a, die y an a 2 + ay + y 2 sendet:
f ein (( y ) = ein 2 + ein y + y 2 .
{\ displaystyle f_ {a} (y) = a ^ {2} + ay + y ^ {2}.} In diesem Ausdruck ist a eine Konstante, keine Variable, also ist f a eine Funktion nur einer reellen Variablen.Folglich gilt die Definition der Ableitung für eine Funktion einer Variablen:
f ein ' (( y ) = ein + 2 y .
{\ displaystyle f_ {a} '(y) = a + 2y.} Das obige Verfahren kann für jede Wahl von a durchgeführt werden. Das Zusammensetzen der Ableitungen zu einer Funktion ergibt eine Funktion, die die Variation von f in y- Richtung beschreibt:
∂ f ∂ y (( x , y ) = x + 2 y .
{\ displaystyle {\ frac {\ partielles f} {\ partielles y}} (x, y) = x + 2y.} Dies ist die partielle Ableitung von f in Bezug auf y. Hier ist ∂ ein gerundetes d, das als partielles Ableitungssymbol bezeichnet wird. Um es vom Buchstaben d zu unterscheiden, wird ∂ manchmal "der", "del" oder "partiell" anstelle von "dee" ausgesprochen.
Im Allgemeinen ist die partielle Ableitung einer Funktion f ( x 1,…, x n) in der Richtung x i am Punkt ( a 1,..., a n) definiert als:
∂ f ∂ x ich (( ein 1 , … , ein n ) = lim h → 0 f (( ein 1 , … , ein ich + h , … , ein n ) - - f (( ein 1 , … , ein ich , … , ein n ) h .
{\ displaystyle {\ frac {\ partielles f} {\ partielles x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ bis 0} {\ frac {f ( a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ ldots, a_ {n})} {h }}.} Im obigen Differenzquotienten werden alle Variablen außer x i festgehalten.Diese Wahl fester Werte bestimmt eine Funktion einer Variablen
f ein 1 , … , ein ich - - 1 , ein ich + 1 , … , ein n (( x ich ) = f (( ein 1 , … , ein ich - - 1 , x ich , ein ich + 1 , … , ein n ) ,
{\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),} und per Definition,
d f ein 1 , … , ein ich - - 1 , ein ich + 1 , … , ein n d x ich (( ein ich ) = ∂ f ∂ x ich (( ein 1 , … , ein n ) .
{\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partielle f} {\ partielle x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).} Mit anderen Worten, die verschiedenen Auswahlmöglichkeiten eines Index einer Familie von Variablen mit einer Variablen funktionieren genau wie im obigen Beispiel.Dieser Ausdruck zeigt auch, dass sich die Berechnung von partiellen Ableitungen auf die Berechnung von Ableitungen mit einer Variablen reduziert.
Dies ist von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung der Funktionen mehrerer realer Variablen . Sei f ( x 1,..., x n) eine solche reelle Funktion . Wenn alle partiellen Ableitungen ∂ f / ∂ x j von f am Punkt a = ( a 1,..., a n) definiert sind, definierendiese partiellen Ableitungen den Vektor
∇ f (( ein 1 , … , ein n ) = (( ∂ f ∂ x 1 (( ein 1 , … , ein n ) , … , ∂ f ∂ x n (( ein 1 , … , ein n ) ) ,
{\ displaystyle \ nabla f (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ left ({\ frac {\ partielle f} {\ partielle x_ {1}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}), \ ldots, {\ frac {\ partielle f} {\ partielle x_ {n}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ rechts),} das heißt der Gradient von f bei a. Wenn f an jedem Punkt in einem Bereich differenzierbar ist, ist der Gradient eine vektorwertige Funktion ∇ f, die den Punkt ( a 1,..., a n) auf den Vektor ∇ f ( a 1,..., abbildet). a n).Folglich bestimmt der Gradient ein Vektorfeld .
Richtungsableitungen Hauptartikel: Richtungsableitung Wenn f eine reelle Funktion auf R n ist ,messendie partiellen Ableitungen von f ihre Variation in Richtung der Koordinatenachsen.Wenn beispielsweise f eine Funktion von x und y ist, messen seine partiellen Ableitungen die Variation von f in x- und y- Richtung.Sie messen jedoch nicht direkt die Variation von f in einer anderen Richtung, beispielsweise entlang der diagonalen Linie y = x. Diese werden mit Richtungsableitungen gemessen.Wählen Sie einen Vektor
{\ displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}).} Die Richtungsableitung von f in Richtung von v am Punkt x ist die Grenze
D. v f (( x ) = lim h → 0 f (( x + h v ) - - f (( x ) h .
{\ displaystyle D _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {x})} {h}}.} In einigen Fällen kann es einfacher sein, die Richtungsableitung nach Änderung der Länge des Vektors zu berechnen oder zu schätzen.Oft wird dies getan, um das Problem in die Berechnung einer Richtungsableitung in Richtung eines Einheitsvektors umzuwandeln.Um zu sehen, wie dies funktioniert, nehmen wir an, dass v = λ u ist. Setzen Sie h = k / λ in den Differenzquotienten ein.Der Differenzquotient wird:
f (( x + (( k /. λ ) (( λ u ) ) - - f (( x ) k /. λ = λ ⋅ f (( x + k u ) - - f (( x ) k .
{\ displaystyle {\ frac {f (\ mathbf {x} + (k / \ lambda) (\ lambda \ mathbf {u})) - f (\ mathbf {x})} {k / \ lambda}} = \ Lambda \ cdot {\ frac {f (\ mathbf {x} + k \ mathbf {u}) -f (\ mathbf {x})} {k}}.} Dies ist das λ- fache des Differenzquotienten für die Richtungsableitung von f in Bezug auf u. Darüber hinaus ist das Nehmen der Grenze, wenn h gegen Null geht, dasselbe wie das Nehmen der Grenze, wenn k gegen Null geht, weil h und k Vielfache voneinander sind.Daher ist D v ( f) = λ D u ( f).Aufgrund dieser Neuskalierungseigenschaft werden Richtungsableitungen häufig nur für Einheitsvektoren berücksichtigt.
Wenn alle partiellen Ableitungen von f existieren und bei x stetig sind, bestimmen sie die Richtungsableitung von f in der Richtung v durch die Formel:
D. v f (( x ) = ∑ j = 1 n v j ∂ f ∂ x j .
{\ displaystyle D _ {\ mathbf {v}} {f} ({\ boldsymbol {x}}) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} v_ {j} {\ frac {\ partielle f} {\ teilweise x_ {j}}}.} Dies ist eine Folge der Definition der Gesamtableitung . Daraus folgt, dass die Richtungsableitungin v linear ist , was bedeutet, dass D v + w ( f) = D v ( f) + D w ( f).
Die gleiche Definition funktioniert auch, wenn f eine Funktion mit Werten in R m ist .Die obige Definition wird auf jede Komponente der Vektoren angewendet.In diesem Fall ist die Richtungsableitung ein Vektor in R m .
Gesamtableitung, Gesamtdifferential und Jacobi-Matrix Hauptartikel: Gesamtderivat Wenn f eine Funktion von einer offenen Teilmenge von R n bis R m ist , ist die Richtungsableitung von f in einer gewählten Richtung die beste lineare Annäherung an f an diesem Punkt und in dieser Richtung.Wenn jedoch n gt; 1 ist, kann keine einzelne Richtungsableitung ein vollständiges Bild des Verhaltens von f liefern.Die Gesamtableitung ergibt ein vollständiges Bild, indem alle Richtungen gleichzeitig berücksichtigt werden.Das heißt, für jeden Vektor v, der bei a beginnt, gilt die lineare Approximationsformel:
f (( ein + v ) ≈ f (( ein ) + f ' (( ein ) v .
{\ displaystyle f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) \ approx f (\ mathbf {a}) + f '(\ mathbf {a}) \ mathbf {v}.} Genau wie bei der Einzelvariablenableitung wird f '( a) so gewählt, dass der Fehler in dieser Näherung so klein wie möglich ist.
Wenn n und m beide eins sind, ist die Ableitung f '( a) eine Zahl und der Ausdruck f ' ( a) v ist das Produkt zweier Zahlen.In höheren Dimensionen ist es jedoch unmöglich, dass f '( a) eine Zahl ist.Wenn es eine Zahl wäre, wäre f '( a) v ein Vektor in R n, während die anderen Terme Vektoren in R m wären, und daher wäre die Formel nicht sinnvoll.Damit die lineare Approximationsformel Sinn macht, muss f '( a) eine Funktion sein, die Vektoren in R n an Vektoren in R m sendet, und f ' ( a) v muss diese bei v bewertete Funktion bezeichnen.
Beachten Sie, dass die lineare Approximationsformel wie folgt umgeschrieben werden kann, um festzustellen, um welche Art von Funktion es sich handelt
f (( ein + v ) - - f (( ein ) ≈ f ' (( ein ) v .
{\ displaystyle f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {a}) \ approx f '(\ mathbf {a}) \ mathbf {v}.} Beachten Sie,dass,wenn wir einenanderen Vektor wählen w, dann istdiese Näherungsgleichungsauswahl- durch Substitution eineandere Näherungsgleichungsauswahl- bestimmt w für v. Es bestimmt eine dritte Näherungsgleichung durch Substitution sowohl w für v und eine + V für ein. Durch Subtrahieren dieser beiden neuen Gleichungen erhalten wir
f (( ein + v + w ) - - f (( ein + v ) - - f (( ein + w ) + f (( ein ) ≈ f ' (( ein + v ) w - - f ' (( ein ) w .
{\ displaystyle f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {a} + \ mathbf { w}) + f (\ mathbf {a}) \ ca. f '(\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) \ mathbf {w} -f' (\ mathbf {a}) \ mathbf {w}. }} Wenn wir davon ausgehen,dass v klein ist,und dass das Derivat variiert kontinuierlich in einem, dann f '( ein + v) gleich etwa f ' ( ein), und daher wirddie rechte Seite ungefähr Null.Die linke Seite kann auf eine andere Weise neu geschrieben werden, umdie lineare Näherungsformel mit derVerwendung von v + w für substituierte v. Die lineare Approximationsformel impliziert:
0 ≈ f (( ein + v + w ) - - f (( ein + v ) - - f (( ein + w ) + f (( ein ) = (( f (( ein + v + w ) - - f (( ein ) ) - - (( f (( ein + v ) - - f (( ein ) ) - - (( f (( ein + w ) - - f (( ein ) ) ≈ f ' (( ein ) (( v + w ) - - f ' (( ein ) v - - f ' (( ein ) w .
{\ displaystyle {\ begin {align} 0 amp; \ approx f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) -f ( \ mathbf {a} + \ mathbf {w}) + f (\ mathbf {a}) \\ amp; = (f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -f (\ mathbf {a})) - (f (\ mathbf {a} + \ mathbf {v}) -f (\ mathbf {a})) - (f (\ mathbf {a} + \ mathbf {w}) -f (\ mathbf {a})) \\ amp; \ approx f '(\ mathbf {a}) (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) -f' (\ mathbf {a}) \ mathbf {v} -f '(\ mathbf {a}) \ mathbf {w}. \ end {align}}} Dies legt nahe, dass f '( a) eine lineare Transformation vom Vektorraum R n zum Vektorraum R m ist .Tatsächlich ist es möglich, dies zu einer präzisen Ableitung zu machen, indem der Fehler in den Näherungen gemessen wird.Angenommen, der Fehler in dieser linearen Approximationsformel ist durch eine konstante Zeit || begrenzt v ||, wobei die Konstante unabhängig von v ist, aber kontinuierlich von a abhängt.Dann können nach Hinzufügen eines geeigneten Fehlerterms alle obigen ungefähren Gleichungen als Ungleichungen umformuliert werden.Insbesondere ist f '( a) eine lineare Transformation bis zu einem kleinen Fehlerterm.In der Grenze, in der v und w gegen Null tendieren, muss es sich daher um eine lineare Transformation handeln.Da wir die Gesamtableitung definieren, indem wir eine Grenze nehmen, wenn v gegen Null geht, muss f '( a) eine lineare Transformation sein.
In einer Variablen wird die Tatsache, dass die Ableitung die beste lineare Näherung ist, durch die Tatsache ausgedrückt, dass sie die Grenze der Differenzquotienten ist.Der übliche Differenzquotient ist jedoch in höheren Dimensionen nicht sinnvoll, da es normalerweise nicht möglich ist, Vektoren zu teilen.Insbesondere befinden sich der Zähler und der Nenner des Differenzquotienten nicht einmal im gleichen Vektorraum: Der Zähler liegt in der Codomäne R m, während der Nenner in der Domäne R n liegt .Darüber hinaus ist die Ableitung eine lineare Transformation, ein anderer Objekttyp als der Zähler und der Nenner.Um die Vorstellung zu präzisieren, dass f '( a) die beste lineare Näherung ist, muss eine andere Formel für die Ein-Variablen-Ableitung angepasst werden, in der diese Probleme verschwinden.Wenn f: R → R, dann kann die übliche Definition der Ableitung manipuliert werden, um zu zeigen, dass die Ableitung von f bei a die eindeutige Zahl f '( a) ist, so dass
lim h → 0 f (( ein + h ) - - (( f (( ein ) + f ' (( ein ) h ) h = 0.
{\ displaystyle \ lim _ {h \ bis 0} {\ frac {f (a + h) - (f (a) + f '(a) h)} {h}} = 0.} Dies entspricht
lim h → 0 | f (( ein + h ) - - (( f (( ein ) + f ' (( ein ) h ) | | h | = 0
{\ displaystyle \ lim _ {h \ bis 0} {\ frac {| f (a + h) - (f (a) + f '(a) h) |} {| h |}} = 0} weil die Grenze einer Funktion genau dann gegen Null geht, wenn die Grenze des Absolutwerts der Funktion gegen Null geht.Diese letzte Formel kann an die Situation mit vielen Variablen angepasst werden, indem die absoluten Werte durch Normen ersetzt werden .
Die Definition der Gesamtableitung von f bei a ist daher, dass es sich um die eindeutige lineare Transformation f '( a) handelt: R n → R m, so dass
lim h → 0 ‖ f (( ein + h ) - - (( f (( ein ) + f ' (( ein ) h ) ‖ ‖ h ‖ = 0.
{\ displaystyle \ lim _ {\ mathbf {h} \ bis 0} {\ frac {\ lVert f (\ mathbf {a} + \ mathbf {h}) - (f (\ mathbf {a}) + f '( \ mathbf {a}) \ mathbf {h}) \ rVert} {\ lVert \ mathbf {h} \ rVert}} = 0.} Hier ist h ein Vektor in R n , daher ist die Norm im Nenner die Standardlänge auf R n .Allerdings f '( a) H ist ein Vektor in R m und die Norm im Zähler ist die Standardlänge auf R m .Wenn v ein Vektor ist, der bei a beginnt, dann wird f '( a) v als Pushforward von v durch f bezeichnet und manchmal als f ∗ v geschrieben.
Wenn die Gesamtableitung bei a existiert, dann existieren alle partiellen Ableitungen und Richtungsableitungen von f bei a, und für alle v ist f '( a) v die Richtungsableitung von f in der Richtung v. Wenn wir f unter Verwendung von Koordinatenfunktionenschreiben, so dass f = ( f 1, f 2,..., f m), dann kann die Gesamtableitung unter Verwendung der partiellen Ableitungen als Matrix ausgedrückt werden.Diese Matrix heißt die Jacobi-Matrix von f bei a:
f ' (( ein ) = Jac ein = (( ∂ f ich ∂ x j ) ich j .
{\ displaystyle f '(\ mathbf {a}) = \ operatorname {Jac} _ {\ mathbf {a}} = \ left ({\ frac {\ partielle f_ {i}} {\ partielle x_ {j}}} \ right) _ {ij}.} Die Existenz der Gesamtableitung f '( a) ist streng stärker als die Existenz aller Teilableitungen, aber wenn die Teilableitungen existieren und stetig sind, dann existiert die Gesamtableitung, wird vom Jacobi gegeben und hängt kontinuierlich von a ab.
Die Definition der Gesamtableitung fasst die Definition der Ableitung in einer Variablen zusammen.Das heißt, wenn f eine reelle Funktion einer reellen Variablen ist, existiert die Gesamtableitung genau dann, wenn die übliche Ableitung existiert.Die Jacobi-Matrix reduziert sich auf eine 1 × 1-Matrix, deren einziger Eintrag die Ableitung f '( x) ist.Diese 1 × 1-Matrix erfüllt die Eigenschaft, dass f ( a + h) - ( f ( a) + f '( a) h) ungefähr Null ist, mit anderen Worten, dass
f (( ein + h ) ≈ f (( ein ) + f ' (( ein ) h .
{\ Anzeigestil f (a + h) \ ungefähr f (a) + f '(a) h.} Bis zur Änderung von Variablen ist dies die Aussage, dass die Funktiondie beste lineare Annäherung an f bei a ist. x ↦ f (( ein ) + f ' (( ein ) (( x - - ein )
{\ displaystyle x \ mapsto f (a) + f '(a) (xa)}
Die Gesamtableitung einer Funktion ergibt keine andere Funktion auf die gleiche Weise wie der Fall einer Variablen.Dies liegt daran, dass die Gesamtableitung einer multivariablen Funktion viel mehr Informationen aufzeichnen muss als die Ableitung einer Einzelvariablenfunktion.Stattdessen gibt die Gesamtableitung eine Funktion vom Tangentenbündel der Quelle zum Tangentenbündel des Ziels.
Das natürliche Analogon der Gesamtableitungen zweiter, dritter und höherer Ordnung ist keine lineare Transformation, ist keine Funktion des Tangentenbündels und wird nicht durch wiederholtes Nehmen der Gesamtableitung aufgebaut.Das Analogon einer Ableitung höherer Ordnung, die als Jet bezeichnet wird , kann keine lineare Transformation sein, da Ableitungen höherer Ordnung subtile geometrische Informationen wie Konkavität widerspiegeln, die nicht mit linearen Daten wie Vektoren beschrieben werden können.Es kann keine Funktion des Tangentenbündels sein, da das Tangentenbündel nur Platz für den Basisraum und die Richtungsableitungen hat.Da Jets Informationen höherer Ordnung erfassen, verwenden sie als Argumente zusätzliche Koordinaten, die Richtungsänderungen höherer Ordnung darstellen.Der durch diese zusätzlichen Koordinaten bestimmte Raum wird als Strahlbündel bezeichnet . Die Beziehung zwischen der Gesamtableitung und den Teilableitungen einer Funktion ist parallel in der Beziehung zwischen demStrahl einer Funktion k- ter Ordnung und seinen Teilableitungen einer Ordnung kleiner oder gleich k.
Durch wiederholtes Nehmen des Gesamtderivats erhält man höhere Versionen desauf R p spezialisierten Fréchet-Derivats . DieGesamtableitung k- ter Ordnung kann als Karte interpretiert werden
D. k f :: R. n → L. k (( R. n × ⋯ × R. n , R. m )
{\ displaystyle D ^ {k} f: \ mathbb {R} ^ {n} \ bis L ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R} ^ {n }, \ mathbb {R} ^ {m})} das einen Punkt x in R n nimmt und ihm ein Element des Raums von k- linearen Karten von R n bis R m zuweist- die "beste" (in einem gewissen genauen Sinne) k- lineare Annäherung an f an diesem Punkt.Durch Vorkomposition mit der Diagonalkarte Δ, x → ( x, x) kann eine verallgemeinerte Taylorreihe als begonnen werden
f (( x ) ≈ f (( ein ) + (( D. f ) (( x - - ein ) + (( D. 2 f ) (( Δ (( x - - ein ) ) + ⋯ = f (( ein ) + (( D. f ) (( x - - ein ) + (( D. 2 f ) (( x - - ein , x - - ein ) + ⋯ = f (( ein ) + ∑ ich (( D. f ) ich (( x ich - - ein ich ) + ∑ j , k (( D. 2 f ) j k (( x j - - ein j ) (( x k - - ein k ) + ⋯
{\ displaystyle {\ begin {align} f (\ mathbf {x}) amp; \ approx f (\ mathbf {a}) + (Df) (\ mathbf {xa}) + \ left (D ^ {2} f \ rechts) (\ Delta (\ mathbf {xa})) + \ cdots \\ amp; = f (\ mathbf {a}) + (Df) (\ mathbf {xa}) + \ left (D ^ {2} f \ rechts) (\ mathbf {xa}, \ mathbf {xa}) + \ cdots \\ amp; = f (\ mathbf {a}) + \ sum _ {i} (Df) _ {i} (x_ {i} - a_ {i}) + \ sum _ {j, k} \ left (D ^ {2} f \ right) _ {jk} (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k }) + \ cdots \ end {align}}} wobei f ( a) mit einer konstanten Funktion identifiziert wird, sind x i - a i die Komponenten des Vektors x - a und ( Df) i und ( D 2 f) jk sind die Komponenten von Df und D 2 f als linear Transformationen.
Verallgemeinerungen Hauptartikel: Verallgemeinerungen des Derivats Das Konzept einer Ableitung kann auf viele andere Einstellungen erweitert werden.Der rote Faden ist, dass die Ableitung einer Funktion an einem Punkt als lineare Annäherung an die Funktion an diesem Punkt dient.
Eine wichtige Verallgemeinerung des Derivates betrifft komplexe Funktionen von komplexen Variablen , wie beispielsweise Funktionen von (eine Domäne in) die komplexen Zahlen C zu C. Der Begriff der Ableitung einer solchen Funktion wird erhalten, indem reale Variablen durch komplexe Variablen in der Definition ersetzt werden.Wenn C mit R 2 identifiziertwird, indem eine komplexe Zahl z als x + iy geschrieben wird, dann ist eine differenzierbare Funktion von C nach C sicherlich als Funktion von R 2 nach R 2 differenzierbar(in dem Sinne, dass alle ihre partiellen Ableitungen existieren). Das Gegenteil ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall: Die komplexe Ableitung existiert nur, wenn die reale Ableitung komplex linear ist und dies Beziehungen zwischen den partiellen Ableitungen auferlegt, die als Cauchy-Riemann-Gleichungen bezeichnet werden - siehe holomorphe Funktionen . Eine weitere Verallgemeinerung betrifft Funktionen zwischen differenzierbaren oder glatten Verteilern . Intuitiv gesehenist einesolche Mannigfaltigkeit M ein Raum, der in der Nähe jedes Punktes x durch einen Vektorraumangenähert werden kann, derals Tangentenraum bezeichnet wird : Das prototypische Beispiel ist eine glatte Oberfläche in R 3 .Die Ableitung (oder Differenz) einer (differenzierbaren) Abbildung f: M → N zwischen Mannigfaltigkeiten an einem Punkt x in M ist dann eine lineare Abbildung vom Tangentenraum von M bei x zum Tangentenraum von N bei f ( x)).Die Ableitungsfunktion wird eine Karte zwischen dem Tangentialbündel von M und N. Diese Definition ist in der Differentialgeometrie von grundlegender Bedeutungund hat viele Verwendungszwecke - siehe Pushforward (Differential) und Pullback (Differentialgeometrie) . Die Differenzierung kann auch für Karten zwischen unendlich dimensionalen Vektorräumen wie Banachräumen und Frécheträumen definiert werden . Es gibt eine Verallgemeinerung sowohl der Richtungsableitung, die als Gateaux-Ableitung bezeichnet wird , als auch des Differentials, die als Fréchet-Ableitung bezeichnet wird . Ein Mangel der klassischen Ableitung besteht darin, dass sehr viele Funktionen nicht differenzierbar sind.Dennoch gibt es eine Möglichkeit, den Begriff der Ableitung so zu erweitern, dass alle stetigen Funktionen und viele andere Funktionen unter Verwendung eines als schwache Ableitung bekannten Konzepts unterschieden werden können.Die Idee ist, die stetigen Funktionen in einen größeren Raum einzubetten, der als Verteilungsraum bezeichnet wird, und nur zu verlangen, dass eine Funktion "im Durchschnitt" differenzierbar ist. Die Eigenschaften des Derivats haben die Einführung und Untersuchung vieler ähnlicher Objekte in Algebra und Topologie inspiriert - siehe zum Beispiel Differentialalgebra . Das diskrete Äquivalent der Differenzierung sind endliche Differenzen . Die Untersuchung der Differentialrechnung wird mit der Berechnung der endlichen Differenzen in der Zeitskalenrechnung vereinheitlicht. Siehe auch arithmetische Ableitung . Geschichte Hauptartikel: Geschichte der Analysis Der Kalkül , in seiner frühen Geschichte als Infinitesimalrechnung bekannt, ist eine mathematische Disziplin, die sich auf Grenzen , Funktionen , Ableitungen, Integrale und unendliche Reihen konzentriert . Isaac Newton und Gottfried Leibniz entdeckten Mitte des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander die Analysis.Jeder Erfinder behauptete jedoch, der andere habe seine Arbeit in einem erbitterten Streit gestohlen, der bis zum Ende seines Lebens andauerte.
Siehe auch Anmerkungen Verweise Literaturverzeichnis Drucken Anton, Howard;Bivens, Irl;Davis, Stephen (2. Februar 2005), Kalkül: Early Transcendentals Single and Multivariable (8. Aufl.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 Apostol, Tom M. (Juni 1967), Calculus, Vol.1: Einvariablenrechnung mit einer Einführung in die lineare Algebra , 1 (2. Aufl.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 Apostol, Tom M. (Juni 1969), Calculus, Vol.2: Multi-Variable Calculus und lineare Algebra mit Anwendungen , 1 (2. Aufl.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 Courant, Richard;John, Fritz (22. Dezember 1998), Introduction to Calculus and Analysis.1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 Eves, Howard (2. Januar 1990), Eine Einführung in die Geschichte der Mathematik (6. Aufl.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 Larson, Ron;Hostetler, Robert P.;Edwards, Bruce H. (28. Februar 2006), Kalkül: Frühe transzendentale Funktionen (4. Aufl.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3. Aufl.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 Stewart, James (24. Dezember 2002), Calculus (5. Aufl.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 Thompson, Silvanus P. (8. September 1998), Calculus Made Easy (überarbeitet, aktualisiert, erweiterte Ausgabe), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 Online-Bücher Crowell, Benjamin (2017), Grundlagen der Analysis (Regierung von TN), Tamil Nadu Textbook Corporation (2006), Mathematics-Vol.2 (PDF), archiviert vom Original (PDF) am 15.01.2016, abgerufen am 29.11.2014 Garrett, Paul (2004), Anmerkungen zur Berechnung des ersten Jahres , University of Minnesota Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus Keisler, H. Jerome (2000), Elementarrechnung: Ein Ansatz mit Infinitesimalen Mauch, Sean (2004), ungekürzte Version von Seans Applied Math Book , archiviert vom Original am 15.04.2006 Sloughter, Dan (2000), Differenzgleichungen zu Differentialgleichungen Strang, Gilbert (1991), Calculus Stroyan , Keith D. (1997), Eine kurze Einführung in die Infinitesimalrechnung Wikibooks, Kalkül Externe Links
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