Kugel (Mathematik)

Im euklidischen Raum ist eine Kugel das von einer Kugel begrenzte Volumen

In der Mathematik ist eine Kugel der von einer Kugel begrenzte Volumenraum ; es wird auch eine feste Kugel genannt. Es kann eine geschlossene Kugel (einschließlich der Grenzpunkte, die die Kugel bilden) oder eine offene Kugel (ohne sie) sein.

Diese Konzepte sind nicht nur im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert, sondern auch für niedrigere und höhere Dimensionen und für metrische Räume im Allgemeinen. Eine Kugel oder Hyperkugel in n Dimensionen heißt n- Kugel und wird von einer ( n − 1 )-Kugel begrenzt. So ist zum Beispiel eine Kugel in der euklidischen Ebene dasselbe wie eine Scheibe, die von einem Kreis begrenzte Fläche. Im euklidischen 3-Raum wird eine Kugel als das von einer 2-dimensionalen Kugel begrenzte Volumen angenommen. In einem eindimensionalen Raum ist eine Kugel ein Liniensegment.

In anderen Kontexten, wie in der euklidischen Geometrie und im informellen Gebrauch, wird Kugel manchmal verwendet, um Kugel zu bedeuten.

Inhalt

• 1 Im euklidischen Raum
  • 1.1 Lautstärke
• 2 In allgemeinen metrischen Räumen
• 3 In normierten Vektorräumen
  • 3.1 p- Norm
  • 3.2 Allgemeine konvexe Norm
• 4 In topologischen Räumen
• 5 Regionen
• 6 Siehe auch
• 7 Referenzen

Im euklidischen Raum

Im euklidischen n- Raum ist eine (offene) n- Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x die Menge aller Punkte, die kleiner als r von x entfernt sind. Eine geschlossene n- Kugel mit Radius r ist die Menge aller Punkte, die kleiner oder gleich r von x entfernt sind.

Im euklidischen n- Raum ist jede Kugel von einer Hypersphäre begrenzt. Die Kugel ist ein beschränktes Intervall, wenn n = 1 ist, a Scheibe durch einen begrenzten Kreis, wenn n = 2, und wird begrenzt durch eine Kugel, wenn n = 3.

Volumen

Hauptartikel: Volumen einer n -Kugel

Das n- dimensionale Volumen einer euklidischen Kugel vom Radius R im n- dimensionalen euklidischen Raum ist:

$$ V n(R)= π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n, {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac{n}{2}}+1\right) }}R^{n},}

wobei  Γ ist Leonhard Euler ‚s Gamma - Funktion (die als eine Verlängerung der werden kann gedacht faktorielle Funktion fraktioniert Argumente). Die Verwendung expliziter Formeln für bestimmte Werte der Gammafunktion bei den ganzen Zahlen und halben Zahlen ergibt Formeln für das Volumen einer euklidischen Kugel, die keine Auswertung der Gammafunktion erfordern. Diese sind:

$$ V 2 k ( R ) = π k k ! R 2 k , V 2 k + 1 ( R ) = 2 k + 1 π k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 . {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}V_{2k}(R)amp;={\frac {\pi^{k}}{k!}}R^{2k}\,\\[2pt]V_{2k +1}(R)amp;={\frac {2^{k+1}\pi^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2( k!)(4\pi)^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\,.\end{ausgerichtet}}}

In der Formel für ungeraddimensionale Volumina ist die Doppelfakultät (2 k + 1)!! ist für ungerade ganze Zahlen 2 k + 1 definiert als (2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1).

In allgemeinen metrischen Räumen

Sei ( M, d ) ein metrischer Raum, nämlich eine Menge M mit einer Metrik (Abstandsfunktion) d. Die offene (metrische) Kugel mit Radius r gt; 0 zentriert an einem Punkt p in M, normalerweise mit B r ( p ) oder B ( p ; r ) bezeichnet, ist definiert durch

$$ B R(P)={x∈m|D(x,P)lt;R}, {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)lt;r\},}

Die geschlossene (metrische) Kugel, die mit B r [ p ] oder B [ p ; r ], ist definiert durch

$$ B R[P]={x∈m|D(x,P)≤R}. {\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}

Beachten Sie insbesondere, dass eine Kugel (offen oder geschlossen) immer p selbst enthält, da die Definition r gt; 0 erfordert.

Der Verschluss der offenen Kugel B r ( p ) wird üblicherweise mit B r ( p ) bezeichnet. Zwar ist es immer der Fall, daß B r ( p ) ⊆ B r ( p ) ⊆ B r [ p ], ist es nicht immer der Fall, daß B r ( p ) = B r [ p ]. Zum Beispiel in einem metrischen Raum X mit dem diskreten Metrik hat man B 1 ( p ) = {p} und B 1 [ p ] = X, für jeden p ∈ X.

Eine Einheitskugel (offen oder geschlossen) ist eine Kugel mit Radius 1.

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist beschränkt, wenn sie in einer Kugel enthalten ist. Eine Menge ist total beschränkt, wenn sie bei einem gegebenen positiven Radius von endlich vielen Kugeln dieses Radius bedeckt ist.

Die offenen Kugeln eines metrischen Raums können als Basis dienen, was diesem Raum eine Topologie verleiht, deren offene Mengen alle möglichen Vereinigungen offener Kugeln sind. Diese Topologie auf einem metrischen Raum wird die durch die Metrik d induzierte Topologie genannt.

In normierten Vektorräumen

Jeder normierter Vektorraum V mit der Norm ist auch ein metrischer Raum mit der Metrik in solchen Räumen, eine beliebige Kugel von Punkten um einen Punkt mit einem Abstand von weniger als als eine skalierte (durch betrachtet werden ) und translatiert (by ) Kopie eines Einheitskugel Solche "zentrierten" Kugeln mit werden mit. bezeichnet$$

Ich⋅Ich {\displaystyle \|\cdot \|}$$D(x,ja)=Ichx−jaIch. {\displaystyle d(x,y)=\|xy\|.}$$ B R(ja) {\displaystyle B_{r}(y)}$$x {\displaystyle x}$$ja {\displaystyle y}$$R {\displaystyle r}$$R {\displaystyle r}$$ja {\displaystyle y} $$ B 1(0). {\displaystyle B_{1}(0).}$$ja=0 {\displaystyle y=0}$$B(R). {\displaystyle B(r).}

Die zuvor besprochenen euklidischen Kugeln sind ein Beispiel für Kugeln in einem normierten Vektorraum.

p -norm

In einem kartesischen Raum ℝ ⁿ mit der p -Norm L p, also

$$ Ich x Ich P= ( | x 1 | P + | x 2 | P + ⋯ + | x n | P ) 1 / P, {\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n} |^{p}\right)^{1/p},}

eine offene Kugel um den Ursprung mit Radius ist gegeben durch die Menge $$

R {\displaystyle r}

$$B(R)= { x ∈ R n : Ich x Ich P = ( | x 1 | P + | x 2 | P + ⋯ + | x n | P ) 1 / P lt; R }. {\displaystyle B(r)=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}| ^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}lt;r\right\}.}

Für n = 2, in einer 2-dimensionalen Ebene, „Kugeln“ entsprechend die L 1 -Norm (oft die angerufene taxicab oder Manhattan ist durch Quadrate mit ihrem begrenzten metric) Diagonalen parallel zu den Koordinatenachsen; solche nach der L ∞ -Norm, auch Tschebyschew- Metrik genannt, haben Quadrate, deren Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, als Begrenzung. Die L 2 -Norm, bekannt als euklidische Metrik, erzeugt die wohlbekannten Scheiben innerhalb von Kreisen, und für andere Werte von p sind die entsprechenden Kugeln Flächen, die durch Lamé-Kurven (Hypoellipsen oder Hyperellipsen) begrenzt sind. $$

R 2 {\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}

Für n = 3 liegen die L 1 -Kugeln innerhalb von Oktaedern mit achsenausgerichteten Körperdiagonalen, die L ∞ -Kugeln innerhalb von Würfeln mit achsenausgerichteten Kanten und die Begrenzungen von Kugeln für L p mit p gt; 2 sind Superellipsoide. Offensichtlich erzeugt p = 2 die innere der üblichen Sphären.

Allgemeine konvexe Norm

Weitere, in der Regel jeden gegebene zentralsymmetrische, begrenzt ist, offen, und konvexe Teilmenge X von r ⁿ, kann man eine definieren Norm auf r ⁿ, wo die Kugeln alle übersetzt und gleichmäßig skalierten Kopien von  X. Beachten Sie, dass dieser Satz nicht gilt, wenn "offene" Teilmenge durch "geschlossene" Teilmenge ersetzt wird, da der Ursprungspunkt zwar qualifiziert, aber keine Norm auf  ℝ ^{n definiert}.

In topologischen Räumen

Man kann von Kugeln in jedem topologischen Raum X sprechen, der nicht unbedingt durch eine Metrik induziert wird. An (offen oder geschlossen) n -dimensionalen topologischen Kugel von X ist eine beliebige Teilmenge von X, das ist homeomorphic zu einem (offen oder geschlossen) euklidischen n -Kugel. Topologische n- Kugeln sind in der kombinatorischen Topologie als Bausteine ​​von Zellkomplexen wichtig.

Jede offene topologische n- Kugel ist homöomorph zum kartesischen Raum ℝ ⁿ und zur offenen Einheit n- Würfel (Hyperwürfel) (0, 1) ⁿ ⊆ ℝ ⁿ. Jede geschlossene topologische n- Kugel ist homöomorph zum geschlossenen n- Würfel [0, 1] ⁿ.

Eine n- Kugel ist genau dann homöomorph zu einer m- Kugel, wenn n = m ist. Die Homöomorphismen zwischen einer offenen n- Kugel B und ℝ ⁿ lassen sich in zwei Klassen einteilen, die mit den beiden möglichen topologischen Orientierungen von  B identifiziert werden können.

Eine topologische n- Kugel muss nicht glatt sein ; wenn sie glatt ist, braucht sie nicht zu einer euklidischen n- Kugel diffeomorph zu sein.

Regionen

Für einen Ball können mehrere spezielle Regionen definiert werden:

• Kappe, begrenzt durch eine Ebene
• Sektor, begrenzt durch eine konische Grenze mit Scheitelpunkt in der Mitte der Kugel
• Segment, begrenzt durch ein Paar paralleler Ebenen
• Schale, begrenzt durch zwei konzentrische Kugeln mit unterschiedlichen Radien
• Keil, begrenzt durch zwei Ebenen, die durch einen Kugelmittelpunkt und die Oberfläche der Kugel verlaufen

Siehe auch

• Ball – gewöhnliche Bedeutung
• Diskette (Mathematik)
• Formale Kugel, eine Erweiterung negativer Radien
• Nachbarschaft (Mathematik)
• 3-Kugel
• n -Sphäre oder Hypersphäre
• Alexander gehörnte Kugel
• Verteiler
• Volumen einer n -Kugel
• Oktaeder – ein 3-Ball in der l 1- Metrik.

Verweise

• Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "Wie klein ist eine Einheitskugel?". Mathematik-Magazin. 62 (2): 101-107. doi : 10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR   2690391.
• Dowker, JS (1996). „Robin Bedingungen auf dem euklidischen Ball“. Klassische und Quantengravitation. 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042. Bibcode : 1996CQGra..13..585D. doi : 10.1088/0264-9381/13/4/003.
• Gruber, Peter M. (1982). „Isometrien des Raums konvexer Körper, die in einer euklidischen Kugel enthalten sind“. Israelische Zeitschrift für Mathematik. 42 (4): 277–283. doi : 10.1007/BF02761407.