Drehimpuls

Drehimpuls
Dieser Kreisel bleibt während der Drehung aufrecht, da sein Drehimpuls erhalten bleibt.
Gemeinsame Symbole	L
In SI-Basiseinheiten	kg m 2 s -1
Konserviert ?	Jawohl
Ableitungen von anderen Mengen	L = I ω = r × p
Abmessungen	M L 2T -1

Teil einer Serie über
Klassische Mechanik
$$F=DDT(mv) {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})} Zweites Bewegungsgesetz
Geschichte Zeitleiste Lehrbücher
Geäst Angewandt Himmlisch Kontinuum Dynamik Kinematik Kinetik Statik Statistisch
Grundlagen Beschleunigung Drehimpuls Paar Das Prinzip von D'Alembert Energie kinetisch Potenzial Macht Bezugsrahmen Trägheitsbezugssystem Impuls Trägheit  / Trägheitsmoment Masse Mechanische Kraft Mechanische Arbeit Moment Schwung Platz Geschwindigkeit Zeit Drehmoment Geschwindigkeit Virtuelle Arbeit
Formulierungen Newtons Bewegungsgesetze Analytische Mechanik Lagrangesche Mechanik Hamiltonsche Mechanik Routhsche Mechanik Hamilton-Jacobi-Gleichung Appells Bewegungsgleichung Koopman–von Neumann Mechanik
Kernthemen Dämpfungsverhältnis Verschiebung Bewegungsgleichungen Bewegungsgesetze von Euler Fiktive Kraft Reibung Harmonischer Oszillator Trägheits-  / Nicht-Trägheitsbezugssystem Mechanik der planaren Teilchenbewegung Bewegung  ( linear ) Newtons Gesetz der universellen Gravitation Newtons Bewegungsgesetze Relative Geschwindigkeit Starrer Körper Dynamik Eulersche Gleichungen Einfache harmonische Bewegung Vibration
Drehung Kreisbewegung Rotierender Referenzrahmen Zentripetalkraft Zentrifugalkraft reaktiv Corioliskraft Pendel Tangentialgeschwindigkeit Drehzahl Winkelbeschleunigung  / Weg  / Frequenz  / Geschwindigkeit
Wissenschaftler Kepler Galilei Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Klaraut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Physikportal   Kategorie
v T e

In der Physik ist der Drehimpuls (selten Impulsmoment oder Drehimpuls) das Rotationsäquivalent des Linearimpulses. Es ist eine wichtige Größe in der Physik, weil es eine Erhaltungsgröße ist – der Gesamtdrehimpuls eines geschlossenen Systems bleibt konstant.

In drei Dimensionen ist der Drehimpuls für ein Punktteilchen ein Pseudovektor r × p, das Kreuzprodukt des Ortsvektors r des Teilchens (bezogen auf einen Ursprung) und seines Impulsvektors ; letzteres ist p = m v in der Newtonschen Mechanik. Im Gegensatz zum Impuls hängt der Drehimpuls davon ab, wo der Ursprung gewählt wird, da die Position des Teilchens von diesem aus gemessen wird.

Wie bei der Winkelgeschwindigkeit gibt es zwei spezielle Arten des Drehimpulses eines Objekts: Der Spindrehimpuls ist der Drehimpuls um den Massenmittelpunkt des Objekts, während der Bahndrehimpuls der Drehimpuls um einen gewählten Drehpunkt ist. Der Gesamtdrehimpuls ist die Summe aus Spin- und Bahndrehimpuls. Der Bahndrehimpulsvektor eines Punkt Teilchens ist immer parallel und direkt proportional zu seinem orbitalen Winkelgeschwindigkeitsvektors ω, wobei die Proportionalitätskonstante sowohl von der Masse des Teilchens und seinem Abstand vom Ursprung. Der Spin-Drehimpulsvektor eines starren Körpers ist proportional, aber nicht immer parallel zum Spin-Winkelgeschwindigkeitsvektor Ω, was die Proportionalitätskonstante eher zu einem Tensor zweiten Ranges als zu einem Skalar macht.

Drehimpuls ist eine umfangreiche Größe; dh der Gesamtdrehimpuls eines zusammengesetzten Systems ist die Summe der Drehimpulse seiner Bestandteile. Für einen kontinuierlichen starren Körper oder eine Flüssigkeit ist der Gesamtdrehimpuls das Volumenintegral der Drehimpulsdichte (dh Drehimpuls pro Volumeneinheit im Grenzfall, wenn das Volumen auf Null schrumpft) über den gesamten Körper.

Das Drehmoment kann analog zur Kraft als Änderungsrate des Drehimpulses definiert werden. Das externe Nettodrehmoment eines Systems ist immer gleich dem Gesamtdrehmoment des Systems; mit anderen Worten, die Summe aller internen Drehmomente eines Systems ist immer 0 (dies ist das Rotationsanalogon des dritten Newtonschen Gesetzes ). Daher muss für ein geschlossenes System (bei dem kein externes Nettodrehmoment vorhanden ist) das Gesamtdrehmoment des Systems 0 sein, was bedeutet, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant ist. Die Erhaltung des Drehimpulses hilft, viele beobachtete Phänomene zu erklären, zum Beispiel die Zunahme der Rotationsgeschwindigkeit eines sich drehenden Eiskunstläufers, wenn die Arme des Skaters zusammengezogen werden, die hohen Rotationsraten von Neutronensternen, den Coriolis-Effekt und die Präzession von Gyroskopen. Im Allgemeinen begrenzt die Erhaltung die mögliche Bewegung eines Systems, bestimmt sie jedoch nicht eindeutig.

In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls (wie andere Größen) als Operator ausgedrückt, und seine eindimensionalen Projektionen haben quantisierte Eigenwerte. Der Drehimpuls unterliegt der Heisenbergschen Unschärferelation, was bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt nur eine Projektion (auch "Komponente" genannt) mit bestimmter Genauigkeit gemessen werden kann; die anderen beiden bleiben dann ungewiss. Aus diesem Grund ist die Rotationsachse eines Quantenteilchens undefiniert. Quantenteilchen tun besitzt eine Art von nicht-Bahndrehimpuls als „Spin“, aber dieser Drehimpuls entspricht nicht eine Drehbewegung.

Inhalt

• 1 Definition in der klassischen Mechanik
  • 1.1 Bahndrehimpuls in zwei Dimensionen
  • 1.2 Skalar – Drehimpuls aus der Lagrange-Mechanik
  • 1.3 Bahndrehimpuls in drei Dimensionen
  • 1.4 Bahndrehimpuls in vier oder mehr Dimensionen
• 2 Analogie zum Linearimpuls
  • 2.1 Drehimpuls und Drehmoment
• 3 Drehimpulserhaltung
  • 3.1 Allgemeine Überlegungen
  • 3.2 Beziehung zum zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz
  • 3.3 Im Lagrange-Formalismus
  • 3.4 Im Hamiltonschen Formalismus
• 4 Drehimpuls in der Bahnmechanik
• 5 Festkörper
  • 5.1 Sammlung von Partikeln
    • 5.1.1 Einzelpartikel-Fall
    • 5.1.2 Fall eines festen Massenschwerpunkts
• 6 Drehimpuls in der Allgemeinen Relativitätstheorie
• 7 Drehimpuls in der Quantenmechanik
  • 7.1 Spin, Bahn und Gesamtdrehimpuls
  • 7.2 Quantisierung
  • 7.3 Unsicherheit
  • 7.4 Gesamtdrehimpuls als Drehgeber
• 8 Drehimpuls in der Elektrodynamik
• 9 Drehimpuls in der Optik
• 10 Geschichte
  • 10.1 Das Gesetz der Flächen
    • 10.1.1 Ableitung von Newton
    • 10.1.2 Drehimpulserhaltung im Flächengesetz
  • 10.2 Nach Newton
• 11 Siehe auch
• 12 Fußnoten
• 13 Referenzen
• 14 Externe Links

Definition in der klassischen Mechanik

Hauptartikel: Skalar (Physik) und euklidischer Vektor

Bahndrehimpuls in zwei Dimensionen

Geschwindigkeit des Teilchens m in Bezug auf den Ursprung O kann in Komponenten parallel zu (gelöst wird v ∥) und senkrecht zum ( v ⊥) der Radiusvektor r. Der Drehimpuls von m ist proportional zur senkrechten Komponente v ⊥ der Geschwindigkeit oder äquivalent zum senkrechten Abstand r ⊥ vom Ursprung.

Drehimpuls ist eine Vektorgröße (genauer gesagt ein Pseudovektor ), die das Produkt der Rotationsträgheit eines Körpers und der Rotationsgeschwindigkeit (in Radiant/s) um eine bestimmte Achse darstellt. Wenn die Flugbahn des Teilchens jedoch in einer einzigen Ebene liegt, reicht es aus, die Vektornatur des Drehimpulses zu verwerfen und ihn als Skalar (genauer gesagt als Pseudoskalar ) zu behandeln. Der Drehimpuls kann als Rotationsanalogon des Linearimpulses angesehen werden. Wenn also der lineare Impuls p proportional zur Masse m und der linearen Geschwindigkeit v ist,

$$P=mv, {\displaystyle p=mv,}

Der Drehimpuls L ist proportional zum Trägheitsmoment I und der Winkelgeschwindigkeit ω, gemessen in Radiant pro Sekunde.

$$L=ichω. {\displaystyle L=I\omega.}

Im Gegensatz zur Masse, die nur von der Materiemenge abhängt, hängt das Trägheitsmoment auch von der Lage der Rotationsachse und der Form der Materie ab. Im Gegensatz zur Lineargeschwindigkeit, die nicht von der Wahl des Ursprungs abhängt, wird die Umlaufwinkelgeschwindigkeit immer in Bezug auf einen festen Ursprung gemessen. Daher sollte L genau genommen als Drehimpuls relativ zu diesem Zentrum bezeichnet werden.

Denn für ein einzelnes Teilchen und für eine Kreisbewegung kann der Drehimpuls erweitert und reduziert werden auf$$

ich=R2m {\displaystyle I=r^{2}m}$$ω=vR {\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$$L=R2m⋅vR, {\displaystyle L=r^{2}m\cdot {\frac {v}{r}},}

$$L=Rmv, {\displaystyle L=rmv,}

das Produkt des Radius der Drehung r und der linearen Impulses des Teilchens, wobei in diesem Fall wird die äquivalente lineare (tangentiale) Geschwindigkeit am Radius ().$$

P=mv {\displaystyle p=mv}$$v {\displaystyle v} $$=Rω {\displaystyle =r\omega}

Diese einfache Analyse kann auch auf nicht kreisförmige Bewegungen angewendet werden, wenn nur die Komponente der Bewegung betrachtet wird, die senkrecht zum Radiusvektor steht. In diesem Fall,

$$L=Rmv⊥, {\displaystyle L=rmv_{\perp},}

wo ist die senkrechte Komponente der Bewegung. Das Erweitern, Umordnen und Verringern des Drehimpulses kann auch ausgedrückt werden,$$

v⊥=vSünde⁡(θ) {\displaystyle v_{\perp}=v\sin(\theta)}$$L=RmvSünde⁡(θ), {\displaystyle L=rmv\sin(\theta),}$$L=RSünde⁡(θ)mv, {\displaystyle L=r\sin(\theta)mv,}

$$L=R⊥mv, {\displaystyle L=r_{\perp}mv,}

wobei die Länge des Momentarms ist, eine Linie, die senkrecht vom Ursprung auf die Bahn des Teilchens fällt. Auf diese Definition (Länge des Momentenarms) × (linearer Impuls) bezieht sich der Begriff des Moments.$$

R⊥=RSünde⁡(θ) {\displaystyle r_{\perp}=r\sin(\theta)}

Skalar – Drehimpuls aus der Lagrange-Mechanik

Ein anderer Ansatz besteht darin, den Drehimpuls als den konjugierten Impuls (auch kanonischer Impuls genannt) der im Lagrange-Operator des mechanischen Systems ausgedrückten Winkelkoordinate zu definieren. Betrachten Sie ein mechanisches System mit einer Masse, die gezwungen ist, sich ohne äußeres Kraftfeld in einem Kreis mit einem Radius zu bewegen. Die kinetische Energie des Systems ist$$

φ {\displaystyle \phi} $$m {\displaystyle m}$$ein {\displaystyle a}

$$T=12mein2ω2=12mein2φ˙2. {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ma^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\phi}} ^{2}.}

Und die potentielle Energie ist

$$U=0. {\displaystyle U=0.}

Dann ist der Lagrangesche

$$L(φ,φ˙)=T−U=12mein2φ˙2. {\displaystyle {\mathcal{L}}\left(\phi,{\dot {\phi}}\right)=TU={\frac {1}{2}}ma^{2}{\dot {\ phi }}^{2}.}

Der verallgemeinerte Impuls "kanonisch konjugiert zu" der Koordinate ist definiert durch$$

φ {\displaystyle \phi}

$$Pφ=∂L∂φ˙=mein2φ˙=ichω=L. {\displaystyle p_{\phi}={\frac {\partial {\mathcal{L}}}{\partial {\dot {\phi}}}}=ma^{2}{\dot {\phi}} =I\omega =L.}

Bahndrehimpuls in drei Dimensionen

Beziehung zwischen Kraft ( F), Drehmoment ( τ), Impuls ( p) und Drehimpuls ( L) Vektoren in einem rotierenden System. r ist der Ortsvektor.

Um den Bahndrehimpuls in drei Dimensionen vollständig zu definieren, ist es erforderlich, die Geschwindigkeit, mit der der Positionsvektor den Winkel überstreicht, die Richtung senkrecht zur momentanen Winkelverschiebungsebene und die beteiligte Masse sowie die Verteilung dieser Masse zu kennen im Weltraum. Durch die Beibehaltung dieser vektoriellen Natur des Drehimpulses wird auch die allgemeine Natur der Gleichungen beibehalten und kann jede Art von dreidimensionaler Bewegung um das Rotationszentrum beschreiben – kreisförmig, linear oder anders. In Vektornotation kann der Bahndrehimpuls eines um den Ursprung bewegten Punktteilchens wie folgt ausgedrückt werden:

$$L=ichω, {\displaystyle\mathbf{L} =I{\boldsymbol {\omega}},}

wo

• $$ich=R2m {\displaystyle I=r^{2}m}ist das Trägheitsmoment für eine Punktmasse,
• $$ω=R×vR2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}} ist die orbitale Winkelgeschwindigkeit in rad / s (Einheiten 1 / sec) des Partikels über die Herkunft,
• $$R {\displaystyle\mathbf{r}}ist der Ortsvektor des Partikels relativ zum Ursprung,,$$R=|R| {\displaystyle r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert }
• $$v {\displaystyle\mathbf{v}}die Lineargeschwindigkeit des Teilchens relativ zum Ursprung ist und
• $$m {\displaystyle m}ist die Masse des Teilchens.

Diese kann erweitert, reduziert und nach den Regeln der Vektoralgebra neu angeordnet werden:

$$L=(R2m)(R×vR2)=m(R×v)=R×mv=R×P, {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r ^{2}}}\right)\\amp;=m\left(\mathbf {r} \mal \mathbf {v} \right)\\amp;=\mathbf {r} \mal m\mathbf {v}\ \amp;=\mathbf {r} \times \mathbf {p},\end{ausgerichtet}}}

das ist das Kreuzprodukt des Ortsvektors und des linearen Impulses des Teilchens. Nach der Definition des Kreuzprodukts steht der Vektor senkrecht zu beiden und. Sie ist senkrecht zur Winkelverschiebungsebene gerichtet, wie durch die Rechte-Hand-Regel angezeigt – so dass die Winkelgeschwindigkeit vom Kopf des Vektors aus gegen den Uhrzeigersinn gesehen wird. Umgekehrt definiert der Vektor die Ebene, in der und liegen.$$

R {\displaystyle\mathbf{r}}$$P=mv {\displaystyle\mathbf{p} =m\mathbf{v}}$$L {\displaystyle\mathbf{L}} $$R {\displaystyle\mathbf{r}}$$P {\displaystyle\mathbf{p}} $$L {\displaystyle\mathbf{L}} $$R {\displaystyle\mathbf{r}}$$P {\displaystyle\mathbf{p}}

Durch Definieren eines Einheitsvektors senkrecht zur Winkelverschiebungsebene ergibt sich eine skalare Winkelgeschwindigkeit, wobei$$

du^ {\displaystyle\mathbf{\hat{u}}} $$ω {\displaystyle \omega}

$$ωdu^=ω, {\displaystyle \omega\mathbf{\hat{u}} ={\boldsymbol {\omega}},} und

$$ω=v⊥R, {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp}}{r}},}wo ist die senkrechte Komponente der Bewegung, wie oben.$$v⊥ {\displaystyle v_{\perp}}

Den zweidimensionalen Skalargleichungen des vorherigen Abschnitts kann somit eine Richtung gegeben werden:

$$L=ichω=ichωdu^=(R2m)ωdu^=Rmv⊥du^=R⊥mvdu^, {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=I{\boldsymbol {\omega}}\\amp;=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\amp;=\left(r^ {2}m\right)\omega \mathbf {\hat{u}} \\amp;=rmv_{\perp}\mathbf {\hat{u}} \\amp;=r_{\perp}mv\mathbf {\ Hut {u}},\end{ausgerichtet}}}

und für Kreisbewegungen, bei denen die gesamte Bewegung senkrecht zum Radius ist.$$

L=Rmvdu^ {\displaystyle\mathbf{L} =rmv\mathbf{\hat{u}}}$$R {\displaystyle r}

Im Kugelkoordinatensystem drückt sich der Drehimpulsvektor aus als

$$L=mR×v=mR2(θ˙φ^−φ˙Sünde⁡θθ^). {\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta}}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot{\varphi}}\sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol{\theta}}}\right).}

Bahndrehimpuls in vier oder mehr Dimensionen

Drehimpulse in höheren Dimensionen können durch Anwendung des Noetherschen Theorems auf Rotationsgruppen höherer Ordnung definiert werden. Eine Verallgemeinerung über drei Dimensionen hinaus wird am besten mit Differentialformen behandelt.

Analogie zum Linearimpuls

Der Drehimpuls kann als das Rotationsanalogon des Linearimpulses beschrieben werden. Wie der lineare Impuls enthält er Elemente der Masse und der Verschiebung. Im Gegensatz zum linearen Impuls beinhaltet er auch Elemente der Lage und der Form.

Bei vielen Problemen in der Physik bewegt sich Materie um einen bestimmten Punkt im Raum, sei es in einer tatsächlichen Rotation um ihn oder einfach an ihm vorbeibewegt, wobei man wissen möchte, welche Wirkung die bewegte Materie auf den Punkt hat – kann sie Energie auf ihn ausüben? es oder arbeiten daran? Energie, die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten, kann in Materie gespeichert werden, indem sie in Bewegung gesetzt wird – eine Kombination aus ihrer Trägheit und ihrer Verschiebung. Trägheit wird durch seine Masse und Verschiebung durch seine Geschwindigkeit gemessen. Ihr Produkt,

$$(Menge an Trägheit)×(Betrag der Verschiebung)=Betrag von (Trägheitsverschiebung)Masse×Geschwindigkeit=Schwungm×v=P {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}({\text{Betrag der Trägheit}})\times ({\text{Betrag der Verschiebung}})amp;={\text{Betrag der (Trägheit⋅Verschiebung)}}\\ {\text{Masse}}\times {\text{Geschwindigkeit}}amp;={\text{Momentum}}\\m\times vamp;=p\\\end{ausgerichtet}}}

ist der Schwung der Sache. Diesen Impuls auf einen zentralen Punkt zu beziehen, führt zu einer Komplikation: Der Impuls wird nicht direkt auf den Punkt übertragen. Zum Beispiel befindet sich ein Materieteilchen am äußeren Rand eines Rades praktisch am Ende eines Hebels von der gleichen Länge wie der Radius des Rades, dessen Impuls den Hebel um den Mittelpunkt dreht. Dieser imaginäre Hebel wird als Momentenarm bezeichnet. Es hat den Effekt, dass die Kraftanstrengung des Impulses proportional zu seiner Länge multipliziert wird, ein Effekt, der als Moment bekannt ist. Daher bezieht sich der Impuls des Teilchens auf einen bestimmten Punkt,

$$(Momentarm)×(Menge an Trägheit)×(Betrag der Verschiebung)=Moment der (TrägheitsVerschiebung)Länge×Masse×Geschwindigkeit=Moment der DynamikR×m×v=L {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}({\text{Momentarm}})\times ({\text{Betrag der Trägheit}})\times ({\text{Betrag der Verschiebung}})amp;={\text {Moment der (Trägheit⋅Verschiebung)}}\\{\text{Länge}}\times {\text{Masse}}\times {\text{Geschwindigkeit}}amp;={\text{Impulsmoment}}\\ r\mal m\mal vamp;=L\\\end{ausgerichtet}}}

ist der Drehimpuls, manchmal wie hier als Impulsmoment des Teilchens gegenüber diesem bestimmten Mittelpunkt bezeichnet. Die Gleichung kombiniert einen Moment (ein Massenwende Momentenarm) mit einer linearen (geradliniger Äquivalent) Geschwindigkeit. Die lineare Geschwindigkeit bezogen auf den Mittelpunkt ist einfach das Produkt aus der Entfernung und der Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem Punkt: ein weiteres Moment. Daher enthält der Drehimpuls ein doppeltes Moment: Leicht vereinfacht ist die Größe das Trägheitsmoment des Teilchens, manchmal auch zweites Massenmoment genannt. Es ist ein Maß für die Rotationsträgheit.$$

L=Rmv {\displaystyle L=rmv}$$m {\displaystyle m}$$R {\displaystyle r}$$v {\displaystyle v}$$R {\displaystyle r}$$ω {\displaystyle \omega}$$v=Rω, {\displaystyle v=r\omega,}$$L=RmRω. {\displaystyle L=rmr\omega.}$$L=R2mω, {\displaystyle L=r^{2}m\omega,}$$R2m {\displaystyle r^{2}m}

Das Trägheitsmoment (hier dargestellt) und damit der Drehimpuls ist für jede mögliche Konfiguration von Masse und Rotationsachse unterschiedlich.

Da das Trägheitsmoment ein entscheidender Teil des Spindrehimpulses ist, beinhaltet letzteres notwendigerweise alle Komplikationen des ersteren, das durch Multiplikation elementarer Teile der Masse mit den Quadraten ihrer Abstände vom Rotationszentrum berechnet wird. Daher ist das Gesamtträgheitsmoment und der Drehimpuls eine komplexe Funktion der Konfiguration der Materie um das Rotationszentrum und der Orientierung der Rotation für die verschiedenen Bits.

Bei einem starren Körper, zum Beispiel einem Rad oder einem Asteroiden, ist die Rotationsrichtung einfach die Position der Rotationsachse gegenüber der Materie des Körpers. Es kann durch den Massenmittelpunkt gehen oder nicht, oder es kann vollständig außerhalb des Körpers liegen. Bei demselben Körper kann der Drehimpuls für jede mögliche Achse, um die eine Drehung erfolgen kann, einen anderen Wert annehmen. Sie erreicht ein Minimum, wenn die Achse durch den Massenmittelpunkt geht.

Für eine Sammlung von Objekten, die sich um ein Zentrum drehen, zum Beispiel alle Körper des Sonnensystems, können die Orientierungen etwas organisiert sein, ebenso wie das Sonnensystem, wobei die meisten Körperachsen nahe an der Achse des Systems liegen. Ihre Orientierungen können auch völlig zufällig sein.

Kurz gesagt, je mehr Masse und je weiter es vom Rotationszentrum entfernt ist (je länger der Momentarm ), desto größer ist das Trägheitsmoment und daher desto größer der Drehimpuls für eine gegebene Winkelgeschwindigkeit. In vielen Fällen lässt sich das Trägheitsmoment und damit der Drehimpuls vereinfachen durch

$$ich=k2m, {\displaystyle I=k^{2}m,}

wo die ist Gyrationsradius, die gesamte Masse, bei der der Abstand von der Achse kann in Betracht gezogen werden, wie konzentriert.$$k {\displaystyle k} $$m {\displaystyle m}

Ähnlich ist für eine Punktmasse das Trägheitsmoment definiert als$$

m {\displaystyle m}

$$ich=R2m {\displaystyle I=r^{2}m}

wo ist der Radius der Punktmasse vom Rotationszentrum,$$R {\displaystyle r}

und für jede Ansammlung von Teilchen als Summe,$$

mich {\displaystyle m_{i}}

$$Σichichich=ΣichRich2mich {\displaystyle \sum_{i}I_{i}=\sum_{i}r_{i}^{2}m_{i}}

Die Orts- und Formabhängigkeit des Drehimpulses spiegelt sich in seinen Einheiten gegenüber dem linearen Impuls wider: kg⋅m ² /s, N⋅m⋅s oder J⋅s für den Drehimpuls gegenüber kg⋅m/s oder N⋅s für den linearen Impuls. Bei der Berechnung des Drehimpulses als Produkt aus Trägheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit muss die Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß pro Sekunde angegeben werden, wobei das Bogenmaß den dimensionslosen Wert Eins annimmt. (Bei der Durchführung von Dimensionsanalysen kann es produktiv sein, eine Orientierungsanalyse zu verwenden, die das Bogenmaß als Basiseinheit behandelt, aber dies liegt außerhalb des Geltungsbereichs des Internationalen Einheitensystems ). Die Einheiten des Drehimpulses können als Drehmoment Zeit oder als Energie⋅Zeit pro Winkel interpretiert werden. Ein Objekt mit Drehimpuls L N⋅m⋅s kann auf Null reduziert wird Rotation (alle von der Rotationsenergie davon übertragen werden können) um einen Winkelimpuls von L N⋅m⋅s oder äquivalent von Drehmoment oder Arbeit von L N⋅m für eine Sekunde oder Energie von L J für eine Sekunde.

Die Ebene senkrecht zur Drehimpulsachse und durch den Massenmittelpunkt wird manchmal als invariable Ebene bezeichnet, weil die Richtung der Achse fest bleibt, wenn nur die Wechselwirkungen der Körper innerhalb des Systems, frei von äußeren Einflüssen, betrachtet werden. Eine solche Ebene ist die unveränderliche Ebene des Sonnensystems.

Drehimpuls und Drehmoment

Siehe auch: Drehmoment § Definition und Bezug zum Drehimpuls

Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz kann mathematisch ausgedrückt werden:

$$F=mein, {\displaystyle\mathbf{F} =m\mathbf{a},}

oder Kraft = Masse × Beschleunigung. Das Rotationsäquivalent für Punktteilchen kann wie folgt abgeleitet werden:

$$L=ichω {\displaystyle \mathbf{L} =I{\boldsymbol {\omega}}}

das heißt, das Drehmoment (dh die zeitliche Ableitung des Drehimpulses) ist

$$τ=DichDTω+ichDωDT. {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega}}}{dt}}.}

Da das Trägheitsmoment gleich ist, folgt daraus, und das reduziert sich auf$$

mR2 {\displaystyle Herr^{2}}$$DichDT=2mRDRDT=2RP|| {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}}$$DLDT=ichDωDT+2RP||ω, {\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega}}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},}

$$τ=ichα+2RP||ω. {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=I{\boldsymbol {\alpha}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega}}.}

Dies ist das Rotationsanalogon des zweiten Newtonschen Gesetzes. Beachten Sie, dass das Drehmoment nicht unbedingt proportional oder parallel zur Winkelbeschleunigung ist (wie man erwarten könnte). Der Grund dafür ist, dass sich das Trägheitsmoment eines Teilchens mit der Zeit ändern kann, was bei gewöhnlicher Masse nicht vorkommen kann.

Erhaltung des Drehimpulses

Eine Eiskunstläuferin in einer Drehung nutzt die Erhaltung des Drehimpulses – eine Verringerung ihres Trägheitsmoments durch Einziehen ihrer Arme und Beine erhöht ihre Rotationsgeschwindigkeit.

Allgemeine Überlegungen

Ein rotatorisches Analogon von Newtons drittem Bewegungsgesetz könnte geschrieben werden: "In einem geschlossenen System kann kein Drehmoment auf irgendeine Materie ausgeübt werden, ohne dass auf eine andere Materie ein gleiches und entgegengesetztes Drehmoment ausgeübt wird." Somit kann der Drehimpuls zwischen Objekten in einem geschlossenen System ausgetauscht werden, aber der Gesamtdrehimpuls vor und nach einem Austausch bleibt konstant (wird erhalten).

Anders betrachtet könnte man ein Rotationsanalogon von Newtons erstem Bewegungsgesetz schreiben: "Ein starrer Körper bleibt in einem Zustand gleichförmiger Rotation, wenn er nicht durch einen äußeren Einfluss beeinflusst wird." Somit bleibt der ursprüngliche Drehimpuls des Systems ohne äußere Einwirkung konstant.

Die Drehimpulserhaltung wird bei der Analyse der Zentralkraftbewegung verwendet. Wenn die Nettokraft auf einen Körper immer auf einen Punkt gerichtet ist, das Zentrum, dann gibt es kein Drehmoment auf den Körper in Bezug auf das Zentrum, da die gesamte Kraft entlang des Radiusvektors gerichtet ist und keine senkrecht zum Radius ist. Mathematisch sind Drehmoment in diesem Fall und parallele Vektoren. Daher ist der Drehimpuls des Körpers um den Mittelpunkt konstant. Dies ist bei der Gravitationsanziehung in den Umlaufbahnen von Planeten und Satelliten der Fall, wo die Gravitationskraft immer auf den Primärkörper gerichtet ist und umlaufende Körper den Drehimpuls erhalten, indem sie Abstand und Geschwindigkeit austauschen, während sie sich um den Primärkörper bewegen. Zentralkraftbewegung wird auch bei der Analyse des verwendeten Bohr - Modells des Atoms. $$

τ=R×F=0, {\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0},}$$R {\displaystyle\mathbf{r}}$$F {\displaystyle\mathbf{F}}

Bei einem Planeten verteilt sich der Drehimpuls zwischen dem Spin des Planeten und seiner Umdrehung auf seiner Umlaufbahn, und diese werden oft durch verschiedene Mechanismen ausgetauscht. Die Erhaltung des Drehimpulses im System Erde-Mond führt zur Übertragung des Drehimpulses von der Erde auf den Mond aufgrund des Gezeitendrehmoments, das der Mond auf die Erde ausübt. Dies wiederum führt zu einer Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit der Erde um etwa 65,7 Nanosekunden pro Tag und zu einer allmählichen Vergrößerung des Radius der Mondbahn um etwa 3,82 Zentimeter pro Jahr.

Das durch die beiden gegenläufigen Kräfte F g und – F g verursachte Drehmoment bewirkt eine Änderung des Drehimpulses L in Richtung dieses Drehmoments (da Drehmoment die zeitliche Ableitung des Drehimpulses ist). Dies bewirkt, dass die oben auf Präzession.

Die Drehimpulserhaltung erklärt die Winkelbeschleunigung einer Schlittschuhläuferin, wenn sie ihre Arme und Beine in die Nähe der vertikalen Drehachse bringt. Indem sie einen Teil ihrer Körpermasse näher an die Achse bringt, verringert sie das Trägheitsmoment ihres Körpers. Da der Drehimpuls das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit ist, muss die Winkelgeschwindigkeit (Rotationsgeschwindigkeit) des Skaters zunehmen, wenn der Drehimpuls konstant bleibt (erhalten wird).

Das gleiche Phänomen führt zu einem extrem schnellen Spin kompakter Sterne (wie Weiße Zwerge, Neutronensterne und Schwarze Löcher ), wenn sie aus viel größeren und langsamer rotierenden Sternen gebildet werden. Eine n- fache Verkleinerung eines Objekts führt zu einer Erhöhung seiner Winkelgeschwindigkeit um den Faktor n ².

Konservierung ist nicht immer eine vollständige Erklärung für die Dynamik eines Systems, aber eine wesentliche Einschränkung. Zum Beispiel unterliegt ein Kreisel einem Gravitationsdrehmoment, wodurch er sich beugt und den Drehimpuls um die Nutationsachse ändert, aber unter Vernachlässigung der Reibung am Punkt des Drehkontakts hat er einen erhaltenen Drehimpuls um seine Drehachse und einen anderen um seine Drehachse Präzessionsachse. Außerdem können sich in jedem Planetensystem die Planeten, Sterne, Kometen und Asteroiden auf zahlreiche komplizierte Weisen bewegen, aber nur so, dass der Drehimpuls des Systems erhalten bleibt.

Der Satz von Noether besagt, dass jedes Erhaltungssatz mit einer Symmetrie (Invariante) der zugrunde liegenden Physik verbunden ist. Die mit der Drehimpulserhaltung verbundene Symmetrie ist die Rotationsinvarianz. Die Tatsache, dass die Physik eines Systems unverändert bleibt, wenn es um einen beliebigen Winkel um eine Achse gedreht wird, impliziert, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.

Beziehung zum zweiten Newtonschen Bewegungsgesetz

Während die Gesamterhaltung des Drehimpulses getrennt von den Newtonschen Bewegungsgesetzen als aus dem Noether-Theorem stammend in rotationssymmetrischen Systemen verstanden werden kann, kann sie auch einfach als eine effiziente Methode zur Berechnung von Ergebnissen verstanden werden, die ansonsten auch direkt aus Newtons Sekunden gewonnen werden können Gesetz, zusammen mit Gesetzen, die die Naturkräfte regeln (wie das dritte Newtonsche Gesetz, die Maxwell-Gleichungen und die Lorentzkraft ). Tatsächlich kann man bei gegebenen Anfangsbedingungen von Position und Geschwindigkeit für jeden Punkt und den Kräften bei einer solchen Bedingung das zweite Newtonsche Gesetz verwenden, um die zweite Ableitung der Position zu berechnen, und die Auflösung nach dieser gibt vollständige Informationen über die Entwicklung des physikalischen Systems mit Zeit. Beachten Sie jedoch, dass dies in der Quantenmechanik aufgrund der Existenz des Teilchenspins, eines Drehimpulses, der nicht durch den kumulativen Effekt punktförmiger Bewegungen im Raum beschrieben werden kann, nicht mehr gilt.

Betrachten Sie als Beispiel die Verringerung des Trägheitsmoments, zB wenn ein Eiskunstläufer seine Hände einzieht, wodurch die Kreisbewegung beschleunigt wird. Im Sinne der Drehimpulserhaltung gilt für den Drehimpuls L das Trägheitsmoment I und die Winkelgeschwindigkeit ω:

$$0=DL=D(ich⋅ω)=Dich⋅ω+ich⋅Dω {\displaystyle 0=dL=d(I\cdot\omega)=dI\cdot\omega +I\cdot d\omega }

Daraus sehen wir, dass die Veränderung eine Energie von:

$$DE=D(12ich⋅ω2)=12Dich⋅ω2+ich⋅ω⋅Dω=−12Dich⋅ω2 {\displaystyle dE=d\left({\frac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2 }+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}

so dass eine Verringerung des Trägheitsmoments Energieaufwand erfordert.

Dies kann mit der geleisteten Arbeit verglichen werden, die nach den Newtonschen Gesetzen berechnet wurde. Jeder Punkt im rotierenden Körper beschleunigt zu jedem Zeitpunkt mit einer radialen Beschleunigung von:

$$−R⋅ω2 {\displaystyle -r\cdot\omega ^{2}}

Betrachten wir einen Massepunkt m, dessen Lagevektor zum Bewegungszentrum zu einem gegebenen Zeitpunkt parallel zur z-Achse liegt und einen Abstand z hat. Die Zentripetalkraft an diesem Punkt unter Beibehaltung der Kreisbewegung beträgt:

$$−m⋅z⋅ω2 {\displaystyle -m\cdot z\cdot \omega ^{2}}

Die Arbeit, die erforderlich ist, um diesen Punkt in eine Entfernung dz weiter vom Bewegungszentrum zu bewegen, ist also:

$$DW=−m⋅z⋅ω2⋅Dz=−m⋅ω2⋅D(12z2) {\displaystyle dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\frac {1}{2}}z^ {2}\rechts)}

Für einen nicht punktförmigen Körper muss darüber integriert werden, wobei m durch die Massendichte pro Einheit z ersetzt wird. Das gibt:

$$DW=−12Dich⋅ω2 {\displaystyle dW=-{\frac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}}

das ist genau die Energie, die benötigt wird, um den Drehimpuls zu erhalten.

Beachten Sie, dass die obige Berechnung auch pro Masse durchgeführt werden kann, nur unter Verwendung der Kinematik. So kann das Phänomen, dass Eiskunstläufer beim Einziehen der Hände die Tangentialgeschwindigkeit beschleunigen, in Laiensprache wie folgt verstanden werden: Die Handflächen des Eiskunstläufers bewegen sich nicht geradlinig, sie beschleunigen also ständig nach innen, gewinnen aber keine zusätzliche Geschwindigkeit weil die Beschleunigung immer dann erfolgt, wenn ihre Bewegung nach innen null ist. Anders sieht es jedoch aus, wenn man die Handflächen näher an den Körper heranzieht: Die Beschleunigung durch Rotation erhöht nun die Geschwindigkeit; aber wegen der Rotation führt die Geschwindigkeitserhöhung nicht zu einer signifikanten Geschwindigkeit nach innen, sondern zu einer Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit.

Im Lagrange-Formalismus

In der Lagrangeschen Mechanik ist der Drehimpuls für die Drehung um eine gegebene Achse der konjugierte Impuls der verallgemeinerten Koordinate des Winkels um dieselbe Achse. Zum Beispiel ist der Drehimpuls um die z-Achse:$$

Lz {\displaystyle L_{z}}

$$Lz=∂L∂θ˙z {\displaystyle L_{z}={\frac {\partial {\cal{L}}}{\partial {\dot {\theta}}_{z}}}}

wo ist der Lagrange-Operator und der Winkel um die z-Achse.$$

L {\displaystyle {\cal{L}}}$$θz {\displaystyle \theta_{z}}

Beachten Sie, dass die zeitliche Ableitung des Winkels die Winkelgeschwindigkeit ist. Normalerweise hängt die Lagrange-Funktion von der Winkelgeschwindigkeit durch die kinetische Energie ab: Letztere kann geschrieben werden, indem man die Geschwindigkeit in ihren radialen und tangentialen Teil trennt, wobei der Tangentialteil in der xy-Ebene um die z-Achse gleich ist:$$

θ˙z {\displaystyle {\dot {\theta}}_{z}} $$ωz {\displaystyle \omega_{z}}

$$Σich12michvTich2=Σich12mich(xich2+jaich2)ωzich2 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1} {2}}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega_{z}}_{i}}^{2}}

wobei der Index i für den i-ten Körper steht und m, v T und ω z für Masse, Tangentialgeschwindigkeit um die z-Achse bzw. Winkelgeschwindigkeit um diese Achse stehen.

Für einen nicht punktförmigen Körper mit Dichte ρ gilt stattdessen:

$$12∫ρ(x,ja,z)(xich2+jaich2)ωzich2DxDja=12ichzichωzich2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){{\omega_{z }}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i }}^{2}}

wobei die Integration über die Körperfläche verläuft und I z das Trägheitsmoment um die z-Achse ist.

Unter der Annahme, dass die potentielle Energie nicht von ω z abhängt(diese Annahme kann für elektromagnetische Systeme versagen), haben wir den Drehimpuls des i-ten Objekts:

$$Lzich=∂L∂ωzich=∂Ek∂ωzich=ichzich⋅ωzich {\displaystyle {\begin{aligned}{L_{z}}_{i}amp;={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i }}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega_{z}}_{i}}}}\\amp;={I_{z}}_{i}\ cdot {\omega _{z}}_{i}\end{ausgerichtet}}}

Bisher haben wir jedes Objekt um einen eigenen Winkel gedreht; wir können auch einen Gesamtwinkel θ z definieren, um den wir das gesamte System drehen, also auch jedes Objekt um die z-Achse drehen, und haben den Gesamtdrehimpuls:

$$Lz=Σichichzich⋅ωzich {\displaystyle L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}}

Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen folgt dann:

$$0=∂L∂θzich−DDT(∂L∂θ˙zich)=∂L∂θzich−DLzichDT {\displaystyle 0={\frac {\partial {\cal{L}}}{\partial {{\theta_{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\ left({\frac {\partial {\cal{L}}}{\partial {{{\dot {\theta}}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\ partiell {\cal{L}}}{\partial {{\theta_{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}}

Da der Lagrange-Operator nur durch das Potential von den Winkeln des Objekts abhängt, haben wir:

$$DLzichDT=∂L∂θzich=−∂V∂θzich {\displaystyle {\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal{L}}}{\partial {{\theta_{z}} _{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta_{z}}_{i}}}}}

das ist das Drehmoment auf das i-te Objekt.

Angenommen, das System ist invariant gegenüber Drehungen, so dass das Potenzial unabhängig von einer Gesamtdrehung um den Winkel θ z ist (also kann es von den Winkeln von Objekten nur durch ihre Differenzen in der Form abhängen). Damit erhalten wir für den Gesamtdrehimpuls:$$

V(θzich,θzJ)=V(θzich−θzJ) {\displaystyle V({\theta_{z}}_{i},{\theta_{z}}_{j})=V({\theta_{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})}

$$DLzDT=−∂V∂θz=0 {\displaystyle {\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta_{z}}}}=0}

Damit bleibt der Drehimpuls um die z-Achse erhalten.

Diese Analyse kann für jede Achse separat wiederholt werden, um den Drehimpulsvektor zu erhalten. Die Winkel um die drei Achsen können jedoch nicht gleichzeitig als verallgemeinerte Koordinaten behandelt werden, da sie nicht unabhängig sind; insbesondere genügen zwei Winkel pro Punkt, um seine Position zu bestimmen. Zwar erfordert seine vollständige Beschreibung bei einem starren Körper neben drei translatorischen Freiheitsgraden auch die Angabe von drei rotatorischen Freiheitsgraden; diese können jedoch nicht als Drehungen um die kartesischen Achsen definiert werden (siehe Eulerwinkel ). Dieser Vorbehalt spiegelt sich in der Quantenmechanik in den nicht-trivialen Kommutierungsbeziehungen der verschiedenen Komponenten des Drehimpulsoperators wider.

Im Hamiltonschen Formalismus

Äquivalent kann in der Hamiltonschen Mechanik der Hamilton-Operator als Funktion des Drehimpulses beschrieben werden. Wie zuvor ist der Anteil der kinetischen Energie bezogen auf die Rotation um die z-Achse für das i-te Objekt:

$$12ichzichωzich2=Lzich22ichzich {\displaystyle {\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{ z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}}

analog zur Energieabhängigkeit vom Impuls entlang der z-Achse,.$$

Pzich22mich {\displaystyle {\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}}

Hamiltons Gleichungen beziehen den Winkel um die z-Achse auf seinen konjugierten Impuls, den Drehimpuls um dieselbe Achse:

$$DθzichDT=∂h∂Lzich=LzichichzichDLzichDT=−∂h∂θzich=−∂V∂θzich {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {d{\theta_{z}}_{i}}{dt}}amp;={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_ {z}}_{i}}{dt}}amp;=-{\frac {\partial {\cal{H}}}{\partial {\theta_{z}}_{i}}}=-{ \frac {\partial V}{\partial {\theta_{z}}_{i}}}\end{ausgerichtet}}}

Die erste Gleichung gibt

$$Lzich=ichzich⋅θ˙zich=ichzich⋅ωzich {\displaystyle {L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta}}_{z}}_{i}}={I_{ z}}_{i}\cdot {\omega_{z}}_{i}}

Damit erhalten wir die gleichen Ergebnisse wie beim Lagrange-Formalismus.

Beachten Sie, dass wir für die Kombination aller Achsen die kinetische Energie schreiben als:

$$Ek=12Σich|Pich|22mich=Σich(PRich22mich+12LichTichich−1Lich) {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_ {i}}}=\sum_{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1} {2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\ rechts)}

wobei p r der Impuls in radialer Richtung ist und das Trägheitsmoment eine dreidimensionale Matrix ist ; fette Buchstaben stehen für 3-dimensionale Vektoren.

Für punktförmige Körper gilt:

$$Ek=Σich(PRich22mich+|Lich|22michRich2) {\displaystyle E_{k}=\sum_{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac { |{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)}

Diese Form des kinetischen Energieanteils des Hamilton-Operators ist bei der Analyse von zentralen Potentialproblemen nützlich und lässt sich leicht in ein quantenmechanisches Arbeitssystem (zB im Wasserstoffatomproblem ) überführen.

Drehimpuls in der Bahnmechanik

Hauptartikel: Spezifischer relativer Drehimpuls

Während in der klassischen Mechanik die Sprache des Drehimpulses durch die Newtonschen Bewegungsgesetze ersetzt werden kann, ist sie besonders nützlich für Bewegungen im Zentralpotential wie die Planetenbewegung im Sonnensystem. Somit wird die Bahn eines Planeten im Sonnensystem durch seine Energie, seinen Drehimpuls und die Winkel der Bahnhauptachse relativ zu einem Koordinatensystem definiert.

In der Astrodynamik und Himmelsmechanik wird ein masseloser (oder pro Masseneinheit) Drehimpuls definiert

$$h=R×v, {\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v},}

als spezifischer Drehimpuls bezeichnet. Beachten Sie, dass die Masse bei orbitalmechanischen Berechnungen oft unwichtig ist, da die Bewegung durch die Schwerkraft definiert wird. Der Primärkörper des Systems ist oft so viel größer als alle um ihn herum bewegten Körper, dass die kleineren Körper eine vernachlässigbare Gravitationswirkung auf ihn haben; es ist in der Tat stationär. Alle Körper werden anscheinend unabhängig von ihrer Masse auf die gleiche Weise von ihrer Schwerkraft angezogen und bewegen sich daher alle unter den gleichen Bedingungen ungefähr auf die gleiche Weise.$$

L=mh. {\displaystyle\mathbf{L} =m\mathbf{h}.}

Festkörper

Drehimpuls ist auch ein äußerst nützliches Konzept zur Beschreibung rotierender starrer Körper wie eines Gyroskops oder eines felsigen Planeten. Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit Dichtefunktion ρ ( r), ein Differentialvolumenelement dV mit Positionsvektor r in der Masse eine Masse Element dm = ρ ( r) dV. Daher ist der infinitesimale Drehimpuls dieses Elements:

$$DL=R×Dmv=R×ρ(R)DVv=DVR×ρ(R)v {\displaystyle d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r})dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \mal \rho(\mathbf{r})\mathbf{v}}

und die Integration dieses Differentials über das Volumen der gesamten Masse ergibt ihren Gesamtdrehimpuls:

$$L=∫VDVR×ρ(R)v {\displaystyle \mathbf {L} =\int_{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r})\mathbf {v} }

In der folgenden Herleitung können ähnliche Integrale die Summen für den Fall stetiger Masse ersetzen.

Sammlung von Partikeln

Der Drehimpuls der Teilchen i ist die Summe der Kreuzprodukte R × M V + Σ r i × m i v i.

Für eine Ansammlung von Teilchen, die sich um einen beliebigen Ursprung bewegen, ist es aufschlussreich, die Drehimpulsgleichung zu entwickeln, indem man ihre Bewegung in Komponenten um ihren eigenen Massenschwerpunkt und um den Ursprung auflöst. Gegeben,

$$mich {\displaystyle m_{i}}ist die Masse des Teilchens,$$ich {\displaystyle i}

$$Rich {\displaystyle \mathbf{R} _{i}}ist der Positionsvektor des Partikels gegenüber dem Ursprung,$$ich {\displaystyle i}

$$Vich {\displaystyle \mathbf {V} _{i}}ist die Geschwindigkeit des Teilchens gegenüber dem Ursprung,$$ich {\displaystyle i}

$$R {\displaystyle\mathbf{R}} ist der Positionsvektor des Massenmittelpunkts gegenüber dem Ursprung,

$$V {\displaystyle\mathbf{V}} ist die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts gegenüber dem Ursprung,

$$Rich {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}ist der Ortsvektor des Teilchens gegenüber dem Massenmittelpunkt,$$ich {\displaystyle i}

$$vich {\displaystyle \mathbf {v} _{i}}ist die Geschwindigkeit des Teilchens gegenüber dem Massenzentrum,$$ich {\displaystyle i}

Die Gesamtmasse der Teilchen ist einfach ihre Summe,

$$m=Σichmich. {\displaystyle M=\sum_{i}m_{i}.}

Der Ortsvektor des Massenmittelpunkts ist definiert durch

$$mR=ΣichmichRich. {\displaystyle M\mathbf{R} =\sum_{i}m_{i}\mathbf{R}_{i}.}

Durch Inspektion,

$$Rich=R+Rich {\displaystyle \mathbf{R}_{i}=\mathbf{R} +\mathbf{r}_{i}} und $$Vich=V+vich. {\displaystyle \mathbf{V}_{i}=\mathbf{V} +\mathbf{v}_{i}.}

Der Gesamtdrehimpuls der Teilchenansammlung ist die Summe der Drehimpulse jedes Teilchens,

$$

L=Σich(Rich×michVich) {\displaystyle \mathbf{L} =\sum_{i}\left(\mathbf{R}_{i}\times m_{i}\mathbf{V}_{i}\right)}     ( 1)

Erweiterung,$$

Rich {\displaystyle \mathbf{R} _{i}}

$$L=Σich[(R+Rich)×michVich]=Σich[R×michVich+Rich×michVich] {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=\sum_{i}\left[\left(\mathbf{R} +\mathbf{r}_{i}\right)\times m_{ i}\mathbf{V}_{i}\right]\\amp;=\sum_{i}\left[\mathbf{R} \times m_{i}\mathbf{V}_{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{ausgerichtet}}}

Erweiterung,$$

Vich {\displaystyle \mathbf {V} _{i}}

$$L=Σich[R×mich(V+vich)+Rich×mich(V+vich)]=Σich[R×michV+R×michvich+Rich×michV+Rich×michvich]=ΣichR×michV+ΣichR×michvich+ΣichRich×michV+ΣichRich×michvich {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=\sum_{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\amp;=\sum _ {i}\left[\mathbf {R} \mal m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \mal m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _ {i}\mal m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\mal m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\amp;=\sum _{ i}\mathbf{R} \mal m_{i}\mathbf{V} +\sum_{i}\mathbf{R} \mal m_{i}\mathbf{v}_{i}+\sum_{ i}\mathbf {r} _{i}\mal m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\mal m_{i}\mathbf {v} _ {i}\end{ausgerichtet}}}

Es kann gezeigt werden, dass (siehe Seitenleiste),

Beweise das $$ ΣichmichRich=0 {\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} } $$ Rich=Rich−RmichRich=mich(Rich−R)ΣichmichRich=Σichmich(Rich−R)=Σich(michRich−michR)=ΣichmichRich−ΣichmichR=ΣichmichRich−(Σichmich)R=ΣichmichRich−mR {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {r} _{i}amp;=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i} amp;=m_{i}\left(\mathbf{R}_{i}-\mathbf{R}\right)\\\Summe_{i}m_{i}\mathbf{r}_{i}amp;= \sum_{i}m_{i}\left(\mathbf{R}_{i}-\mathbf{R} \right)\\amp;=\sum_{i}(m_{i}\mathbf{R.) } _{i}-m_{i}\mathbf {R})\\amp;=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i} \mathbf{R} \\amp;=\sum_{i}m_{i}\mathbf{R}_{i}-\left(\sum_{i}m_{i}\right)\mathbf{R} \\amp;=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{ausgerichtet}}} was nach der Definition des Massenschwerpunktes ist und ähnlich für$$ 0, {\displaystyle \mathbf {0},}$$Σichmichvich. {\displaystyle \sum_{i}m_{i}\mathbf{v}_{i}.}

$$ΣichmichRich=0 {\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0} } und $$Σichmichvich=0, {\displaystyle \sum_{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf{0},}

daher verschwinden der zweite und dritte Term,

$$L=ΣichR×michV+ΣichRich×michvich. {\displaystyle \mathbf{L} =\sum_{i}\mathbf{R} \times m_{i}\mathbf{V} +\sum_{i}\mathbf{r}_{i}\times m_ {i}\mathbf{v}_{i}.}

Der erste Term kann neu geordnet werden,

$$ΣichR×michV=R×ΣichmichV=R×mV, {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\ mathbf {R} \times M\mathbf {V},}

und der Gesamtdrehimpuls für die Sammlung von Teilchen ist schließlich

$$

L=R×mV+ΣichRich×michvich {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _ {ich}}     ( 2)

Der erste Term ist der Drehimpuls des Massenmittelpunkts relativ zum Ursprung. Ähnlich wie unten bei Einzelteilchen ist es der Drehimpuls eines Teilchens der Masse M im Massenmittelpunkt, das sich mit der Geschwindigkeit V bewegt. Der zweite Term ist der Drehimpuls der sich relativ zum Massenmittelpunkt bewegenden Teilchen, ähnlich wie unten bei Fester Massenschwerpunkt. Das Ergebnis ist allgemein – die Bewegung der Teilchen ist nicht auf Rotation oder Rotation um den Ursprung oder Massenschwerpunkt beschränkt. Die Partikel müssen keine einzelnen Massen sein, sondern können Elemente einer kontinuierlichen Verteilung sein, wie beispielsweise ein Festkörper.

Gleichung ( 2) nach Vektoridentitäten neu anordnen, beide Terme mit "eins" multiplizieren und entsprechend gruppieren,

$$L=m(R×V)+Σich[mich(Rich×vich)],=R2R2m(R×V)+Σich[Rich2Rich2mich(Rich×vich)],=R2m(R×VR2)+Σich[Rich2mich(Rich×vichRich2)], {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=M(\mathbf{R} \times \mathbf{V})+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v}_{i}\right)\right],\\amp;={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left (\mathbf{R}\times\mathbf{V}\right)+\sum_{i}\left[{\frac{r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}} m_{i}\left(\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{v}_{i}\right)\right],\\amp;=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left( {\frac {\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{v}_{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{ausgerichtet} }}

gibt den Gesamtdrehimpuls des Teilchensystems in Bezug auf Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit an,$$

ich {\displaystyle I} $$ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega}}}

$$

L=ichRωR+Σichichichωich. {\displaystyle \mathbf {L} =I_{R}{\boldsymbol {\omega}}_{R}+\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega}}_{i}.}     ( 3)

Einzelpartikel-Fall

Im Fall eines einzelnen Teilchens, das sich um den beliebigen Ursprung bewegt,

$$Rich=vich=0,R=R,v=V,m=m, {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {r} _{i}amp;=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0},\\\mathbf {r} amp;=\mathbf {R},\\\mathbf {v} amp;=\mathbf {V},\\mamp;=M,\end{ausgerichtet}}}

$$ΣichRich×michvich=0, {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0},}

$$Σichichichωich=0, {\displaystyle \sum_{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega}}_{i}=\mathbf{0},}und die Gleichungen ( 2) und ( 3) für den Gesamtdrehimpuls reduzieren sich auf,

$$L=R×mV=ichRωR. {\displaystyle \mathbf{L} =\mathbf{R} \times m\mathbf{V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega}}_{R}.}

Fall eines festen Massenschwerpunkts

Für den Fall des ursprungsfesten Massenschwerpunktes gilt:

$$V=0, {\displaystyle \mathbf{V} =\mathbf{0},}

$$R×mV=0, {\displaystyle\mathbf{R}\times M\mathbf{V} =\mathbf{0},}

$$ichRωR=0, {\displaystyle I_{R}{\boldsymbol {\omega}}_{R}=\mathbf{0},}und die Gleichungen ( 2) und ( 3) für den Gesamtdrehimpuls reduzieren sich auf,

$$L=ΣichRich×michvich=Σichichichωich. {\displaystyle \mathbf{L} =\sum_{i}\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{i}=\sum_{i}I_{i} {\boldsymbol {\omega}}_{i}.}

Drehimpuls in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der 3-Drehimpuls als Bivektor ( Ebenenelement ) und axialer Vektor, eines Teilchens der Masse m mit momentanem 3-Ort x und 3-Impuls p.Hauptartikel: Relativistischer Drehimpuls

In der modernen theoretischen Physik (20. Jahrhundert) wird der Drehimpuls (ohne Eigendrehimpuls – siehe unten) mit einem anderen Formalismus anstelle eines klassischen Pseudovektors beschrieben. In diesem Formalismus ist der Drehimpuls die 2-Form- Noether-Ladung, die mit der Rotationsinvarianz verbunden ist. Als Ergebnis bleibt der Drehimpuls für allgemein gekrümmte Raumzeiten nicht erhalten, es sei denn, er ist asymptotisch rotationsinvariant.

In der klassischen Mechanik lässt sich der Drehimpuls eines Teilchens als ebenes Element uminterpretieren:

$$L=R∧P, {\displaystyle\mathbf{L} =\mathbf{r}\keil\mathbf{p}\,,}

wobei das äußere Produkt ∧ das Kreuzprodukt × ersetzt (diese Produkte haben ähnliche Eigenschaften, sind aber nicht gleichwertig). Dies hat den Vorteil einer klareren geometrischen Interpretation als ebenes Element, definiert aus den x- und p- Vektoren, und der Ausdruck ist in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen (zwei oder höher) wahr. In kartesischen Koordinaten:

$$L=(xPja−jaPx)ex∧eja+(jaPz−zPja)eja∧ez+(zPx−xPz)ez∧ex=Lxjaex∧eja+Ljazeja∧ez+Lzxez∧ex, {\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\mathbf {L} amp;=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y }+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\keil \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z} \right)\mathbf {e} _{z}\keil \mathbf {e} _{x}\\amp;=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\keil \mathbf {e} _{y }+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\keil \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\keil \mathbf {e} _{x }\,,\end{ausgerichtet}}}

oder kompakter in Indexnotation:

$$LichJ=xichPJ−xJPich. {\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.}

Die Winkelgeschwindigkeit kann auch als antisymmetrischer Tensor zweiter Ordnung mit Komponenten ω ij definiert werden. Die Beziehung zwischen den beiden antisymmetrischen Tensoren ist durch das Trägheitsmoment gegeben, das nun ein Tensor vierter Ordnung sein muss:

$$LichJ=ichichJklωkl. {\displaystyle L_{ij}=I_{ijk\ell}\omega_{k\ell}\,.}

Auch diese Gleichung in L und ω als Tensoren gilt in beliebig vielen Dimensionen. Diese Gleichung erscheint auch im geometrischen Algebra- Formalismus, in dem L und ω Bivektoren sind und das Trägheitsmoment eine Abbildung zwischen ihnen ist.

In der relativistischen Mechanik wird der relativistische Drehimpuls eines Teilchens als antisymmetrischer Tensor zweiter Ordnung ausgedrückt:

$$mαβ=xαPβ−xβPα {\displaystyle M_{\alpha\beta}=X_{\alpha}P_{\beta}-X_{\beta}P_{\alpha}}

in der Sprache der Vierervektoren, nämlich der Viererposition X und dem Viererimpuls P, und nimmt das obige L zusammen mit der Bewegung des Massenschwerpunkts des Teilchens auf.

In jedem der obigen Fälle ist für ein Teilchensystem der Gesamtdrehimpuls nur die Summe der einzelnen Teilchendrehimpulse, und der Massenschwerpunkt ist für das System.

Drehimpuls in der Quantenmechanik

Hauptartikel: Drehimpulsoperator

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik unterscheidet sich in vielen grundlegenden Aspekten vom Drehimpuls in der klassischen Mechanik. In der relativistischen Quantenmechanik unterscheidet es sich noch mehr, in der die obige relativistische Definition zu einem Tensor-Operator wird.

Spin, Bahn und Gesamtdrehimpuls

Hauptartikel: Spin (Physik) Drehimpulse eines klassischen Objekts.

• Links: "Spin"-Drehimpuls S ist wirklich Bahndrehimpuls des Objekts in jedem Punkt.
• Rechts: Extrinsischer Bahndrehimpuls L um eine Achse.
• Top: das Trägheitsmoment Tensor I und Winkelgeschwindigkeit ω ( L nicht immer ist parallel ω).
• Unten: Impuls p und seine radiale Position r von der Achse. Der Gesamtdrehimpuls (Spin plus Orbital) ist J. Für ein Quantenteilchen sind die Interpretationen unterschiedlich; Teilchenspin hat nicht die obige Interpretation.

Die klassische Definition des Drehimpulses, wie kann der Quantenmechanik übertragen werden, durch reinterpreting r als Quantenposition Operator und p als Quantenimpulsoperator. L ist dann ein Operator, speziell Bahndrehimpuls-Operator genannt. Die Komponenten des Drehimpulsoperators erfüllen die Kommutierungsrelationen der Lie-Algebra so(3). Tatsächlich sind diese Operatoren genau die infinitesimale Wirkung der Rotationsgruppe auf den Quanten-Hilbert-Raum. (Siehe auch die unten stehende Diskussion der Drehimpulsoperatoren als Generatoren von Rotationen.)$$

L=R×P {\displaystyle\mathbf{L} =\mathbf{r}\times\mathbf{p}}

In der Quantenphysik gibt es jedoch eine andere Art von Drehimpuls, den sogenannten Spindrehimpuls, der durch den Spinoperator S repräsentiert wird. Fast alle Elementarteilchen haben einen Spin ungleich null. Spin wird oft als Teilchen dargestellt, das sich buchstäblich um eine Achse dreht, aber dies ist ein irreführendes und ungenaues Bild: Spin ist eine intrinsische Eigenschaft eines Teilchens, die nichts mit irgendeiner Bewegung im Raum zu tun hat und sich grundlegend vom Bahndrehimpuls unterscheidet. Alle Elementarteilchen haben einen charakteristischen Spin (möglicherweise Null), zum Beispiel haben Elektronen "Spin 1/2" (das bedeutet eigentlich "Spin ħ /2"), Photonen haben "Spin 1" (das bedeutet eigentlich "Spin ħ"), und Pi-Mesonen haben Spin 0.

Schließlich gibt es noch den Gesamtdrehimpuls J, der sowohl den Spin als auch den Bahndrehimpuls aller Teilchen und Felder vereint. (Für ein Teilchen gilt J = L + S.) Die Drehimpulserhaltung gilt für J, aber nicht für L oder S ; zum Beispiel ermöglicht die Spin-Bahn-Wechselwirkung den Drehimpuls zwischen L und S hin und her zu übertragen, wobei die Gesamtsumme konstant bleibt. Elektronen und Photonen müssen keine ganzzahligen Werte für den Gesamtdrehimpuls haben, sondern können auch halbzahlige Werte haben.

In Molekülen ist der Gesamtdrehimpuls F die Summe des rovibronischen (Bahn-)Drehimpulses N, des Elektronenspindrehimpulses S und des Kernspindrehimpulses I. Für elektronische Singulett-Zustände wird der rovibronische Drehimpuls mit J statt mit N bezeichnet. Wie von Van Vleck erläutert, haben die Komponenten des molekularen rovibronischen Drehimpulses bezogen auf molekülfeste Achsen andere Kommutierungsrelationen als für die Komponenten um raumfeste Achsen.

Quantisierung

In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls quantisiert – das heißt, er kann sich nicht kontinuierlich ändern, sondern nur in „ Quantensprüngen “ zwischen bestimmten erlaubten Werten. Für jedes System gelten die folgenden Einschränkungen für Messergebnisse, wobei die reduzierte Planck-Konstante und ein beliebiger euklidischer Vektor wie x, y oder z ist:$$

ℏ {\displaystyle \hbar} $$n^ {\displaystyle {\hat{n}}}

Wenn Sie messen. ..	Das Ergebnis kann sein...
$$Ln^ {\displaystyle L_{\hat {n}}}	$$…,−2ℏ,−ℏ,0,ℏ,2ℏ,… {\displaystyle \ldots,-2\hbar,-\hbar,0,\hbar,2\hbar,\ldots }
$$Sn^ {\displaystyle S_{\hat{n}}} oder $$Jn^ {\displaystyle J_{\hat {n}}}	$$…,−32ℏ,−ℏ,−12ℏ,0,12ℏ,ℏ,32ℏ,… {\displaystyle \ldots,-{\frac {3}{2}}\hbar,-\hbar,-{\frac {1}{2}}\hbar,0,{\frac {1}{2}} \hbar,\hbar,{\frac{3}{2}}\hbar,\ldots}
$$L2=Lx2+Lja2+Lz2 {\displaystyle {\begin{aligned}amp;L^{2}\\={}amp;L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned} }}	$$[ℏ2n(n+1)] {\displaystyle \left[\hbar^{2}n(n+1)\right]}, wo $$n=0,1,2,… {\displaystyle n=0,1,2,\ldots}
$$S2 {\displaystyle S^{2}} oder $$J2 {\displaystyle J^{2}}	$$[ℏ2n(n+1)] {\displaystyle \left[\hbar^{2}n(n+1)\right]}, wo $$n=0,12,1,32,… {\displaystyle n=0,{\frac{1}{2}},1,{\frac{3}{2}},\ldots}

Bei dieser stehenden Welle auf einer kreisförmigen Saite wird der Kreis in genau 8 Wellenlängen zerlegt. Eine stehende Welle wie diese kann 0,1,2 oder eine beliebige ganze Zahl von Wellenlängen um den Kreis herum haben, aber sie kann keine nicht ganzzahlige Zahl von Wellenlängen wie 8,3 haben. In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls aus einem ähnlichen Grund quantisiert.

(Es gibt auch zusätzliche Einschränkungen, siehe Drehimpulsoperator für Details.)

Die reduzierte Planck-Konstante ist nach alltäglichen Maßstäben winzig, etwa 10 ⁻³⁴ J s, und daher beeinflusst diese Quantisierung den Drehimpuls makroskopischer Objekte nicht merklich. In der mikroskopischen Welt ist es jedoch sehr wichtig. Beispielsweise wird die Struktur von Elektronenschalen und -unterschalen in der Chemie maßgeblich durch die Quantisierung des Drehimpulses beeinflusst.$$

ℏ {\displaystyle \hbar}

Die Quantisierung des Drehimpulses wurde zuerst von Niels Bohr in seinem Bohrschen Atommodell postuliert und später von Erwin Schrödinger in seiner Schrödinger-Gleichung vorhergesagt.

Unsicherheit

An der Definition sind sechs Operatoren beteiligt: ​​Die Positionsoperatoren,,, und die Impulsoperatoren,,. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt jedoch, dass es nicht möglich ist, alle sechs dieser Größen gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu kennen. Daher sind dem, was über den Drehimpuls eines Teilchens bekannt oder gemessen werden kann, Grenzen gesetzt. Es stellt sich heraus, dass es am besten ist, gleichzeitig den Betrag des Drehimpulsvektors und seine Komponente entlang einer Achse zu messen.$$

L=R×P {\displaystyle\mathbf{L} =\mathbf{r}\times\mathbf{p}} $$Rx {\displaystyle r_{x}}$$Rja {\displaystyle r_{y}}$$Rz {\displaystyle r_{z}} $$Px {\displaystyle p_{x}}$$Pja {\displaystyle p_{y}}$$Pz {\displaystyle p_{z}}

Die Unsicherheit ist eng mit der Tatsache, dass verschiedene Komponenten eines Drehimpulsoperators nicht pendeln, zum Beispiel. (Zu den genauen Kommutierungsbeziehungen siehe Drehimpulsoperator. )$$

LxLja≠LjaLx {\displaystyle L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}}

Gesamtdrehimpuls als Drehgeber

Wie oben erwähnt, Bahndrehimpuls L ist, wie in der klassischen Mechanik definiert:, aber Gesamtdrehimpuls J wird in einer anderen, einfacheren Art und Weise definiert: J ist definiert als „Generator von Rotationen“. Genauer gesagt ist J so definiert, dass der Operator$$

L=R×P {\displaystyle\mathbf{L} =\mathbf{r}\times\mathbf{p}}

$$R(n^,φ)≡exp⁡(−ichℏφJ⋅n^) {\displaystyle R({\hat{n}},\phi)\equiv\exp \left(-{\frac {i}{\hbar}}\phi\,\mathbf{J} \cdot {\hat{ \mathbf{n}}}\right)}

ist der Rotationsoperator, der ein beliebiges System nimmt und es um den Winkel um die Achse dreht. (Das "exp" in der Formel bezieht sich auf den Operator Exponential ) Um dies anders herum zu sagen, was auch immer unser Quanten-Hilbert-Raum ist, wir erwarten, dass die Rotationsgruppe SO(3) darauf wirkt. Es gibt dann eine assoziierte Aktion der Lie-Algebra so(3) von SO(3); die Operatoren, die die Wirkung von so(3) auf unseren Hilbertraum beschreiben, sind die (Gesamt-)Drehimpulsoperatoren.$$

φ {\displaystyle \phi}$$n^ {\displaystyle {\hat {\mathbf{n}}}}

Die Beziehung zwischen dem Drehimpulsoperator und den Rotationsoperatoren ist die gleiche wie die Beziehung zwischen Lie-Algebren und Lie-Gruppen in der Mathematik. Die enge Beziehung zwischen Drehimpuls und Rotation spiegelt sich in Noethers Theorem wider, der beweist, dass der Drehimpuls immer dann erhalten bleibt, wenn die Gesetze der Physik rotationsinvariant sind.

Drehimpuls in der Elektrodynamik

Siehe auch: Impuls (Partikel im Feld)

Bei der Beschreibung der Bewegung eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld ist der kanonische Impuls P (abgeleitet von der Lagrange-Funktion für dieses System) nicht eichinvariant. Folglich ist auch der kanonische Drehimpuls L = r × P nicht eichinvariant. Stattdessen ist der physikalische Impuls, der sogenannte kinetische Impuls (in diesem Artikel verwendet), (in SI-Einheiten )

$$P=mv=P−eEIN {\displaystyle\mathbf{p} =m\mathbf{v} =\mathbf{P} -e\mathbf{A}}

wobei e die elektrische Ladung des Teilchens und A das magnetische Vektorpotential des elektromagnetischen Feldes ist. Der Gauge-invariant Drehimpuls, das heißt kinetischer Drehimpuls ist, gegeben durch

$$K=R×(P−eEIN) {\displaystyle\mathbf{K} =\mathbf{r}\times (\mathbf{P} -e\mathbf{A})}

Das Zusammenspiel mit der Quantenmechanik wird im Artikel über kanonische Kommutierungsrelationen weiter diskutiert.

Drehimpuls in der Optik

In der klassischen Maxwell-Elektrodynamik ist der Poynting-Vektor eine lineare Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes.

$$S(R,T)=ε0C2E(R,T)×B(R,T). {\displaystyle \mathbf{S} (\mathbf{r},t)=\epsilon_{0}c^{2}\mathbf{E} (\mathbf{r},t)\times \mathbf{B} (\mathbf{r},t).}

Der Drehimpulsdichtevektor ist wie in der klassischen Mechanik durch ein Vektorprodukt gegeben:$$

L(R,T) {\displaystyle\mathbf{L} (\mathbf{r},t)}

$$L(R,T)=R×S(R,T). {\displaystyle \mathbf{L} (\mathbf{r},t)=\mathbf{r} \times \mathbf{S} (\mathbf{r},t).}

Die obigen Identitäten gelten lokal, dh in jedem Raumpunkt zu einem bestimmten Zeitpunkt.$$

R {\displaystyle\mathbf{r}}$$T {\displaystyle t}

Geschichte

Newton, in der Principia, bei Drehimpuls in seinen Beispielen für das angedeuteten Erste Gesetz der Bewegung,

Ein Kreisel, dessen Teile durch ihren Zusammenhalt fortwährend aus geradlinigen Bewegungen herausgezogen werden, hört nicht auf zu rotieren, als wenn er durch die Luft verzögert wird. Die größeren Körper der Planeten und Kometen, die in mehr freien Räumen auf weniger Widerstand treffen, behalten ihre progressiven und kreisförmigen Bewegungen für eine viel längere Zeit bei.

Er untersuchte den Drehimpuls nicht direkt in den Principia,

Aus solchen Reflexionen entstehen manchmal auch die Kreisbewegungen der Körper um ihre eigenen Zentren. Dies sind aber Fälle, die ich im Folgenden nicht betrachte; und es wäre zu mühsam, jedes Detail zu demonstrieren, das sich auf dieses Thema bezieht.

Sein geometrischer Beweis des Flächengesetzes ist jedoch ein herausragendes Beispiel für Newtons Genie und beweist indirekt die Drehimpulserhaltung im Fall einer Zentralkraft.

Das Gesetz der Gebiete

Hauptartikel: Klassisches Zentralkraftproblem und Flächengeschwindigkeit

Ableitung von Newton

Newtons Ableitung des Flächengesetzes mit geometrischen Mitteln.

Wenn ein Planet die Sonne umkreist, überstreicht die Linie zwischen der Sonne und dem Planeten in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen. Dies war bekannt, seit Kepler sein zweites Gesetz der Planetenbewegung dargelegt hatte. Newton abgeleitet einen einzigartigen geometrischen Beweis und fuhr fort, zu zeigen, dass die Anziehungskraft der Sun Schwerkraft die Ursache all die Keplerschen Gesetze war.

Während des ersten Zeitintervalls ist ein Objekt in Bewegung von Punkt A nach Punkt B. Ungestört würde sie während des zweiten Intervalls weiterhin Punkt c erreichen. Wenn das Objekt bei B ankommt, erhält es einen auf den Punkt S gerichteten Impuls. Der Impuls verleiht ihm eine kleine zusätzliche Geschwindigkeit in Richtung S, so dass, wenn dies seine einzige Geschwindigkeit wäre, er sich während des zweiten Intervalls von B nach V bewegen würde. Nach den Regeln der Geschwindigkeitszusammensetzung addieren sich diese beiden Geschwindigkeiten, und der Punkt C wird durch Konstruktion des Parallelogramms BcCV gefunden. Dadurch wird die Bahn des Objekts durch den Impuls so abgelenkt, dass es am Ende des zweiten Intervalls den Punkt C erreicht. Da die Dreiecke SBc und SBC dieselbe Basis SB und dieselbe Höhe Bc oder VC haben, haben sie dieselbe Fläche. Aus Symmetriegründen hat das Dreieck SBc auch die gleiche Fläche wie das Dreieck SAB, daher hat das Objekt gleiche Flächen SAB und SBC zu gleichen Zeiten überstrichen.

Am Punkt C erhält das Objekt einen weiteren Impuls in Richtung S und lenkt seinen Weg während des dritten Intervalls von d nach D erneut ab. Somit geht es weiter nach E und darüber hinaus, wobei die Dreiecke SAB, SBc, SBC, SCd, SCD, SDe, SDE alle die gleiche Fläche haben. Da die Zeitintervalle immer kleiner werden, nähert sich der Pfad ABCDE auf unbestimmte Zeit einer stetigen Kurve.

Beachten Sie, dass diese Ableitung geometrisch ist und keine spezifische Kraft angewendet wird, sie ein allgemeineres Gesetz als Keplers zweites Gesetz der Planetenbewegung beweist. Es zeigt, dass das Flächengesetz für jede zentrale Kraft gilt, ob anziehend oder abstoßend, kontinuierlich oder nicht-kontinuierlich oder Null.

Drehimpulserhaltung im Flächengesetz

Die Proportionalität des Drehimpulses zur von einem bewegten Objekt überstrichenen Fläche kann man verstehen, indem man sich vor Augen führt, dass die Grundflächen der Dreiecke, d. h. die Geraden von S zum Objekt, dem Radius r entsprechen und dass die Höhen der Dreiecke sind proportional zur senkrechten Komponente der Geschwindigkeit v⊥. Wenn also die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche konstant ist, dann nach der Dreiecksflächenformel1/2(base)(height), das Produkt (base)(height) und damit das Produkt rv⊥ sind konstant: wenn r und die Basislänge verkleinert werden, müssen v⊥ und height proportional zunehmen. Die Masse ist konstant, daher bleibt der Drehimpuls rmv⊥ durch diesen Austausch von Abstand und Geschwindigkeit erhalten.

Im Fall des Dreiecks SBC ist die Fläche gleich1/2( SB) ( VC). Wo immer C aufgrund des an B angelegten Impulses schließlichlokalisiert wird, bleibt das Produkt ( SB)( VC) und damit rmv⊥ konstant. Ähnliches gilt für jedes der Dreiecke.

Nach Newton

Leonhard Euler, Daniel Bernoulli und Patrick d'Arcy verstanden alle den Drehimpuls im Sinne der Erhaltung der Flächengeschwindigkeit, ein Ergebnis ihrer Analyse des zweiten Keplerschen Gesetzes der Planetenbewegung. Es ist unwahrscheinlich, dass sie die Auswirkungen auf gewöhnliche rotierende Materie erkannt haben.

1736 berührte Euler wie Newton in seiner Mechanica einige der Drehimpulsgleichungen, ohne sie weiterzuentwickeln.

Bernoulli schrieb 1744 in einem Brief von einem "Drehmoment", möglicherweise der ersten Konzeption des Drehimpulses, wie wir ihn heute verstehen.

1799 erkannte Pierre-Simon Laplace zum ersten Mal, dass eine feste Ebene mit Rotation verbunden war – seine unveränderliche Ebene.

Louis Poinsot begann 1803, Rotationen als ein Liniensegment senkrecht zur Rotation darzustellen, und arbeitete an der "Momenterhaltung" aus.

1852 verwendete Léon Foucault in einem Experiment ein Gyroskop, um die Erdrotation anzuzeigen.

William JM Rankine's Manual of Applied Mechanics von 1858 definierte zum ersten Mal den Drehimpuls im modernen Sinne:

...eine Linie, deren Länge proportional zum Betrag des Drehimpulses ist und deren Richtung senkrecht zur Bewegungsebene des Körpers und des Fixpunktes steht, und so dass, wenn die Bewegung des Körpers von der Ende der Linie scheint der Radiusvektor des Körpers eine Rechtsdrehung zu haben.

In einer Ausgabe desselben Buches von 1872 stellte Rankine fest, dass "der Begriff Drehimpuls von Mr. Hayward eingeführt wurde", wahrscheinlich in Bezug auf RB Haywards Artikel On a Direct Method of Estimating Velocities, Accelerations, and all similar Quantities in Bezug auf Axes moveable in Space with Applications, das 1856 eingeführt und 1864 veröffentlicht wurde. Rankine irrte sich, da zahlreiche Veröffentlichungen den Begriff ab dem späten 18. bis frühen 19. Jahrhundert verwenden. Haywards Artikel war jedoch anscheinend die erste Verwendung des Begriffs und des Konzepts, die von einem Großteil der englischsprachigen Welt gesehen wurde. Vorher wurde der Drehimpuls im Englischen typischerweise als "Drehimpuls" bezeichnet.

Siehe auch

• Absoluter Drehimpuls
• Drehimpulskopplung
• Drehimpuls des Lichts
• Drehimpulsdiagramme (Quantenmechanik)
• Chaotische Rotation
• Clebsch-Gordan-Koeffizienten
• Linear-Rotations-Analoga
• Größenordnungen (Drehimpuls)
• Pauli-Lubanski-Pseudovektor
• Relativer Drehimpuls
• Relativistischer Drehimpuls
• Starrer Rotor
• Rotationsenergie
• Spezifischer relativer Drehimpuls
• Yrast

Fußnoten

Verweise

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2006). Quantenmechanik (2 Bände Hrsg.). John Wiley amp; Söhne. ISBN   978-0-471-56952-7.
• Condon, EU; Shortley, GH (1935). "Besonders Kapitel 3". Die Theorie der Atomspektren. Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-09209-8.
• Edmonds, AR (1957). Drehimpuls in der Quantenmechanik. Princeton University Press. ISBN   978-0-691-07912-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantentheorie für Mathematiker, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN   978-0-387-40122-5.
• Jackson, John David (1998). Klassische Elektrodynamik (3. Aufl.). John Wiley amp; Söhne. ISBN   978-0-471-30932-1.
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• Tipler, Paul (2004). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure: Mechanik, Schwingungen und Wellen, Thermodynamik (5. Aufl.). WH Freeman. ISBN   978-0-7167-0809-4.
• Feynman R., Leighton R. und Sands M. (September 2013). "19–4 Rotationskinetische Energie". Die Feynman-Vorlesungen über Physik. Die Feynman Lectures Website (Online-Hrsg.).CS1-Wartung: verwendet Autorenparameter ( Link )

Externe Links

• Erhaltung des Drehimpulses – ein Kapitel aus einem Online-Lehrbuch
• Drehimpuls im Kollisionsprozess – Herleitung des dreidimensionalen Falles
• Drehimpuls und Rollbewegung – mehr Impulstheorie