Vierdimensionales Analogon des Dodekaeders
Netz In der Geometrie ist die 120-Zelle das konvexe regelmäßige 4-Polytop mit dem Schläfli-Symbol {5,3,3}. Es wird auch C 120,Dodecaplex (kurz für "Dodecahedral Complex"), Hyperdodecahedron, Polydodecahedron, Hecatonicosachoron, Dodecacontachoron und Hecatonicosahedroid genannt.
Die Grenze der 120-Zelle besteht aus 120 dodekaedrischen Zellen, wobei sich 4 an jedem Scheitelpunkt treffen. Es kann als das 4-dimensionale Analogon des regulären Dodekaeders betrachtet werden . So wie ein Dodekaeder als Modell mit 12 Fünfecken, 3 um jede Ecke, aufgebaut werden kann, kann der Dodekaplex aus 120 Dodekaedern mit 3 um jede Kante aufgebaut werden.
Die Davis 120-Zelle, eingeführt von Davis (1985), ist eine kompakte 4-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit, die durch Identifizierung gegenüberliegender Seiten der 120-Zelle erhalten wird, deren universelle Abdeckung die regelmäßige Wabe {5,3,3,5} von 4. ergibt -dimensionaler hyperbolischer Raum.
Inhalt 1 Elemente 2 kartesische Koordinaten 3 Visualisierung3.1 Überlagerte stereographische Projektion 3.2 Ineinander verschlungene Ringe 3.3 Andere Großkreiskonstrukte 4 Projektionen4.1 Orthogonale Projektionen 4.2 Perspektivische Projektionen 5 Verwandte Polyeder und Waben 6 Siehe auch 7 Hinweise 8 Referenzen 9 Externe Links
Elemente Es gibt 120 Zellen, 720 fünfeckige Flächen, 1200 Kanten und 600 Scheitelpunkte. Es gibt 4 Dodekaeder, 6 Fünfecke und 4 Kanten, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Es gibt 3 Dodekaeder und 3 Fünfecke, die auf jede Kante treffen. Das duale Polytop der 120-Zelle ist die 600-Zelle . Die Verbindung, die aus der 120-Zelle und ihrem Dual gebildet wird, ist die Verbindung von 120-Zelle und 600-Zelle . Die Scheitelfigur der 120-Zelle ist ein Tetraeder . Der Diederwinkel (Winkel zwischen Facettenhyperebenen) der 120-Zelle beträgt 144° Als Konfiguration Diese Konfigurationsmatrix repräsentiert die 120-Zelle. Die Zeilen und Spalten entsprechen Scheitelpunkten, Kanten, Flächen und Zellen. Die diagonalen Zahlen geben an, wie viele von jedem Element in der gesamten 120-Zelle vorkommen. Die nichtdiagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte im oder am Element der Zeile vorkommen.
[ 600 4 6 4 2 1200 3 3 5 5 720 2 20 30 12 120 ]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600amp;4amp;6amp;4\\2amp;1200amp;3amp;3\\5amp;5amp;720amp;2\\20amp;30amp;12amp;120\end{matrix}}\end{bmatrix}}} Hier ist die Konfiguration mit k- face-Elementen und k- Figuren erweitert. Die Anzahl der diagonalen Elemente ist das Verhältnis der vollständigen Coxeter-Gruppenordnung , 14400, geteilt durch die Ordnung der Untergruppe mit Spiegelentfernung.
H 4 k -Gesicht f k f 0 f 1 f 2 f 3 k -fig Anmerkungen Ein 3 () f 0 600 4 6 4 {3,3} H 4 /A 3 = 14400/24 = 600 A 1 A 2 { } f 1 2 720 3 3 {3} H 4 /A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200 H 2 A 1 {5} f 2 5 5 1200 2 { } H 4 /H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720 H 3 {5,3} f 3 20 30 12 120 () H 4 /H 3 = 14400/120 = 120
Kartesischen Koordinaten Die 600 Eckpunkte einer 120-Zelle mit einer Kantenlänge von 2/φ 2 = 3− √ 5 und ein Mittelpunkt-zu-Scheitel-Radius von √ 8 = 2 √ 2 beinhalten alle Permutationen von:
(0, 0, ±2, ±2) (±1, ±1, ±1, ± √ 5) (±φ -2 , ±φ, ±φ, ±φ) (±φ -1 , ±φ -1 , ±φ -1 , ±φ 2 ) und alle geraden Permutationen von
(0, ±φ -2 , ±1, ±φ 2 ) (0, ±φ -1 , ±φ, ± √ 5) (±φ −1 , ±1, ±φ, ±2) wobei φ der goldene Schnitt ist ,1 + √ 5/2.
In Anbetracht die Adjazenzmatrix der Eckpunkt repräsentieren seine polyedrischen Graph, der Graph Durchmesser 15 ist, jeden Scheitelpunkt und seine koordinaten Negation an einem Verbindungs euklidischen Abstand von 4 √ 2 entfernt (dessen Umkreis - Durchmesser), und es gibt 24 verschiedene Wege um sie zu verbinden entlang der Polytopkanten. Von jedem Scheitelpunkt gibt es 4 Scheitelpunkte im Abstand 1, 12 im Abstand 2, 24 im Abstand 3, 36 im Abstand 4, 52 im Abstand 5, 68 im Abstand 6, 76 im Abstand 7, 78 im Abstand 8, 72 im Abstand 9, 64 im Abstand 10, 56 im Abstand 11, 40 im Abstand 12, 12 im Abstand 13, 4 im Abstand 14 und 1 im Abstand 15. Die Adjazenzmatrix hat 27 verschiedene Eigenwerte im Bereich von2/φ 2 , mit einer Multiplizität von 4, zu 4, mit einer Multiplizität von 1. Die Multiplizität des Eigenwerts 0 ist 18 und der Rang der Adjazenzmatrix ist 582.
Visualisierung Die 120-Zelle besteht aus 120 dodekaedrischen Zellen. Für Visualisierungszwecke ist es praktisch, dass das Dodekaeder gegenüberliegende parallele Flächen hat (eine Eigenschaft, die es mit den Zellen des Tesserakts und der 24-Zelle teilt). Man kann Dodekaeder nebeneinander in einer geraden Linie stapeln, die in die 4. Richtung zu einem Großkreis mit einem Umfang von 10 Feldern gebogen ist. Ausgehend von diesem ersten zehn Zellenkonstrukt gibt es zwei gängige Visualisierungen, die man verwenden kann: eine geschichtete stereographische Projektion und eine Struktur aus ineinander verschlungenen Ringen.
Mehrschichtige stereografische Projektion Die Zellorte eignen sich für eine hypersphärische Beschreibung. Wählen Sie ein beliebiges Dodekaeder aus und bezeichnen Sie es als "Nordpol". Zwölf Großkreismeridiane (vier Zellen lang) strahlen in 3 Dimensionen aus und konvergieren an der fünften "Südpol"-Zelle. Dieses Skelett macht 50 der 120 Zellen aus (2 + 4 × 12).
Ausgehend vom Nordpol können wir die 120-Zelle in 9 Breitenschichten aufbauen, mit Anspielungen auf die terrestrische 2-Sphären-Topographie in der folgenden Tabelle. Mit Ausnahme der Pole liegen die Schwerpunkte der Zellen jeder Schicht auf einer separaten 2-Sphäre, während die äquatorialen Schwerpunkte auf einer großen 2-Sphäre liegen. Die Zentroide der 30 äquatorialen Zellen bilden die Scheitel eines Ikosidodekaeders , wobei die Meridiane (wie oben beschrieben) durch die Mitte jeder fünfeckigen Fläche verlaufen. Die in der folgenden Tabelle mit "Interstitial" bezeichneten Zellen fallen nicht auf Meridian-Großkreise.
Ebene # Anzahl der Zellen Beschreibung Colatitude Region 1 1 Zelle Nordpol 0° Nördliche Hemisphäre 2 12 Zellen Erste Schicht der Meridianzellen / " Polarkreis " 36° 3 20 Zellen Nicht-Meridian / Interstitial 60° 4 12 Zellen Zweite Schicht meridionaler Zellen / " Wendekreis des Krebses " 72° 5 30 Zellen Nicht-Meridian / Interstitial 90° Äquator 6 12 Zellen Dritte Schicht der Meridianzellen / " Tropik des Steinbocks " 108° Südlichen Hemisphäre 7 20 Zellen Nicht-Meridian / Interstitial 120° 8 12 Zellen Vierte Schicht von Meridianzellen / " Antarktiskreis " 144° 9 1 Zelle Südpol 180° Gesamt 120 Zellen
Die Zellen der Schichten 2, 4, 6 und 8 befinden sich über den Flächen der Polzelle. Die Zellen der Schichten 3 und 7 befinden sich direkt über den Scheitelpunkten der Polzelle. Die Zellen der Schicht 5 befinden sich über den Rändern der Polzelle.
Ineinander verschlungene Ringe Die 120-Zelle kann in 12 disjunkte 10-Zellen-Großkreisringe unterteilt werden, die eine diskrete/quantisierte Hopf-Fibration bilden . Ausgehend von einem 10-Zellen-Ring kann man einen weiteren Ring daneben legen, der sich in zehn Zellen eine volle Umdrehung um den ursprünglichen Ring windet. Fünf solcher 10-Zellen-Ringe können neben dem ursprünglichen 10-Zellen-Ring platziert werden. Obwohl sich die Außenringe um den Innenring (und sich gegenseitig) "spiralen", haben sie eigentlich keine schraubenförmige Torsion . Sie sind alle gleichwertig. Die Spiralisierung ist ein Ergebnis der 3-Sphären-Krümmung. Der innere Ring und die fünf äußeren Ringe bilden nun einen sechsringigen, 60-zelligen massiven Torus. Man kann weiterhin 10-Zellen-Ringe neben den vorherigen hinzufügen, aber es ist lehrreicher, einen zweiten Torus zu konstruieren, der von dem oberen getrennt ist, aus den verbleibenden 60 Zellen, der mit dem ersten ineinandergreift. Die 120-Zelle ist wie die 3-Sphäre die Vereinigung dieser beiden ( Clifford ) Tori. Wenn der Mittelring des ersten Torus ein Meridian-Großkreis wie oben definiert ist, ist der Mittelring des zweiten Torus der äquatoriale Großkreis, der auf dem Meridiankreis zentriert ist. Beachten Sie auch, dass die spiralförmige Hülle aus 50 Zellen um einen Mittelring entweder Linkshänder oder Rechtshänder sein kann. Es geht nur darum, die Zellen in der Hülle anders aufzuteilen, dh eine andere Gruppe von unzusammenhängenden Großkreisen auszuwählen.
Andere Großkreiskonstrukte Es gibt einen weiteren interessierenden Großkreispfad, der abwechselnd durch gegenüberliegende Zellenscheitelpunkte und dann entlang einer Kante verläuft. Dieser Pfad besteht aus 6 Zellen und 6 Kanten. Beide oben genannten Großkreispfade haben zwei Großkreispfade in der 600-Zelle. Der obige Pfad mit 10 Zellen von Angesicht zu Angesicht wird einem Pfad mit 10 Scheitelpunkten zugeordnet, der ausschließlich entlang der Kanten in den 600-Zellen verläuft und ein Zehneck bildet. Der obige alternierende Zellen-/Kantenpfad wird auf einen Pfad abgebildet, der aus 12 Tetraedern besteht, die abwechselnd von Angesicht zu Angesicht und dann Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt (sechs dreieckige Bipyramiden ) in der 600-Zelle aufeinandertreffen. Dieser letztere Pfad entspricht einem Ring von sechs Ikosaedern, die sich in der 24-Zell-Snub (oder ikosaedrischen Pyramiden in der 600-Zelle) von Angesicht zu Angesicht treffen.
Projektionen Orthogonale Projektionen Orthogonale Projektionen der 120-Zellen können in 2D durchgeführt werden, indem zwei orthonormale Basisvektoren für eine bestimmte Blickrichtung definiert werden. Die 30-Eck-Projektion wurde 1963 von BLChiton gemacht.
Die H3- Dekagonalprojektion zeigt die Ebene des van-Oss-Polygons .
3-dimensionale orthogonale Projektionen können auch mit drei orthonormalen Basisvektoren erstellt und als 3D-Modell angezeigt und dann eine bestimmte Perspektive in 3D für ein 2D-Bild projiziert werden.
Orthografische 3D-Projektionen Medien abspielen Animierte 4D-Rotation
Perspektivische Projektionen Diese Projektionen verwenden eine perspektivische Projektion aus einem bestimmten Blickwinkel in vier Dimensionen und projizieren das Modell als 3D-Schatten. Daher sind Flächen und Zellen, die größer aussehen, lediglich näher am 4D-Blickpunkt. Schlegel-Diagramme verwenden die Perspektive, um vierdimensionale Figuren anzuzeigen, indem ein Punkt über einer bestimmten Zelle ausgewählt wird, wodurch die Zelle als Hülle des 3D-Modells wird und andere Zellen darin gesehen kleiner werden. Die stereographische Projektion verwendet den gleichen Ansatz, wird jedoch mit gekrümmten Kanten dargestellt, die das Polytop einer Kachelung einer 3-Sphäre darstellen .
Analog wird ein Vergleich von perspektivischen Projektionen von 3D zu 2D gezeigt.
Perspektivische Projektion Perspektivische Projektion der Zelle zuerst mit dem 5-fachen Abstand von der Mitte zu einem Scheitelpunkt, mit folgenden Verbesserungen:Nächstes Dodekaeder zum 4D-Ansichtspunkt in Gelb gerendert Die sich unmittelbar daran anschließenden 12 Dodekaeder in Cyan; Die verbleibenden Dodekaeder sind grün dargestellt; Zellen, die vom 4D-Blickpunkt abgewandt sind (diejenigen, die auf der "anderen Seite" der 120-Zellen liegen) wurden aussortiert, um die Unordnung im endgültigen Bild zu minimieren. Scheitelpunkt-erste perspektivische Projektion mit dem 5-fachen Abstand vom Mittelpunkt zu einem Scheitelpunkt mit diesen Verbesserungen:Vier Zellen, die den nächsten Scheitelpunkt umgeben, werden in 4 Farben angezeigt Nächster Scheitelpunkt in Weiß (Bildmitte, wo sich 4 Zellen treffen) Verbleibende Zellen werden in transparentem Grün angezeigt Zellen, die vom 4D-Blickpunkt abgewandt sind, wurden aus Gründen der Übersichtlichkeit ausgewählt Eine 3D-Projektion einer 120-Zelle, die eine einfache Drehung durchführt . Eine 3D-Projektion einer 120-Zelle, die eine einfache Drehung durchführt (von innen). Animierte 4D-Rotation
Verwandte Polyeder und Waben Die 120-Zelle ist eines von 15 regelmäßigen und einheitlichen Polytopen mit der gleichen Symmetrie [3,3,5]:
Polytope der H 4 Familie 120-Zellen gleichgerichtete 120-Zellen abgeschnittene 120-Zellen kantelliert 120-zellig Runcinated 120-Zellen kantige 120-Zellen Runcitruncated 120-Zellen omnitruncated 120-Zellen {5,3,3} r{5,3,3} t{5,3,3} rr{5,3,3} t 0,3 {5,3,3} tr{5,3,3} t 0,1,3 {5,3,3} t 0,1,2,3 {5,3,3} 600-Zellen gleichgerichtete 600-Zellen abgeschnittene 600-Zellen kantelliert 600-zellig Bitruncated 600-Zellen kantige 600-Zellen Runcitruncated 600-Zellen omnitruncated 600-Zellen {3,3,5} r{3,3,5} t{3,3,5} rr{3,3,5} 2t{3,3,5} tr{3,3,5} t 0,1,3 {3,3,5} t 0,1,2,3 {3,3,5}
Es ähnelt drei regulären 4-Polytopen : dem 5-zelligen {3,3,3}, dem Tesserakt {4,3,3} des euklidischen 4-Raums und der hexagonalen Kachelwabe des hyperbolischen Raums. Alle diese haben eine tetraedrische Scheitelpunktfigur .
{p,3,3} Polytope Platz S 3 H 3 Bilden Endlich Parakompakt Nicht kompakt Name {3,3,3} {4,3,3} {5,3,3} {6,3,3} {7,3,3} {8,3,3} ... {∞,3,3} Bild Zellen {p,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3}
Diese Wabe ist Teil einer Abfolge von 4-Polytopen und Waben mit Dodekaederzellen :
{5,3,p} Polytope Platz S 3 H 3 Bilden Endlich Kompakt Parakompakt Nicht kompakt Name {5,3,3} {5,3,4} {5,3,5} {5,3,6} {5,3,7} {5,3,8} ... {5,3,∞} Bild Vertex- Figur {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} {3,7} {3,8} {3,∞}
Siehe auch Anmerkungen Verweise HSM Coxeter , Regelmäßige Polytope , 3. Hrsg., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (Papier 22) HSM Coxeter, Regular and Semi-regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, HERR 2,10] (Papier 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (Papier 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] JH Conway und MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, Seite 38 und 39, 1965 Davis, Michael W. (1985), "A hyperbolic 4-manifold", Proceedings of the American Mathematical Society , 93 (2): 325–328, doi : 10.2307/2044771 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2044771 , MR 0770546 NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966 Vierdimensionale archimedische Polytope (deutsch), Marco Möller, 2004 Dissertation [2] Externe Links Polytope der H 4 Familie 120-Zellen gleichgerichtete 120-Zellen abgeschnittene 120-Zellen kantelliert 120-zellig Runcinated 120-Zellen kantige 120-Zellen Runcitruncated 120-Zellen omnitruncated 120-Zellen {5,3,3} r{5,3,3} t{5,3,3} rr{5,3,3} t 0,3 {5,3,3} tr{5,3,3} t 0,1,3 {5,3,3} t 0,1,2,3 {5,3,3} 600-Zellen gleichgerichtete 600-Zellen abgeschnittene 600-Zellen kantelliert 600-zellig Bitruncated 600-Zellen kantige 600-Zellen Runcitruncated 600-Zellen omnitruncated 600-Zellen {3,3,5} r{3,3,5} t{3,3,5} rr{3,3,5} 2t{3,3,5} tr{3,3,5} t 0,1,3 {3,3,5} t 0,1,2,3 {3,3,5}
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Schlegel-Diagramm (Ecken und Kanten)
Tetraeder 
Netz