142.857

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"1/7 (Zahl)" leitet hier weiter. Für die Zahl 7 siehe 7 (Zahl). Hauptartikel: Wiederholende Dezimal- und Zyklische Zahl Natürliche Zahl

142856

142857

142858 →

Liste der Zahlen — Ganzzahlen ← 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵ 10 ⁶ 10 ⁷ 10 ⁸ 10 ⁹

Kardinal

einhundertzweiundvierzigtausendachthundertsiebenundfünfzig

Ordinal

142857. (einhundertzweiundvierzigtausendachthundertsiebenundfünfzig)

Faktorisierung

3 ³ × 11 × 13 × 37

Teiler

1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857

Griechische Zahl

{\stackrel {\iota \delta }{\mathrm {M} }}

Mιδ

{\displaystyle {\stackrel {\iota\delta }{\mathrm {M}}}}

{\stackrel {\iota\delta }{\mathrm {M}}}

βωνζ´

römische Ziffer

CXL MMDCCCLVII

Binär

100010111000001001 2

Ternär

21020222000 3

Oktal

427011 8

Duodezimal

6A809 12

Hexadezimal

22E09 16

142857, die sechs sich wiederholenden Ziffern von1/7(0. 142857), ist die bekannteste zyklische Zahl zur Basis 10. Wenn sie mit 2, 3, 4, 5 oder 6 multipliziert wird, ist die Antwort eine zyklische Permutation ihrer selbst und entspricht den sich wiederholenden Ziffern von2/7, 3/7, 4/7, 5/7, oder 6/7 beziehungsweise.

142.857 ist eine Kaprekar-Zahl und eine Harshad-Zahl (zur Basis 10).

Inhalt

1 Berechnung
2 1 / 7 als unendliche Summe
3 Andere Basen
4 Verbindung zum Enneagramm
5 Andere Eigenschaften
6 Referenzen

Berechnung

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Wenn mit einer ganzen Zahl größer als 7 multipliziert wird, gibt es einen einfachen Prozess, um zu einer zyklischen Permutation von 142857 zu gelangen. Indem Sie die sechs Ziffern ganz rechts (eins bis hunderttausend) zu den verbleibenden Ziffern addieren und diesen Prozess wiederholen, bis nur noch sechs Ziffern übrig sind, es führt zu einer zyklischen Permutation von 142857:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Die Multiplikation mit einem Vielfachen von 7 ergibt 999999 durch diesen Vorgang:

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Wenn Sie die letzten drei Ziffern quadrieren und das Quadrat der ersten drei Ziffern subtrahieren, erhalten Sie auch eine zyklische Permutation der Zahl zurück.

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Es ist der sich wiederholende Teil in der Dezimalentwicklung der rationalen Zahl 1/7= 0. 142857. Somit sind Vielfache von1/7 sind einfach wiederholte Kopien der entsprechenden Vielfachen von 142857:

1/7= 0. 142857

2/7= 0.285714

3/7= 0.428571

4/7= 0.571428

5/7= 0. 714285

6/7= 0,857142

7/7= 0. 999999 = 1

8/7= 1. 142857

9/7= 1. 285714

…

1/7 als unendliche Summe

Es gibt ein interessantes Muster von Verdoppelung, Verschiebung und Addition, das ergibt1/7.

{\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0.142857142857142857\ldots \\[6pt]amp;=0.14+0.0028+0.000056+0.00000112+0.0000000224+0.000000000448+0.00000000000896+\cdots \\[6pt]amp;={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112}{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+\cdots \\[6pt]amp;=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}}+\cdots \right)\\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}

17=0.142857142857142857…=0,14+0,0028+0.000056+0,00000112+0,000000224+0,00000000448+0,00000000000896+⋯=14100+281002+561003+1121004+2241005+⋯+7×2Nein100Nein+⋯=(750+7502+7503+7504+7505+⋯+750Nein+⋯)=Σk=1∞750k

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0,142857142857142857\ldots \\[6pt]amp;=0,14+0,0028+0,000056+0,00000112+0,0000000224+0,000000000448+0,0000000000896+\cdots \\[ 6pt]amp;={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112 }{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+ \cdots \\[6pt]amp;=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3} }}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}} +\cdots \right)\\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}}

{\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0,142857142857142857\ldots \\[6pt]amp;=0,14+0,0028+0,000056+0,00000112+0,0000000224+0,000000000448+0,0000000000896+\cdots \\[ 6pt]amp;={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112 }{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+ \cdots \\[6pt]amp;=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3} }}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}} +\cdots \right)\\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}

Jeder Begriff wird um das Doppelte des vorherigen Begriffs um zwei Stellen nach rechts verschoben. Dies lässt sich beweisen, indem man die Identität für die Summe einer geometrischen Folge anwendet:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}=7\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{50}}\right)^{k}=7\cdot {\frac {1}{50-1}}={\frac {7}{49}}={\frac {1}{7}}

Σk=1∞750k=7⋅Σk=1∞(150)k=7⋅150−1=749=17

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}=7\cdot \sum _{k=1}^{\infty}\left( {\frac {1}{50}}\right)^{k}=7\cdot {\frac {1}{50-1}}={\frac {7}{49}}={\frac {1 }{7}}}

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}=7\cdot \sum _{k=1}^{\infty}\left( {\frac {1}{50}}\right)^{k}=7\cdot {\frac {1}{50-1}}={\frac {7}{49}}={\frac {1 }{7}}

Eine weitere unendliche Summe ist

{\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0.1+0.03+0.009+0.0027+0.00081+0.000243+0.0000729+\cdots \\[6pt]amp;={\frac {3^{0}}{10^{1}}}+{\frac {3^{1}}{10^{2}}}+{\frac {3^{2}}{10^{3}}}+{\frac {3^{3}}{10^{4}}}+{\frac {3^{4}}{10^{5}}}+\cdots +{\frac {3^{N-1}}{10^{N}}}+\cdots \\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {3^{k-1}}{10^{k}}}=3^{-1}\cdot \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {3}{10}}\right)^{k}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {3}{10-3}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}

17=0,1+0,03+0,009+0,0027+0,00081+0,000243+0,0000729+⋯=30101+31102+32103+33104+34105+⋯+3Nein−110Nein+⋯=Σk=1∞3k−110k=3−1⋅Σk=1∞(310)k=13⋅310−3=17

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0,1+0,03+0,009+0,0027+0,00081+0,000243+0,0000729+\cdots \\[6pt]amp;={\frac {3^ {0}}{10^{1}}}+{\frac {3^{1}}{10^{2}}}+{\frac {3^{2}}{10^{3}}} +{\frac {3^{3}}{10^{4}}}+{\frac {3^{4}}{10^{5}}}+\cdots +{\frac {3^{N -1}}{10^{N}}}+\cdots \\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {3^{k-1}}{10^ {k}}}=3^{-1}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac {3}{10}}\right)^{k}={\ frac {1}{3}}\cdot {\frac {3}{10-3}}={\frac {1}{7}}\end{ausgerichtet}}}

{\begin{aligned}{\frac {1}{7}}amp;=0,1+0,03+0,009+0,0027+0,00081+0,000243+0,0000729+\cdots \\[6pt]amp;={\frac {3^ {0}}{10^{1}}}+{\frac {3^{1}}{10^{2}}}+{\frac {3^{2}}{10^{3}}} +{\frac {3^{3}}{10^{4}}}+{\frac {3^{4}}{10^{5}}}+\cdots +{\frac {3^{N -1}}{10^{N}}}+\cdots \\[6pt]amp;=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {3^{k-1}}{10^ {k}}}=3^{-1}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\left({\frac {3}{10}}\right)^{k}={\ frac {1}{3}}\cdot {\frac {3}{10-3}}={\frac {1}{7}}\end{ausgerichtet}}

Andere Basen

In einigen anderen Basen existieren sechsstellige Zahlen mit ähnlichen Eigenschaften, gegeben durch Basis ⁶ − 1/7. Zum Beispiel ist es in Basis 12 186A35 und Basis 24 3A6KDH.

Verbindung zum Enneagramm

Die Zahlenfolge 142857 wird in der Enneagrammfigur verwendet, einem Symbol des Gurdjieff-Werks, das verwendet wird, um die Dynamik der Interaktion zwischen den beiden großen Gesetzen des Universums (nach GI Gurdjieff ), dem Gesetz der Drei und dem Gesetz der. zu erklären und zu visualisieren Sieben. Die Bewegung der Zahlen von 142857 geteilt durch1/7, 2/7. usw., und die anschließende Bewegung des Enneagramms, werden in Gurdjieffs heiligen Tänzen dargestellt, die als Bewegungen bekannt sind.

Andere Eigenschaften

Die Zahlenfolge 142857 wird auch in mehreren Dezimalstellen gefunden, bei denen der Nenner den Faktor 7 hat. In den folgenden Beispielen sind die Zähler alle 1, es gibt jedoch Fälle, in denen dies nicht erforderlich ist, wie z 2/7( 0.285714).

Betrachten Sie beispielsweise die unten aufgeführten Brüche und entsprechenden Dezimalwerte:

1/7= 0. 142857...

1/14= 0,0 714285...

1/28= 0,03 571428...

1/35= 0.0 285714...

1/56= 0,0157 857142...

1/70= 0,0 142857...

Die obigen Dezimalstellen folgen der Rotationssequenz von 142857. Es gibt Brüche, bei denen der Nenner den Faktor 7 hat, wie zum Beispiel1/21 und 1/42, die dieser Reihenfolge nicht folgen und andere Werte in ihren Dezimalstellen haben.

Verweise

Leslie, John (1820). Die Philosophie der Arithmetik: Ausstellung einer progressiven Sicht auf die Theorie und Praxis von…. Longman, Hurst, Rees, Orme und Brown. ISBN 1-4020-1546-1.
Wells, D. (1997). Das Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (überarbeitete Hrsg.). London: Pinguingruppe. S. 171–175. ISBN 978-0-140-26149-3.