16-zellige Wabe

16-zellige Wabe
Perspektivische Projektion : Die erste Schicht benachbarter 16-Zellen-Facetten.
Art	Normale 4-Waben Uniform 4-Waben
Familie	Abwechselnde Hyperwürfelwabe
Schläfli-Symbol	{3,3,4,3}
Coxeter-Diagramme	= =
4-Gesichtstyp	{3,3,4}
Zelltyp	{3,3}
Gesichtstyp	{3}
Kantenfigur	Würfel
Scheitelpunktfigur	24 Zellen
Coxeter-Gruppe	$$F.~4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}} = [3,3,4,3]
Dual	{3,4,3,3}
Eigenschaften	Vertex-Transitiv, Edge-Transitiv, Face-Transitiv, Zell-Transitiv, 4-Face-Transitiv

In der vierdimensionalen euklidischen Geometrie ist die 16-zellige Wabe eine der drei regulären raumfüllenden Tessellationen (oder Waben ), die durch das Schläfli-Symbol {3,3,4,3} dargestellt und durch eine 4-dimensionale Packung von konstruiert werden 16-Zellen- Facetten, drei um jedes Gesicht.

Sein Dual ist die 24-Zellen-Wabe. Die Scheitelpunktzahl ist eine 24-Zellen- Figur. Die Scheitelpunktanordnung wird als B 4 -, D 4 - oder F 4 -Gitter bezeichnet.

Inhalt

• 1 Alternative Namen
• 2 Koordinaten
• 3 D 4 Gitter
• 4 Symmetriekonstruktionen
• 5 Verwandte Waben
• 6 Siehe auch
• 7 Hinweise
• 8 Referenzen

Alternative Namen

• Hexadecachoric Tetracomb / Wabe
• Demitesseraktische Tetracomb / Wabe

Koordinaten

Scheitelpunkte können an allen ganzzahligen Koordinaten (i, j, k, l) platziert werden, so dass die Summe der Koordinaten gerade ist.

D 4 Gitter

Die Scheitelpunktanordnung der 16-Zellen-Wabe wird als D 4 -Gitter oder F 4 -Gitter bezeichnet. Die Eckpunkte dieses Gitters sind die Zentren der 3-Kugeln in der dichtesten bekannten Packung gleicher Kugeln im 4-Raum; Die Kusszahl ist 24, was auch der Kusszahl in R ^{4 entspricht}, wie Oleg Musin 2003 bewiesen hat.

Das verwandte D.⁺ _{4 Gitter (auch D genannt² 4) kann durch Vereinigung zweier D 4 -Gitter konstruiert werden und ist identisch mit dem C 4 -Gitter:}

∪ = =

Die Kussnummer für D.⁺ _{4ist 2 ³ = 8 (2 ^{n - 1} für n lt;8, 240 für n = 8 und 2 n ( n - 1) für n gt; 8).}

Das verwandte D.^* _{4 Gitter (auch D genannt⁴ 4 und C² 4) kann durch die Vereinigung aller vier D 4 -Gitter konstruiert werden, ist jedoch identisch mit dem D 4 -Gitter: Es ist auch die 4-dimensionale kubisch raumzentrierte Würfel, die Vereinigung von zwei 4-Würfel-Waben in zwei Positionen.}

∪ ∪ ∪ = = ∪ .

Die Kussnummer des D.^* _{4Gitter (und D 4 Gitter) ist 24 und seine Voronoi Tessellation ist eine 24-zellige Wabe,, enthaltend alle rektifizierten 16-Zellen ( 24-Zellen ) Voronoi-Zellen, oder .}

Symmetriekonstruktionen

Es gibt drei verschiedene Symmetriekonstruktionen dieser Tessellation. Jede Symmetrie kann durch unterschiedliche Anordnungen farbiger 16-Zellen- Facetten dargestellt werden.

Coxeter-Gruppe	Schläfli-Symbol	Coxeter-Diagramm	Vertex Figur Symmetry	Facetten / verf
$$F.~4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}= [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3], Ordnung 1152	24: 16-Zellen
$$B.~4 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}= [3 1,1, 3,4]	= h {4,3,3,4}	=	[3,3,4], Ordnung 384	16 + 8: 16 Zellen
$$D.~4 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}= [3 1,1,1,1 ]	{3,3 1,1,1 } = h {4,3,3 1,1 }	=	[3 1,1,1 ], Ordnung 192	8 + 8 + 8: 16 Zellen
2 × ½ = [[(4,3,3,4,2 +)]]$$C.~4 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{4}}	ht 0,4 {4,3,3,4}			8 + 4 + 4: 4-Demicube 8: 16-Zellen

Verwandte Waben

Es ist verwandt mit der regulären hyperbolischen 5-Raum- 5-Orthoplex-Wabe {3,3,3,4,3} mit 5-Orthoplex- Facetten, der regulären 4-Polytop- 24-Zelle {3,4,3} mit oktaedrische (3-Orthoplex) Zelle und Würfel {4,3} mit (2-Orthoplex) quadratischen Flächen.

Es hat ein zweidimensionales Analogon {3,6} und ist als alternative Form (die demitesseraktische Wabe h {4,3,3,4}) mit der alternierenden kubischen Wabe verwandt.

Diese Wabe ist eine von 20 einheitlichen Waben, die von der Coxeter-Gruppe konstruiert wurden. Alle bis auf drei wurden in anderen Familien durch erweiterte Symmetrie wiederholt. Dies zeigt die grafische Symmetrie der Ringe in den Coxeter-Dynkin-Diagrammen. Die 20 Permutationen sind mit ihrer höchsten erweiterten Symmetriebeziehung aufgeführt:$$

D5 Waben
Erweiterte Symmetrie	Erweitertes Diagramm	Erweiterte Gruppe	Waben
[3 1,1, 3,3 1,1 ]		$$D.~5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}
lt;[3 1,1, 3,3 1,1 ]gt; ↔ [3 1,1, 3,3,4]	↔	$$D.~5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 2 1 =$$B.~5 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}	, , , , , ,
[[3 1,1, 3,3 1,1 ]]		$$D.~5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 2 2	,
lt;2 [3 1,1, 3,3 1,1 ]gt; ↔ [4,3,3,3,4]	↔	$$D.~5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 4 1 =$$C.~5 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}	, , , , ,
[lt;2 [3 1,1, 3,3 1,1 ]gt;] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	$$D.~5 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}× 8 = × 2$$C.~5 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{5}}	, ,

Siehe auch

Regelmäßige und gleichmäßige Waben im 4-Raum:

• Tesseraktische Wabe
• 24-zellige Wabe
• Verkürzte 24-Zellen-Wabe
• Snub 24-Zellen-Wabe
• 5-zellige Wabe
• Verkürzte 5-Zell-Wabe
• Omnitruncated 5-zellige Wabe

Anmerkungen

Verweise

• Coxeter, HSM Regular Polytopes, (3. Auflage, 1973), Dover Edition, ISBN 0-486-61480-8
  • pp. 154-156: Partial Trunkierung oder alternierend, dargestellt durch h prefix: h {4,4} = {4,4}; h {4,3,4} = {3 ^1,1, 4}, h {4,3,3,4} = {3,3,4,3},...
• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Aufsatz 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuskript (2006) (Vollständige Liste von 11 konvexen einheitlichen Fliesen, 28 konvexen einheitlichen Waben und 143 konvexen einheitlichen Tetracombs)
• Klitzing, Richard. "4D euklidische Tesselationen". x3o3o4o3o - hext - O104
• Conway JH, Sloane NJH (1998). Kugelpackungen, Gitter und Gruppen (3. Aufl.). ISBN 0-387-98585-9.

v t e Grundlegende konvexe regelmäßige und gleichmäßige Waben in den Dimensionen 2-9
Platz	Familie	$$EIN~n- -1 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}	$$C.~n- -1 {\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}	$$B.~n- -1 {\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}	$$D.~n- -1 {\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}	$$G~2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}/ /$$F.~4 {\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$$E.~n- -1 {\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}
E 2	Gleichmäßige Fliesen	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Sechseckig
E 3	Gleichmäßige konvexe Wabe	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Uniform 4-Waben	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-zellige Wabe
E 5	Uniform 5-Waben	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Uniform 6-Waben	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Uniform 7-Waben	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Uniform 8-Waben	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Uniform 9-Waben	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - Wabe	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 k2 • 2 k1 • k 21