Browns Darstellbarkeitssatz

In der Mathematik liefert Browns Darstellbarkeitssatz in der Homotopietheorie notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass ein kontravarianter Funktor F auf der Homotopiekategorie Hotc von spitz zusammenhängenden CW-Komplexen zur Kategorie der Mengen Set ein darstellbarer Funktor ist.

Genauer gesagt erhalten wir

F: Hotc ^op → Set,

und es gibt bestimmte offensichtlich notwendige Bedingungen dafür, dass F vom Typ Hom (—, C ) ist, wobei C ein spitz zusammenhängender CW-Komplex ist, der allein aus der Kategorientheorie abgeleitet werden kann. Die Aussage des materiellen Teils des Theorems ist, dass diese notwendigen Bedingungen dann ausreichend sind. Aus technischen Gründen wird der Satz oft für Funktoren zur Kategorie der spitzen Mengen aufgestellt ; mit anderen Worten, die Mengen erhalten auch einen Basispunkt.

Brown-Darstellbarkeitssatz für CW-Komplexe

Der Darstellbarkeitssatz für CW-Komplexe von Edgar H. Brown ist der folgende. Nehme an, dass:

1. Das Funktor F Karten Koprodukte (dh Keil Summen ) in HOTC zu Produkten in Set:$$F( ∨ α X α)≅ Π αF( X α), {\displaystyle F(\vee_{\alpha}X_{\alpha})\cong\prod_{\alpha}F(X_{\alpha}),}
2. Der Funktor F bildet Homotopie-Pushouts in Hotc auf schwache Pullbacks ab. Dies wird oft als Mayer-Vietoris- Axiom angegeben: für jeden CW-Komplex W, der von zwei Unterkomplexen U und V bedeckt ist, und für alle Elemente u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ), sodass u und v sich auf dasselbe Element beschränken von F ( U ∩ V gibt), ist ein Element, w ∈ F ( W ) zu beschränken u und v, respectively.

Dann ist F durch einen CW-Komplex C darstellbar, dh es gibt einen Isomorphismus

F ( Z ) ≅ Hom Hotc ( Z, C )

für jeden CW-Komplex Z, der in Z natürlich ist, da für jeden Morphismus von Z zu einem anderen CW-Komplex Y die induzierten Abbildungen F ( Y ) → F ( Z ) und Hom Hot ( Y, C ) → Hom Hot ( Z, C ) sind mit diesen Isomorphismen kompatibel.

Es gilt auch die umgekehrte Aussage: Jeder Funktor, der durch einen CW-Komplex repräsentiert wird, erfüllt die beiden obigen Eigenschaften. Diese Richtung ist eine unmittelbare Konsequenz der grundlegenden Kategorientheorie, daher ist der tiefere und interessantere Teil der Äquivalenz die andere Implikation.

Es kann gezeigt werden, dass das obige darstellende Objekt C funktional von F abhängt: Jede natürliche Transformation von F in einen anderen Funktor, die die Bedingungen des Theorems erfüllt, induziert notwendigerweise eine Abbildung der darstellenden Objekte. Dies ist eine Folge des Lemmas von Yoneda.

Unter F ( X ), die seinen singuläre cohomology Gruppe H ⁱ ( X, A ) mit Koeffizienten in einer gegebenen abelschen Gruppe A, für die festen i gt; 0; dann ist der darstellende Raum für F der Eilenberg-MacLane-Raum K ( A, i ). Dies gibt eine Möglichkeit, die Existenz von Eilenberg-MacLane-Räumen zu zeigen.

Varianten

Da die Homotopiekategorie von CW-Komplexen äquivalent zur Lokalisierung der Kategorie aller topologischen Räume an den schwachen Homotopieäquivalenzen ist, kann der Satz äquivalent für Funktoren auf eine so definierte Kategorie aufgestellt werden.

Der Satz ist jedoch ohne die Beschränkung auf zusammenhängende punktuelle Räume falsch, und eine analoge Aussage für nicht punktierte Räume ist ebenfalls falsch.

Eine ähnliche Aussage gilt jedoch für Spektren anstelle von CW-Komplexen. Brown bewies auch eine allgemeine kategoriale Version des Darstellbarkeitssatzes, die sowohl die Version für spitze zusammenhängende CW-Komplexe als auch die Version für Spektren umfasst.

Eine Version des Darstellbarkeitssatzes bei triangulierten Kategorien geht auf Amnon Neeman zurück. Zusammen mit der vorhergehenden Bemerkung gibt sie ein Kriterium für einen (kovarianten) Funktor F: C → D zwischen triangulierten Kategorien, die bestimmte technische Bedingungen erfüllen, um einen rechtsadjungierten Funktor zu haben. Wenn nämlich C und D triangulierte Kategorien sind, wobei C kompakt erzeugt ist und F ein triangulierter Funktor ist, der mit beliebigen direkten Summen kommutiert, dann ist F ein linksadjungierter. Neeman hat dies angewendet, um den Grothendieck-Dualitätssatz in der algebraischen Geometrie zu beweisen.

Jacob Lurie hat eine Version des Brown-Darstellungssatzes für die Homotopiekategorie einer spitzen Quasikategorie mit einer kompakten Menge von Generatoren bewiesen, die Cogruppenobjekte in der Homotopiekategorie sind. Dies gilt beispielsweise für die Homotopiekategorie spitz zusammenhängender CW-Komplexe sowie für die unbeschränkte abgeleitete Kategorie einer Grothendieck-abelschen Kategorie (in Anbetracht von Luries höher-kategorialer Verfeinerung der abgeleiteten Kategorie).

Verweise